Theorem resccoOLD 17463

Description: Obsolete proof of rescco 17462 as of 14-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
rescco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
resccoOLD	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Proof of Theorem resccoOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccoid 17043	. . 3 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
2		1nn0 12179	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		4nn 11986	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 12386	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ
5	4	nnrei 11912	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
6		4nn0 12182	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
7		5nn 11989	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
8		4lt5 12080	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
9	2, 6, 7, 8	declt 12394	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
10	5, 9	gtneii 11017	. . . 4 ⊢ ;15 ≠ ;14
11		ccondx 17042	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
12		homndx 17040	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
13	11, 12	neeq12i 3009	. . . 4 ⊢ ((comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;15 ≠ ;14)
14	10, 13	mpbir 230	. . 3 ⊢ (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
15	1, 14	setsnid 16838	. 2 ⊢ (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
16		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17		rescbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
18	17	fvexi 6770	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	ssex 5240	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
22		rescco.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
23	21, 22	ressco 17047	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
24	20, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
25		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
26		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
27		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
28	25, 26, 20, 27	rescval2 17457	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
29	28	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐷) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
30	15, 24, 29	3eqtr4a 2805	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ⟨cop 4564   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  4c4 11960  5c5 11961  ;cdc 12366   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Hom chom 16899  compcco 16900   ↾_cat cresc 17437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-hom 16912  df-cco 16913  df-resc 17440

This theorem is referenced by: (None)