Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfringc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfringc2 44640
Description: Alternate definition of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 16-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dfringc2.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
dfringc2.u (𝜑𝑈𝑉)
dfringc2.b (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
dfringc2.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
dfringc2.o (𝜑· = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
Assertion
Ref Expression
dfringc2 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem dfringc2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfringc2.c . . 3 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2 dfringc2.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
3 dfringc2.b . . 3 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
4 dfringc2.h . . 3 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
51, 2, 3, 4ringcval 44630 . 2 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻))
6 eqid 2798 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻)
7 fvexd 6660 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
8 inex1g 5187 . . . . 5 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
103, 9eqeltrd 2890 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
113, 4rhmresfn 44631 . . 3 (𝜑𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
126, 7, 10, 11rescval2 17090 . 2 (𝜑 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = (((ExtStrCat‘𝑈) ↾s 𝐵) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
13 eqid 2798 . . . 4 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
14 eqidd 2799 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
15 dfringc2.o . . . . 5 (𝜑· = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
16 eqid 2798 . . . . . 6 (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
1713, 2, 16estrccofval 17371 . . . . 5 (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd𝑣)) ↑m (Base‘(1st𝑣))) ↦ (𝑔𝑓))))
1815, 17eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑· = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd𝑣)) ↑m (Base‘(1st𝑣))) ↦ (𝑔𝑓))))
1913, 2, 14, 18estrcval 17366 . . 3 (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
20 mpoexga 7758 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑈𝑉) → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) ∈ V)
212, 2, 20syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) ∈ V)
22 fvexd 6660 . . . 4 (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) ∈ V)
2315, 22eqeltrd 2890 . . 3 (𝜑· ∈ V)
24 rhmfn 44540 . . . . . 6 RingHom Fn (Ring × Ring)
25 fnfun 6423 . . . . . 6 ( RingHom Fn (Ring × Ring) → Fun RingHom )
2624, 25mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → Fun RingHom )
27 sqxpexg 7457 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) ∈ V)
2810, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ∈ V)
29 resfunexg 6955 . . . . 5 ((Fun RingHom ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
3026, 28, 29syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
314, 30eqeltrd 2890 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ V)
32 inss1 4155 . . . 4 (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
333, 32eqsstrdi 3969 . . 3 (𝜑𝐵𝑈)
3419, 2, 21, 23, 31, 33estrres 17381 . 2 (𝜑 → (((ExtStrCat‘𝑈) ↾s 𝐵) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
355, 12, 343eqtrd 2837 1 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  Vcvv 3441  cin 3880  {ctp 4529  cop 4531   × cxp 5517  cres 5521  ccom 5523  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  cfv 6324  (class class class)co 7135  cmpo 7137  1st c1st 7669  2nd c2nd 7670  m cmap 8389  ndxcnx 16472   sSet csts 16473  Basecbs 16475  s cress 16476  Hom chom 16568  compcco 16569  cat cresc 17070  ExtStrCatcestrc 17364  Ringcrg 19290   RingHom crh 19460  RingCatcringc 44625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-resc 17073  df-estrc 17365  df-mhm 17948  df-ghm 18348  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-rnghom 19463  df-ringc 44627
This theorem is referenced by:  rngcresringcat  44652
  Copyright terms: Public domain W3C validator