Theorem reschom 17752

Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reschom	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))

Proof of Theorem reschom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7389	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V
2		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3		rescbas.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		rescbas.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	4	fvexi 6846	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	ssex 5264	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8	7, 7	xpexd 7694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9		fnex 7161	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
10	2, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
11		homid 17330	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
12	11	setsid 17132	. . 3 ⊢ (((𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐻 = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
13	1, 10, 12	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
14		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
15		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	14, 15, 7, 2	rescval2 17750	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
17	16	fveq2d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
18	13, 17	eqtr4d 2772	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4584   × cxp 5620   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   sSet csts 17088  ndxcnx 17118  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  Hom chom 17186   ↾_cat cresc 17730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-dec 12606  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-hom 17199  df-resc 17733

This theorem is referenced by:  reschomf  17753  subccatid  17768  issubc3  17771  fullresc  17773  funcres  17818  funcres2b  17819  funcres2  17820  idfusubc  17822  rngchomfval  20553  ringchomfval  20582  ssccatid  49259  resccatlem  49260  subthinc  49630