Theorem pwslmod 20813

Description: A structure power of a left module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslmod.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwslmod	⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)

Proof of Theorem pwslmod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwslmod.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17439	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
5	2	lmodring 20710	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		fconst6g 6780	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
10		fvconst2g 7205	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
11	10	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
12	11	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Scalar‘𝑅))
13	4, 6, 7, 9, 12	prdslmodd 20812	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ LMod)
14	3, 13	eqeltrd 2832	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4628   × cxp 5674  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Scalarcsca 17207  X_scprds 17398   ↑_s cpws 17399  Ringcrg 20134  LModclmod 20702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704

This theorem is referenced by:  pwsdiaglmhm  20901  pwssplit3  20905  frlm0  21619  frlmsubgval  21630  frlmgsum  21637  frlmsplit2  21638  pwssplit4  42294  pwslnmlem0  42296