Theorem resccoOLD 17790

Description: Obsolete proof of rescco 17789 as of 14-Oct-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
rescco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
resccoOLD	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Proof of Theorem resccoOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccoid 17368	. . 3 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
2		1nn0 12492	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		4nn 12299	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 12701	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ
5	4	nnrei 12225	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
6		4nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
7		5nn 12302	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
8		4lt5 12393	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
9	2, 6, 7, 8	declt 12709	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
10	5, 9	gtneii 11330	. . . 4 ⊢ ;15 ≠ ;14
11		ccondx 17367	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
12		homndx 17365	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
13	11, 12	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;15 ≠ ;14)
14	10, 13	mpbir 230	. . 3 ⊢ (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
15	1, 14	setsnid 17151	. 2 ⊢ (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
16		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17		rescbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
18	17	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	ssex 5314	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
21		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
22		rescco.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
23	21, 22	ressco 17374	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
24	20, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
25		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
26		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
27		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
28	25, 26, 20, 27	rescval2 17784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
29	28	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐷) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
30	15, 24, 29	3eqtr4a 2792	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ⟨cop 4629   × cxp 5667   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  4c4 12273  5c5 12274  ;cdc 12681   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  Basecbs 17153   ↾_s cress 17182  Hom chom 17217  compcco 17218   ↾_cat cresc 17764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-hom 17230  df-cco 17231  df-resc 17767

This theorem is referenced by: (None)