Theorem rdgsuc 8413

Description: The value of the recursive definition generator at a successor. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgsuc	⊢ (𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

Proof of Theorem rdgsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfnon 8407	. . . 4 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) Fn On
2	1	fndmi 6636	. . 3 ⊢ dom rec(𝐹, 𝐴) = On
3	2	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ On)
4		rdgsucg 8412	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
5	3, 4	sylbir 238	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  dom cdm 5655  Oncon0 6357  suc csuc 6359  ‘cfv 6533  reccrdg 8398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399

This theorem is used by:  rdgsucmptf  8417  oasuc  8511  omsuc  8513  oesuc  8514  alephsuc  10071  ackbij2lem3  10242  constrsuc  34248  satfvsuc  35940  satf0suc  35955  sat1el2xp  35958  fmlasuc0  35963  rdgprc  36371  findreccl  37072  rdgsucuni  38123  rdgeqoa  38124  finxpreclem4  38148  finxpreclem6  38150