Theorem reschom 17779

Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
reschom	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))

Proof of Theorem reschom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7435	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V
2		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
3		rescbas.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		rescbas.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	4	fvexi 6896	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	5	ssex 5312	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8	7, 7	xpexd 7732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × 𝑆) ∈ V)
9		fnex 7211	. . . 4 ⊢ ((𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝑆 × 𝑆) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
10	2, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
11		homid 17358	. . . 4 ⊢ Hom = Slot (Hom ‘ndx)
12	11	setsid 17142	. . 3 ⊢ (((𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐻 = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
13	1, 10, 12	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
14		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
15		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
16	14, 15, 7, 2	rescval2 17776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
17	16	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
18	13, 17	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Hom ‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ⊆ wss 3941  ⟨cop 4627   × cxp 5665   Fn wfn 6529  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   sSet csts 17097  ndxcnx 17127  Basecbs 17145   ↾_s cress 17174  Hom chom 17209   ↾_cat cresc 17756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-ltxr 11251  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-dec 12676  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-hom 17222  df-resc 17759

This theorem is referenced by:  reschomf  17780  subccatid  17797  issubc3  17800  fullresc  17802  funcres  17847  funcres2b  17848  funcres2  17849  idfusubc  17851  rngchomfval  20510  ringchomfval  20539  subthinc  47872