Theorem pwsmulrval 17538

Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsplusgval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsplusgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsplusgval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
pwsmulrval.a	⊢ · = (.r‘𝑅)
pwsmulrval.p	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∘f · 𝐺))

Proof of Theorem pwsmulrval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		fvexd 6922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4		pwsplusgval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		pwsplusgval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		fnconstg 6797	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8		pwsplusgval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		pwsplusgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10		pwsplusgval.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
11		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
12	10, 11	pwsval 17533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13	5, 4, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	9, 14	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	8, 15	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17		pwsplusgval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	17, 15	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
20	1, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19	prdsmulrval 17522	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
21		fvconst2g 7222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
22	5, 21	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (.r‘𝑅))
24		pwsmulrval.a	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
25	23, 24	eqtr4di 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
26	25	oveqd 7448	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
27	26	mpteq2dva 5248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
28	20, 27	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
29		pwsmulrval.p	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
30	13	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
31	29, 30	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
32	31	oveqd 7448	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
33		fvexd 6922	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
34		fvexd 6922	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
35		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
36	10, 35, 9, 5, 4, 8	pwselbas 17536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
37	36	feqmptd 6977	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
38	10, 35, 9, 5, 4, 17	pwselbas 17536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 6977	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
40	4, 33, 34, 37, 39	offval2 7717	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
41	28, 32, 40	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∘f · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301  X_scprds 17492   ↑_s cpws 17493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17494  df-pws 17496

This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20342  mpfmulcl  22148  mpfind  22149  evl1muld  22363  pf1mulcl  22374  evls1fpws  22389  ply1rem  26220  fta1glem2  26223  fta1blem  26225  plypf1  26266  evlsvvval  42550  evlsmulval  42556  evlmulval  42563