Theorem rdgsuc 8351

Description: The value of the recursive definition generator at a successor. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgsuc	⊢ (𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

Proof of Theorem rdgsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfnon 8345	. . . 4 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) Fn On
2	1	fndmi 6592	. . 3 ⊢ dom rec(𝐹, 𝐴) = On
3	2	eleq2i 2825	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ On)
4		rdgsucg 8350	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
5	3, 4	sylbir 235	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  dom cdm 5621  Oncon0 6313  suc csuc 6315  ‘cfv 6488  reccrdg 8336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337

This theorem is referenced by:  rdgsucmptf  8355  oasuc  8447  omsuc  8449  oesuc  8450  alephsuc  9968  ackbij2lem3  10140  constrsuc  33774  satfvsuc  35428  satf0suc  35443  sat1el2xp  35446  fmlasuc0  35451  rdgprc  35859  findreccl  36520  rdgsucuni  37436  rdgeqoa  37437  finxpreclem4  37461  finxpreclem6  37463