MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwslmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwslmod 19241
Description: The product of a family of left modules is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslmod.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwslmod ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)

Proof of Theorem pwslmod
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslmod.y . . 3 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 eqid 2764 . . 3 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31, 2pwsval 16413 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4 eqid 2764 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
52lmodring 19139 . . . 4 (𝑅 ∈ LMod → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
65adantr 472 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
7 simpr 477 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
8 fconst6g 6275 . . . 4 (𝑅 ∈ LMod → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
98adantr 472 . . 3 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
10 fvconst2g 6659 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1110adantlr 706 . . . 4 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
1211fveq2d 6378 . . 3 (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Scalar‘𝑅))
134, 6, 7, 9, 12prdslmodd 19240 . 2 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ LMod)
143, 13eqeltrd 2843 1 ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {csn 4333   × cxp 5274  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841  Scalarcsca 16218  Xscprds 16373  s cpws 16374  Ringcrg 18813  LModclmod 19131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-sup 8554  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-fz 12533  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-hom 16239  df-cco 16240  df-0g 16369  df-prds 16375  df-pws 16377  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-lmod 19133
This theorem is referenced by:  pwsdiaglmhm  19328  pwssplit3  19332  frlm0  20373  frlmsubgval  20383  frlmgsum  20386  frlmsplit2  20387  pwssplit4  38268  pwslnmlem0  38270
  Copyright terms: Public domain W3C validator