MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdglim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rdglim 8426
Description: The value of the recursive definition generator at a limit ordinal. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rdglim ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴) “ 𝐵))

Proof of Theorem rdglim
StepHypRef Expression
1 limelon 6429 . . 3 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝐵 ∈ On)
2 rdgfnon 8418 . . . 4 rec(𝐹, 𝐴) Fn On
3 fndm 6653 . . . 4 (rec(𝐹, 𝐴) Fn On → dom rec(𝐹, 𝐴) = On)
42, 3ax-mp 5 . . 3 dom rec(𝐹, 𝐴) = On
51, 4eleqtrrdi 2845 . 2 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → 𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴))
6 rdglimg 8425 . 2 ((𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴) “ 𝐵))
75, 6sylancom 589 1 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = (rec(𝐹, 𝐴) “ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107   cuni 4909  dom cdm 5677  cima 5680  Oncon0 6365  Lim wlim 6366   Fn wfn 6539  cfv 6544  reccrdg 8409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410
This theorem is referenced by:  rdglim2  8432  rdgprc  34766
  Copyright terms: Public domain W3C validator