Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcrescrhmALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcrescrhmALTV 47265
Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmALTV.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
rngcrescrhmALTV.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rngcrescrhmALTV.h 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rngcrescrhmALTV (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = ((𝐢 β†Ύs 𝑅) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhmALTV
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . 2 (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
2 rngcrescrhmALTV.c . . . 4 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
32fvexi 6905 . . 3 𝐢 ∈ V
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ V)
5 rngcrescrhmALTV.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
6 incom 4197 . . . 4 (Ring ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ Ring)
75, 6eqtrdi 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (π‘ˆ ∩ Ring))
8 rngcrescrhmALTV.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
9 inex1g 5313 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) ∈ V)
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) ∈ V)
117, 10eqeltrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
12 inss1 4224 . . . . . 6 (Ring ∩ π‘ˆ) βŠ† Ring
135, 12eqsstrdi 4032 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† Ring)
14 xpss12 5687 . . . . 5 ((𝑅 βŠ† Ring ∧ 𝑅 βŠ† Ring) β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (Ring Γ— Ring))
1513, 13, 14syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (Ring Γ— Ring))
16 rhmfn 20427 . . . . 5 RingHom Fn (Ring Γ— Ring)
17 fnssresb 6671 . . . . 5 ( RingHom Fn (Ring Γ— Ring) β†’ (( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) Fn (𝑅 Γ— 𝑅) ↔ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (Ring Γ— Ring)))
1816, 17mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) Fn (𝑅 Γ— 𝑅) ↔ (𝑅 Γ— 𝑅) βŠ† (Ring Γ— Ring)))
1915, 18mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) Fn (𝑅 Γ— 𝑅))
20 rngcrescrhmALTV.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
2120fneq1i 6645 . . 3 (𝐻 Fn (𝑅 Γ— 𝑅) ↔ ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅)) Fn (𝑅 Γ— 𝑅))
2219, 21sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑅 Γ— 𝑅))
231, 4, 11, 22rescval2 17802 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 β†Ύcat 𝐻) = ((𝐢 β†Ύs 𝑅) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   sSet csts 17123  ndxcnx 17153   β†Ύs cress 17200  Hom chom 17235   β†Ύcat cresc 17782  Ringcrg 20164   RingHom crh 20397  RngCatALTVcrngcALTV 47248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-resc 17785  df-mhm 18731  df-ghm 19159  df-mgp 20066  df-ur 20113  df-ring 20166  df-rhm 20400
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator