Theorem pwslmod 20933

Description: A structure power of a left module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslmod.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwslmod	⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)

Proof of Theorem pwslmod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwslmod.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17418	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
5	2	lmodring 20831	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		fconst6g 6731	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
10		fvconst2g 7158	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
11	10	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
12	11	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Scalar‘𝑅))
13	4, 6, 7, 9, 12	prdslmodd 20932	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ LMod)
14	3, 13	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Scalarcsca 17192  X_scprds 17377   ↑_s cpws 17378  Ringcrg 20180  LModclmod 20823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825

This theorem is referenced by:  pwsdiaglmhm  21021  pwssplit3  21025  frlm0  21721  frlmsubgval  21732  frlmgsum  21739  frlmsplit2  21740  pwssplit4  43435  pwslnmlem0  43437