Theorem rdgsuc 8413

Description: The value of the recursive definition generator at a successor. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgsuc	⊢ (𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

Proof of Theorem rdgsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfnon 8407	. . . 4 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) Fn On
2	1	fndmi 6643	. . 3 ⊢ dom rec(𝐹, 𝐴) = On
3	2	eleq2i 2857	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ On)
4		rdgsucg 8412	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
5	3, 4	sylbir 238	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  dom cdm 5663  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ‘cfv 6540  reccrdg 8398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399

This theorem is used by:  rdgsucmptf  8417  oasuc  8511  omsuc  8513  oesuc  8514  alephsuc  10064  ackbij2lem3  10235  constrsuc  34168  satfvsuc  35866  satf0suc  35881  sat1el2xp  35884  fmlasuc0  35889  rdgprc  36297  findreccl  36997  rdgsucuni  38048  rdgeqoa  38049  finxpreclem4  38073  finxpreclem6  38075