Theorem resccoOLD 17882

Description: Obsolete version of rescco 17881 as of 14-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
rescco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
resccoOLD	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Proof of Theorem resccoOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccoid 17460	. . 3 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
2		1nn0 12540	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		4nn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 12751	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ
5	4	nnrei 12273	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
6		4nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
7		5nn 12350	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
8		4lt5 12441	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
9	2, 6, 7, 8	declt 12759	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
10	5, 9	gtneii 11371	. . . 4 ⊢ ;15 ≠ ;14
11		ccondx 17459	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
12		homndx 17457	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
13	11, 12	neeq12i 3005	. . . 4 ⊢ ((comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;15 ≠ ;14)
14	10, 13	mpbir 231	. . 3 ⊢ (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
15	1, 14	setsnid 17243	. 2 ⊢ (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
16		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17		rescbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
18	17	fvexi 6921	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	ssex 5327	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
21		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
22		rescco.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
23	21, 22	ressco 17466	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
24	20, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
25		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
26		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
27		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
28	25, 26, 20, 27	rescval2 17876	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
29	28	fveq2d 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐷) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
30	15, 24, 29	3eqtr4a 2801	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ⟨cop 4637   × cxp 5687   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  4c4 12321  5c5 12322  ;cdc 12731   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  Hom chom 17309  compcco 17310   ↾_cat cresc 17856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-hom 17322  df-cco 17323  df-resc 17859

This theorem is referenced by: (None)