Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcrescrhmALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcrescrhmALTV 42951
Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhmALTV.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhmALTV.c 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rngcrescrhmALTV (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhmALTV
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . 2 (𝐶cat 𝐻) = (𝐶cat 𝐻)
2 rngcrescrhmALTV.c . . . 4 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
32fvexi 6448 . . 3 𝐶 ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝐶 ∈ V)
5 rngcrescrhmALTV.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
6 incom 4033 . . . 4 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
75, 6syl6eq 2878 . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
8 rngcrescrhmALTV.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
9 inex1g 5027 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
117, 10eqeltrd 2907 . 2 (𝜑𝑅 ∈ V)
12 inss1 4058 . . . . . 6 (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
135, 12syl6eqss 3881 . . . . 5 (𝜑𝑅 ⊆ Ring)
14 xpss12 5358 . . . . 5 ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
1513, 13, 14syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
16 rhmfn 42766 . . . . 5 RingHom Fn (Ring × Ring)
17 fnssresb 6237 . . . . 5 ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1816, 17mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1915, 18mpbird 249 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
20 rngcrescrhmALTV.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
2120fneq1i 6219 . . 3 (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
2219, 21sylibr 226 . 2 (𝜑𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
231, 4, 11, 22rescval2 16841 1 (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3415  cin 3798  wss 3799  cop 4404   × cxp 5341  cres 5345   Fn wfn 6119  cfv 6124  (class class class)co 6906  ndxcnx 16220   sSet csts 16221  s cress 16224  Hom chom 16317  cat cresc 16821  Ringcrg 18902   RingHom crh 19069  RngCatALTVcrngcALTV 42806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-plusg 16319  df-0g 16456  df-resc 16824  df-mhm 17689  df-ghm 18010  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-rnghom 19072
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator