MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescval2 17719
Description: Value of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescval.1 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
rescval2.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rescval2.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
rescval2.3 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
rescval2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rescval2
StepHypRef Expression
1 rescval2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
2 rescval2.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
3 rescval2.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
43, 3xpexd 7689 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ V)
5 fnex 7171 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ V) β†’ 𝐻 ∈ V)
62, 4, 5syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
7 rescval.1 . . . 4 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
87rescval 17718 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ V) β†’ 𝐷 = ((𝐢 β†Ύs dom dom 𝐻) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
91, 6, 8syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐢 β†Ύs dom dom 𝐻) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
102fndmd 6611 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 = (𝑆 Γ— 𝑆))
1110dmeqd 5865 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 = dom (𝑆 Γ— 𝑆))
12 dmxpid 5889 . . . . 5 dom (𝑆 Γ— 𝑆) = 𝑆
1311, 12eqtrdi 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 = 𝑆)
1413oveq2d 7377 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύs dom dom 𝐻) = (𝐢 β†Ύs 𝑆))
1514oveq1d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύs dom dom 𝐻) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
169, 15eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βŸ¨cop 4596   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637   Fn wfn 6495  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   sSet csts 17043  ndxcnx 17073   β†Ύs cress 17120  Hom chom 17152   β†Ύcat cresc 17699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-resc 17702
This theorem is referenced by:  rescbas  17720  rescbasOLD  17721  reschom  17722  rescco  17724  resccoOLD  17725  rescabs  17726  rescabsOLD  17727  rescabs2  17728  dfrngc2  46360  dfringc2  46406  rngcresringcat  46418  rngcrescrhm  46473  rngcrescrhmALTV  46491
  Copyright terms: Public domain W3C validator