MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reschom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reschom 17842
Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
rescbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c (𝜑𝐶𝑉)
rescbas.h (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s (𝜑𝑆𝐵)
Assertion
Ref Expression
reschom (𝜑𝐻 = (Hom ‘𝐷))

Proof of Theorem reschom
StepHypRef Expression
1 ovex 7449 . . 3 (𝐶s 𝑆) ∈ V
2 rescbas.h . . . 4 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3 rescbas.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
4 rescbas.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐶)
54fvexi 6907 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
65ssex 5318 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
73, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ V)
87, 7xpexd 7751 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9 fnex 7226 . . . 4 ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
102, 8, 9syl2anc 582 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ V)
11 homid 17421 . . . 4 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
1211setsid 17205 . . 3 (((𝐶s 𝑆) ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐻 = (Hom ‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
131, 10, 12sylancr 585 . 2 (𝜑𝐻 = (Hom ‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
14 rescbas.d . . . 4 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
15 rescbas.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
1614, 15, 7, 2rescval2 17839 . . 3 (𝜑𝐷 = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
1716fveq2d 6897 . 2 (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
1813, 17eqtr4d 2769 1 (𝜑𝐻 = (Hom ‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3946  cop 4629   × cxp 5672   Fn wfn 6541  cfv 6546  (class class class)co 7416   sSet csts 17160  ndxcnx 17190  Basecbs 17208  s cress 17237  Hom chom 17272  cat cresc 17819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-ltxr 11294  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-dec 12724  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-hom 17285  df-resc 17822
This theorem is referenced by:  reschomf  17843  subccatid  17860  issubc3  17863  fullresc  17865  funcres  17910  funcres2b  17911  funcres2  17912  idfusubc  17914  rngchomfval  20596  ringchomfval  20625  subthinc  48397
  Copyright terms: Public domain W3C validator