Theorem rdg0g 8368

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 25-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem rdg0g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgeq2 8353	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → rec(𝐹, 𝑥) = rec(𝐹, 𝐴))
2	1	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥 ↔ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴))
5		vex 3446	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	rdg0 8362	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥
7	4, 6	vtoclg 3513	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  ‘cfv 6500  reccrdg 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351

This theorem is referenced by:  fr0g  8377  oa0  8453  ttrclselem1  9646  ttrclselem2  9647  findreccl  36666  exrecfnlem  37628