Theorem pwslmod 20896

Description: A structure power of a left module is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslmod.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwslmod	⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)

Proof of Theorem pwslmod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwslmod.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17382	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
5	2	lmodring 20794	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ Ring)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		fconst6g 6708	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LMod → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶LMod)
10		fvconst2g 7131	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
11	10	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
12	11	fveq2d 6821	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Scalar‘𝑅))
13	4, 6, 7, 9, 12	prdslmodd 20895	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ LMod)
14	3, 13	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {csn 4574   × cxp 5612  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Scalarcsca 17156  X_scprds 17341   ↑_s cpws 17342  Ringcrg 20144  LModclmod 20786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-hom 17177  df-cco 17178  df-0g 17337  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-mgp 20052  df-ur 20093  df-ring 20146  df-lmod 20788

This theorem is referenced by:  pwsdiaglmhm  20984  pwssplit3  20988  frlm0  21684  frlmsubgval  21695  frlmgsum  21702  frlmsplit2  21703  pwssplit4  43101  pwslnmlem0  43103