Theorem rescbas 17775

Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rescbas	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17146	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		slotsbhcdif 17359	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
3	2	simp1i 1139	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17141	. 2 ⊢ (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
5		rescbas.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
7		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
8	6, 7	ressbas2 17181	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
10		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
11		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
12	7	fvexi 6905	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	12	ssex 5321	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
14	5, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
15		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
16	10, 11, 14, 15	rescval2 17774	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
17	16	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
18	4, 9, 17	3eqtr4a 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ⟨cop 4634   × cxp 5674   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   sSet csts 17095  ndxcnx 17125  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  Hom chom 17207  compcco 17208   ↾_cat cresc 17754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-hom 17220  df-cco 17221  df-resc 17757

This theorem is referenced by:  reschomf  17778  subccatid  17795  issubc3  17798  fullresc  17800  funcres  17845  funcres2b  17846  funcres2  17847  rngcbas  46853  ringcbas  46899  subthinc  47650