Theorem dfringc2 20785

Description: Alternate definition of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 16-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfringc2.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
dfringc2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
dfringc2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
dfringc2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
dfringc2.o	⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dfringc2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem dfringc2

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfringc2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		dfringc2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		dfringc2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
4		dfringc2.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	ringcval 20775	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻))
6		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻)
7		fvexd 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
8		inex1g 5290	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
9	2, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
10	3, 9	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
11	3, 4	rhmresfn 20776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
12	6, 7, 10, 11	rescval2 17902	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = (((ExtStrCat‘𝑈) ↾s 𝐵) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
14		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
15		dfringc2.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
16		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
17	13, 2, 16	estrccofval 18202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑m (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓))))
18	15, 17	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑m (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓))))
19	13, 2, 14, 18	estrcval 18197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
20		mpoexga 8076	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) ∈ V)
21	2, 2, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) ∈ V)
22		fvexd 6900	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) ∈ V)
23	15, 22	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
24		rhmfn 20613	. . . . . 6 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
25		fnfun 6639	. . . . . 6 ⊢ ( RingHom Fn (Ring × Ring) → Fun RingHom )
26	24, 25	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun RingHom )
27		sqxpexg 7756	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) ∈ V)
28	10, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ∈ V)
29		resfunexg 7217	. . . . 5 ⊢ ((Fun RingHom ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
30	26, 28, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
31	4, 30	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
32		inss1 4189	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
33	3, 32	eqsstrdi 3982	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
34	19, 2, 21, 23, 31, 33	estrres 18212	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ExtStrCat‘𝑈) ↾s 𝐵) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
35	5, 12, 34	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∩ cin 3905  {ctp 4595  ⟨cop 4597   × cxp 5661   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987   ↑_m cmap 8826   sSet csts 17240  ndxcnx 17270  Basecbs 17286   ↾_s cress 17307  Hom chom 17338  compcco 17339   ↾_cat cresc 17882  ExtStrCatcestrc 18195  Ringcrg 20338   RingHom crh 20576  RingCatcringc 20773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-resc 17885  df-estrc 18196  df-mhm 18864  df-ghm 19307  df-mgp 20240  df-ur 20287  df-ring 20340  df-rhm 20579  df-ringc 20774

This theorem is used by:  rngcresringcat  20797