Theorem dfringc2 20617

Description: Alternate definition of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 16-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfringc2.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
dfringc2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
dfringc2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
dfringc2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
dfringc2.o	⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dfringc2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem dfringc2

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfringc2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		dfringc2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		dfringc2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
4		dfringc2.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	ringcval 20607	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻))
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻)
7		fvexd 6891	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
8		inex1g 5289	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
10	3, 9	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
11	3, 4	rhmresfn 20608	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
12	6, 7, 10, 11	rescval2 17841	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = (((ExtStrCat‘𝑈) ↾s 𝐵) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
14		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
15		dfringc2.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
16		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
17	13, 2, 16	estrccofval 18141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑m (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓))))
18	15, 17	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑m (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑m (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓))))
19	13, 2, 14, 18	estrcval 18136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
20		mpoexga 8076	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) ∈ V)
21	2, 2, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))) ∈ V)
22		fvexd 6891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) ∈ V)
23	15, 22	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
24		rhmfn 20459	. . . . . 6 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
25		fnfun 6638	. . . . . 6 ⊢ ( RingHom Fn (Ring × Ring) → Fun RingHom )
26	24, 25	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun RingHom )
27		sqxpexg 7749	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) ∈ V)
28	10, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ∈ V)
29		resfunexg 7207	. . . . 5 ⊢ ((Fun RingHom ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
30	26, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
31	4, 30	eqeltrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
32		inss1 4212	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
33	3, 32	eqsstrdi 4003	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
34	19, 2, 21, 23, 31, 33	estrres 18151	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ExtStrCat‘𝑈) ↾s 𝐵) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
35	5, 12, 34	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∩ cin 3925  {ctp 4605  ⟨cop 4607   × cxp 5652   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987   ↑_m cmap 8840   sSet csts 17182  ndxcnx 17212  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  Hom chom 17282  compcco 17283   ↾_cat cresc 17821  ExtStrCatcestrc 18134  Ringcrg 20193   RingHom crh 20429  RingCatcringc 20605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-resc 17824  df-estrc 18135  df-mhm 18761  df-ghm 19196  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-rhm 20432  df-ringc 20606

This theorem is referenced by:  rngcresringcat  20629