Theorem rdg0g 7806

Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 25-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem rdg0g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgeq2 7791	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → rec(𝐹, 𝑥) = rec(𝐹, 𝐴))
2	1	fveq1d 6448	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2793	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥 ↔ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴))
5		vex 3401	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	rdg0 7800	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝑥)‘∅) = 𝑥
7	4, 6	vtoclg 3467	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∅c0 4141  ‘cfv 6135  reccrdg 7788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789

This theorem is referenced by:  fr0g  7814  oa0  7880  findreccl  33035