Theorem dfringc2 43687

Description: Alternate definition of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 16-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfringc2.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
dfringc2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
dfringc2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
dfringc2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
dfringc2.o	⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))

Assertion

Ref	Expression
dfringc2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Proof of Theorem dfringc2

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfringc2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		dfringc2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		dfringc2.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
4		dfringc2.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	ringcval 43677	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻))
6		eqid 2771	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻)
7		fvexd 6511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) ∈ V)
8		inex1g 5076	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
10	3, 9	eqeltrd 2859	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
11	3, 4	rhmresfn 43678	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
12	6, 7, 10, 11	rescval2 16968	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat 𝐻) = (((ExtStrCat‘𝑈) ↾s 𝐵) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
13		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
14		eqidd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))))
15		dfringc2.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)))
16		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (comp‘(ExtStrCat‘𝑈))
17	13, 2, 16	estrccofval 17249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑𝑚 (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑𝑚 (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓))))
18	15, 17	eqtrd 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧 ∈ 𝑈 ↦ (𝑔 ∈ ((Base‘𝑧) ↑𝑚 (Base‘(2nd ‘𝑣))), 𝑓 ∈ ((Base‘(2nd ‘𝑣)) ↑𝑚 (Base‘(1st ‘𝑣))) ↦ (𝑔 ∘ 𝑓))))
19	13, 2, 14, 18	estrcval 17244	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ExtStrCat‘𝑈) = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥)))⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
20		mpoexga 7581	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))) ∈ V)
21	2, 2, 20	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑𝑚 (Base‘𝑥))) ∈ V)
22		fvexd 6511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (comp‘(ExtStrCat‘𝑈)) ∈ V)
23	15, 22	eqeltrd 2859	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
24		rhmfn 43587	. . . . . 6 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
25		fnfun 6283	. . . . . 6 ⊢ ( RingHom Fn (Ring × Ring) → Fun RingHom )
26	24, 25	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun RingHom )
27		sqxpexg 7292	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 × 𝐵) ∈ V)
28	10, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ∈ V)
29		resfunexg 6802	. . . . 5 ⊢ ((Fun RingHom ∧ (𝐵 × 𝐵) ∈ V) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
30	26, 28, 29	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
31	4, 30	eqeltrd 2859	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
32		inss1 4086	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∩ Ring) ⊆ 𝑈
33	3, 32	syl6eqss 3904	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑈)
34	19, 2, 21, 23, 31, 33	estrres 17259	. 2 ⊢ (𝜑 → (((ExtStrCat‘𝑈) ↾s 𝐵) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩) = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})
35	5, 12, 34	3eqtrd 2811	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  Vcvv 3408   ∩ cin 3821  {ctp 4439  ⟨cop 4441   × cxp 5401   ↾ cres 5405   ∘ ccom 5407  Fun wfun 6179   Fn wfn 6180  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   ∈ cmpo 6976  1^st c1st 7497  2^nd c2nd 7498   ↑_𝑚 cmap 8204  ndxcnx 16334   sSet csts 16335  Basecbs 16337   ↾_s cress 16338  Hom chom 16430  compcco 16431   ↾_cat cresc 16948  ExtStrCatcestrc 17242  Ringcrg 19032   RingHom crh 19199  RingCatcringc 43672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-hom 16443  df-cco 16444  df-0g 16569  df-resc 16951  df-estrc 17243  df-mhm 17815  df-ghm 18139  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-rnghom 19202  df-ringc 43674

This theorem is referenced by:  rngcresringcat  43699