Theorem pwsmulrval 17119

Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsplusgval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsplusgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsplusgval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
pwsmulrval.a	⊢ · = (.r‘𝑅)
pwsmulrval.p	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∘f · 𝐺))

Proof of Theorem pwsmulrval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		fvexd 6771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4		pwsplusgval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		pwsplusgval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		fnconstg 6646	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8		pwsplusgval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		pwsplusgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10		pwsplusgval.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
12	10, 11	pwsval 17114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13	5, 4, 12	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	9, 14	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	8, 15	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17		pwsplusgval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	17, 15	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
20	1, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19	prdsmulrval 17103	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
21		fvconst2g 7059	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
22	5, 21	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (.r‘𝑅))
24		pwsmulrval.a	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
25	23, 24	eqtr4di 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
26	25	oveqd 7272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
27	26	mpteq2dva 5170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
28	20, 27	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
29		pwsmulrval.p	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
30	13	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑌) = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
31	29, 30	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
32	31	oveqd 7272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹(.r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
33		fvexd 6771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
34		fvexd 6771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
35		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
36	10, 35, 9, 5, 4, 8	pwselbas 17117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
37	36	feqmptd 6819	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
38	10, 35, 9, 5, 4, 17	pwselbas 17117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 6819	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
40	4, 33, 34, 37, 39	offval2 7531	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
41	28, 32, 40	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∙ 𝐺) = (𝐹 ∘f · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891  X_scprds 17073   ↑_s cpws 17074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-prds 17075  df-pws 17077

This theorem is referenced by:  mpfmulcl  21226  mpfind  21227  evl1muld  21419  pf1mulcl  21430  ply1rem  25233  fta1glem2  25236  fta1blem  25238  plypf1  25278  pwspjmhmmgpd  40192  evlsmulval  40201