MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reschom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reschom 17092
Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
rescbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c (𝜑𝐶𝑉)
rescbas.h (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s (𝜑𝑆𝐵)
Assertion
Ref Expression
reschom (𝜑𝐻 = (Hom ‘𝐷))

Proof of Theorem reschom
StepHypRef Expression
1 ovex 7168 . . 3 (𝐶s 𝑆) ∈ V
2 rescbas.h . . . 4 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3 rescbas.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
4 rescbas.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐶)
54fvexi 6659 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
65ssex 5189 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
73, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ V)
87, 7xpexd 7454 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9 fnex 6957 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
102, 8, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ V)
11 homid 16680 . . . 4 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
1211setsid 16530 . . 3 (((𝐶s 𝑆) ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐻 = (Hom ‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
131, 10, 12sylancr 590 . 2 (𝜑𝐻 = (Hom ‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
14 rescbas.d . . . 4 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
15 rescbas.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
1614, 15, 7, 2rescval2 17090 . . 3 (𝜑𝐷 = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
1716fveq2d 6649 . 2 (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
1813, 17eqtr4d 2836 1 (𝜑𝐻 = (Hom ‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  Vcvv 3441  wss 3881  cop 4531   × cxp 5517   Fn wfn 6319  cfv 6324  (class class class)co 7135  ndxcnx 16472   sSet csts 16473  Basecbs 16475  s cress 16476  Hom chom 16568  cat cresc 17070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-dec 12087  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-sets 16482  df-hom 16581  df-resc 17073
This theorem is referenced by:  reschomf  17093  subccatid  17108  issubc3  17111  fullresc  17113  funcres  17158  funcres2b  17159  funcres2  17160  idfusubc  44485  rngchomfval  44585  ringchomfval  44631
  Copyright terms: Public domain W3C validator