MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescval2 17818
Description: Value of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescval.1 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
rescval2.1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rescval2.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
rescval2.3 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
rescval2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rescval2
StepHypRef Expression
1 rescval2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
2 rescval2.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
3 rescval2.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
43, 3xpexd 7759 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ V)
5 fnex 7235 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) ∈ V) β†’ 𝐻 ∈ V)
62, 4, 5syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ V)
7 rescval.1 . . . 4 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
87rescval 17817 . . 3 ((𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐻 ∈ V) β†’ 𝐷 = ((𝐢 β†Ύs dom dom 𝐻) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
91, 6, 8syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐢 β†Ύs dom dom 𝐻) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
102fndmd 6664 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐻 = (𝑆 Γ— 𝑆))
1110dmeqd 5912 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 = dom (𝑆 Γ— 𝑆))
12 dmxpid 5936 . . . . 5 dom (𝑆 Γ— 𝑆) = 𝑆
1311, 12eqtrdi 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom dom 𝐻 = 𝑆)
1413oveq2d 7442 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύs dom dom 𝐻) = (𝐢 β†Ύs 𝑆))
1514oveq1d 7441 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 β†Ύs dom dom 𝐻) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩) = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
169, 15eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  βŸ¨cop 4638   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682   Fn wfn 6548  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   sSet csts 17139  ndxcnx 17169   β†Ύs cress 17216  Hom chom 17251   β†Ύcat cresc 17798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-resc 17801
This theorem is referenced by:  rescbas  17819  rescbasOLD  17820  reschom  17821  rescco  17823  resccoOLD  17824  rescabs  17825  rescabsOLD  17826  rescabs2  17827  dfrngc2  20568  dfringc2  20597  rngcresringcat  20609  rngcrescrhm  20624  rngcrescrhmALTV  47420
  Copyright terms: Public domain W3C validator