Theorem rngcrescrhmALTV 48197

Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV	⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐻) = ((𝐶 ↾s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhmALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐻) = (𝐶 ↾cat 𝐻)
2		rngcrescrhmALTV.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
3	2	fvexi 6879	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
5		rngcrescrhmALTV.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
6		incom 4180	. . . 4 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
7	5, 6	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
8		rngcrescrhmALTV.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		inex1g 5282	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
11	7, 10	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
12		inss1 4208	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
13	5, 12	eqsstrdi 3999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ Ring)
14		xpss12 5661	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
15	13, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
16		rhmfn 20414	. . . . 5 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
17		fnssresb 6648	. . . . 5 ⊢ ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
18	16, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
19	15, 18	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
20		rngcrescrhmALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
21	20	fneq1i 6623	. . 3 ⊢ (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
22	19, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
23	1, 4, 11, 22	rescval2 17796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐻) = ((𝐶 ↾s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3455   ∩ cin 3921   ⊆ wss 3922  ⟨cop 4603   × cxp 5644   ↾ cres 5648   Fn wfn 6514  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394   sSet csts 17139  ndxcnx 17169   ↾_s cress 17206  Hom chom 17237   ↾_cat cresc 17776  Ringcrg 20148   RingHom crh 20384  RngCatALTVcrngcALTV 48180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-resc 17779  df-mhm 18716  df-ghm 19151  df-mgp 20056  df-ur 20097  df-ring 20150  df-rhm 20387

This theorem is referenced by: (None)