MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmulrval 17446
Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsplusgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwsplusgval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsplusgval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
pwsplusgval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
pwsplusgval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
pwsmulrval.a Β· = (.rβ€˜π‘…)
pwsmulrval.p βˆ™ = (.rβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
pwsmulrval (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝐹 ∘f Β· 𝐺))

Proof of Theorem pwsmulrval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
2 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
3 fvexd 6900 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
4 pwsplusgval.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 pwsplusgval.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
6 fnconstg 6773 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) Fn 𝐼)
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) Fn 𝐼)
8 pwsplusgval.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
9 pwsplusgval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
10 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
11 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
1210, 11pwsval 17441 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
135, 4, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
1413fveq2d 6889 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
159, 14eqtrid 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
168, 15eleqtrd 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
17 pwsplusgval.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
1817, 15eleqtrd 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
19 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
201, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19prdsmulrval 17430 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))))
21 fvconst2g 7199 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
225, 21sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
2322fveq2d 6889 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (.rβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (.rβ€˜π‘…))
24 pwsmulrval.a . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
2523, 24eqtr4di 2784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (.rβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = Β· )
2625oveqd 7422 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
2726mpteq2dva 5241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
2820, 27eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
29 pwsmulrval.p . . . 4 βˆ™ = (.rβ€˜π‘Œ)
3013fveq2d 6889 . . . 4 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
3129, 30eqtrid 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ™ = (.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
3231oveqd 7422 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝐹(.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))𝐺))
33 fvexd 6900 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V)
34 fvexd 6900 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
35 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3610, 35, 9, 5, 4, 8pwselbas 17444 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
3736feqmptd 6954 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3810, 35, 9, 5, 4, 17pwselbas 17444 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
3938feqmptd 6954 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
404, 33, 34, 37, 39offval2 7687 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
4128, 32, 403eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝐹 ∘f Β· 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209  Xscprds 17400   ↑s cpws 17401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-prds 17402  df-pws 17404
This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20227  mpfmulcl  22011  mpfind  22012  evl1muld  22217  pf1mulcl  22228  ply1rem  26055  fta1glem2  26058  fta1blem  26060  plypf1  26101  evls1fpws  33155  evlsvvval  41697  evlsmulval  41703  evlmulval  41710
  Copyright terms: Public domain W3C validator