Theorem pwslmod 20913

Description: A structure power of a left module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslmod.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwslmod	⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)

Proof of Theorem pwslmod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwslmod.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17400	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
5	2	lmodring 20811	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		fconst6g 6720	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
10		fvconst2g 7145	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
11	10	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
12	11	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Scalar‘𝑅))
13	4, 6, 7, 9, 12	prdslmodd 20912	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ LMod)
14	3, 13	eqeltrd 2833	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4577   × cxp 5619  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Scalarcsca 17174  X_scprds 17359   ↑_s cpws 17360  Ringcrg 20161  LModclmod 20803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8831  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-hom 17195  df-cco 17196  df-0g 17355  df-prds 17361  df-pws 17363  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mgp 20069  df-ur 20110  df-ring 20163  df-lmod 20805

This theorem is referenced by:  pwsdiaglmhm  21001  pwssplit3  21005  frlm0  21701  frlmsubgval  21712  frlmgsum  21719  frlmsplit2  21720  pwssplit4  43196  pwslnmlem0  43198