Theorem pwsmulrval 17544

Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsplusgval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsplusgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsplusgval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
pwsmulrval.a	⊢ · = (.r‘𝑅)
pwsmulrval.p	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∘f · 𝐺))

Proof of Theorem pwsmulrval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		fvexd 6896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4		pwsplusgval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		pwsplusgval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		fnconstg 6766	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8		pwsplusgval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		pwsplusgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10		pwsplusgval.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
11		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
12	10, 11	pwsval 17538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13	5, 4, 12	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	9, 14	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	8, 15	eleqtrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17		pwsplusgval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	17, 15	eleqtrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
20	1, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19	prdsmulrval 17527	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
21		fvconst2g 7200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
22	5, 21	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (.r‘𝑅))
24		pwsmulrval.a	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
25	23, 24	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
26	25	oveqd 7427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
27	26	mpteq2dva 5203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
28	20, 27	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
29		pwsmulrval.p	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
30	13	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
31	29, 30	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
32	31	oveqd 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
33		fvexd 6896	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
34		fvexd 6896	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
35		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
36	10, 35, 9, 5, 4, 8	pwselbas 17541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
37	36	feqmptd 6949	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
38	10, 35, 9, 5, 4, 17	pwselbas 17541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 6949	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
40	4, 33, 34, 37, 39	offval2 7694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
41	28, 32, 40	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∘f · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4588   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  Scalarcsca 17312  X_scprds 17497   ↑_s cpws 17498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-prds 17499  df-pws 17501

This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20408  evlsvvval  22223  evlmulval  22234  mpfmulcl  22244  mpfind  22245  evlsmulval  22260  evl1muld  22482  pf1mulcl  22493  evls1fpws  22508  ply1rem  26302  fta1glem2  26305  fta1blem  26307  plypf1  26348