Theorem reschom 17791

Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reschom	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))

Proof of Theorem reschom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7394	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V
2		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3		rescbas.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		rescbas.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	4	fvexi 6849	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	ssex 5259	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8	7, 7	xpexd 7699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9		fnex 7166	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
10	2, 8, 9	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
11		homid 17369	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
12	11	setsid 17171	. . 3 ⊢ (((𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐻 = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
13	1, 10, 12	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
14		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
15		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	14, 15, 7, 2	rescval2 17789	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
17	16	fveq2d 6839	. 2 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
18	13, 17	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ⟨cop 4574   × cxp 5623   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   sSet csts 17127  ndxcnx 17157  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  Hom chom 17225   ↾_cat cresc 17769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-dec 12639  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-hom 17238  df-resc 17772

This theorem is referenced by:  reschomf  17792  subccatid  17807  issubc3  17810  fullresc  17812  funcres  17857  funcres2b  17858  funcres2  17859  idfusubc  17861  rngchomfval  20593  ringchomfval  20622  ssccatid  49562  resccatlem  49563  subthinc  49933