Theorem rdglim 8409

Description: The value of the recursive definition generator at a limit ordinal. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdglim	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ∪ (rec(𝐹, 𝐴) “ 𝐵))

Proof of Theorem rdglim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limelon 6423	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
2		rdgfnon 8401	. . . 4 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) Fn On
3		fndm 6636	. . . 4 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) Fn On → dom rec(𝐹, 𝐴) = On)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom rec(𝐹, 𝐴) = On
5	1, 4	eleqtrrdi 2880	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴))
6		rdglimg 8408	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ∪ (rec(𝐹, 𝐴) “ 𝐵))
7	5, 6	sylancom 599	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ∪ (rec(𝐹, 𝐴) “ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∪ cuni 4873  dom cdm 5659   “ cima 5662  Oncon0 6357  Lim wlim 6358   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  reccrdg 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393

This theorem is referenced by:  rdglim2  8415  rdgprc  36179