Theorem rngcrescrhmALTV 48772

Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV	⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐻) = ((𝐶 ↾s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhmALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐻) = (𝐶 ↾cat 𝐻)
2		rngcrescrhmALTV.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
3	2	fvexi 6848	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
5		rngcrescrhmALTV.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
6		incom 4145	. . . 4 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
7	5, 6	eqtrdi 2791	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
8		rngcrescrhmALTV.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		inex1g 5254	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
11	7, 10	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
12		inss1 4172	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
13	5, 12	eqsstrdi 3966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ Ring)
14		xpss12 5640	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
15	13, 13, 14	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
16		rhmfn 20477	. . . . 5 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
17		fnssresb 6614	. . . . 5 ⊢ ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
18	16, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
19	15, 18	mpbird 258	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
20		rngcrescrhmALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
21	20	fneq1i 6589	. . 3 ⊢ (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
22	19, 21	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
23	1, 4, 11, 22	rescval2 17793	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐻) = ((𝐶 ↾s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ⟨cop 4568   × cxp 5623   ↾ cres 5627   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   sSet csts 17131  ndxcnx 17161   ↾_s cress 17198  Hom chom 17229   ↾_cat cresc 17773  Ringcrg 20212   RingHom crh 20447  RngCatALTVcrngcALTV 48755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-resc 17776  df-mhm 18749  df-ghm 19186  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-ring 20214  df-rhm 20450

This theorem is referenced by: (None)