MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmulrval 17472
Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsplusgval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwsplusgval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsplusgval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
pwsplusgval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
pwsplusgval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
pwsmulrval.a Β· = (.rβ€˜π‘…)
pwsmulrval.p βˆ™ = (.rβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
pwsmulrval (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝐹 ∘f Β· 𝐺))

Proof of Theorem pwsmulrval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
2 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
3 fvexd 6907 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
4 pwsplusgval.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 pwsplusgval.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
6 fnconstg 6780 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) Fn 𝐼)
75, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) Fn 𝐼)
8 pwsplusgval.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
9 pwsplusgval.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
10 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
11 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
1210, 11pwsval 17467 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
135, 4, 12syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
1413fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
159, 14eqtrid 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
168, 15eleqtrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
17 pwsplusgval.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
1817, 15eleqtrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
19 eqid 2725 . . . 4 (.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
201, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19prdsmulrval 17456 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))))
21 fvconst2g 7210 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
225, 21sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
2322fveq2d 6896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (.rβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (.rβ€˜π‘…))
24 pwsmulrval.a . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
2523, 24eqtr4di 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (.rβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = Β· )
2625oveqd 7433 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
2726mpteq2dva 5243 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(.rβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
2820, 27eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
29 pwsmulrval.p . . . 4 βˆ™ = (.rβ€˜π‘Œ)
3013fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
3129, 30eqtrid 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ™ = (.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
3231oveqd 7433 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝐹(.rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))𝐺))
33 fvexd 6907 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V)
34 fvexd 6907 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V)
35 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3610, 35, 9, 5, 4, 8pwselbas 17470 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
3736feqmptd 6962 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3810, 35, 9, 5, 4, 17pwselbas 17470 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
3938feqmptd 6962 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
404, 33, 34, 37, 39offval2 7702 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
4128, 32, 403eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝐹 ∘f Β· 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4624   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235  Xscprds 17426   ↑s cpws 17427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-prds 17428  df-pws 17430
This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20268  mpfmulcl  22059  mpfind  22060  evl1muld  22271  pf1mulcl  22282  evls1fpws  22297  ply1rem  26118  fta1glem2  26121  fta1blem  26123  plypf1  26164  evlsvvval  41861  evlsmulval  41867  evlmulval  41874
  Copyright terms: Public domain W3C validator