MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmulrval 17436
Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsplusgval.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r (𝜑𝑅𝑉)
pwsplusgval.i (𝜑𝐼𝑊)
pwsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
pwsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
pwsmulrval.a · = (.r𝑅)
pwsmulrval.p = (.r𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsmulrval (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹f · 𝐺))

Proof of Theorem pwsmulrval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2724 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 fvexd 6896 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4 pwsplusgval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 pwsplusgval.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝑉)
6 fnconstg 6769 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8 pwsplusgval.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
9 pwsplusgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
10 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
11 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1210, 11pwsval 17431 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
135, 4, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1413fveq2d 6885 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
159, 14eqtrid 2776 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
168, 15eleqtrd 2827 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17 pwsplusgval.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
1817, 15eleqtrd 2827 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19 eqid 2724 . . . 4 (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
201, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19prdsmulrval 17420 . . 3 (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥))))
21 fvconst2g 7195 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
225, 21sylan 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
2322fveq2d 6885 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (.r𝑅))
24 pwsmulrval.a . . . . . 6 · = (.r𝑅)
2523, 24eqtr4di 2782 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
2625oveqd 7418 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
2726mpteq2dva 5238 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
2820, 27eqtrd 2764 . 2 (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
29 pwsmulrval.p . . . 4 = (.r𝑌)
3013fveq2d 6885 . . . 4 (𝜑 → (.r𝑌) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3129, 30eqtrid 2776 . . 3 (𝜑 = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3231oveqd 7418 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
33 fvexd 6896 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
34 fvexd 6896 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
35 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3610, 35, 9, 5, 4, 8pwselbas 17434 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3736feqmptd 6950 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
3810, 35, 9, 5, 4, 17pwselbas 17434 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3938feqmptd 6950 . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
404, 33, 34, 37, 39offval2 7683 . 2 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
4128, 32, 403eqtr4d 2774 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹f · 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4620  cmpt 5221   × cxp 5664   Fn wfn 6528  cfv 6533  (class class class)co 7401  f cof 7661  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  Xscprds 17390  s cpws 17391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17392  df-pws 17394
This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20217  mpfmulcl  21979  mpfind  21980  evl1muld  22184  pf1mulcl  22195  ply1rem  26021  fta1glem2  26024  fta1blem  26026  plypf1  26066  evls1fpws  33113  evlsvvval  41624  evlsmulval  41630  evlmulval  41637
  Copyright terms: Public domain W3C validator