Theorem rdgsuc 8388

Description: The value of the recursive definition generator at a successor. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rdgsuc	⊢ (𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

Proof of Theorem rdgsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfnon 8382	. . . 4 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) Fn On
2	1	fndmi 6619	. . 3 ⊢ dom rec(𝐹, 𝐴) = On
3	2	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ On)
4		rdgsucg 8387	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
5	3, 4	sylbir 237	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘suc 𝐵) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  dom cdm 5643  Oncon0 6340  suc csuc 6342  ‘cfv 6515  reccrdg 8373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374

This theorem is referenced by:  rdgsucmptf  8392  oasuc  8486  omsuc  8488  oesuc  8489  alephsuc  10017  ackbij2lem3  10189  constrsuc  33995  satfvsuc  35671  satf0suc  35686  sat1el2xp  35689  fmlasuc0  35694  rdgprc  36102  findreccl  36773  rdgsucuni  37823  rdgeqoa  37824  finxpreclem4  37848  finxpreclem6  37850