MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdg0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rdg0g 8050
Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 25-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
rdg0g (𝐴𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem rdg0g
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgeq2 8035 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → rec(𝐹, 𝑥) = rec(𝐹, 𝐴))
21fveq1d 6651 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3 id 22 . . 3 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
42, 3eqeq12d 2817 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥 ↔ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴))
5 vex 3447 . . 3 𝑥 ∈ V
65rdg0 8044 . 2 (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥
74, 6vtoclg 3518 1 (𝐴𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  c0 4246  cfv 6328  reccrdg 8032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033
This theorem is referenced by:  fr0g  8058  oa0  8128  findreccl  33909  exrecfnlem  34791
  Copyright terms: Public domain W3C validator