Theorem rescbas 17873

Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rescbas	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17250	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		slotsbhcdif 17459	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
3	2	simp1i 1140	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17245	. 2 ⊢ (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
5		rescbas.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
7		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
8	6, 7	ressbas2 17283	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
9	5, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
10		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
11		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
12	7	fvexi 6920	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	12	ssex 5321	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
14	5, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
15		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
16	10, 11, 14, 15	rescval2 17872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
17	16	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
18	4, 9, 17	3eqtr4a 2803	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ⟨cop 4632   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  Hom chom 17308  compcco 17309   ↾_cat cresc 17852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-hom 17321  df-cco 17322  df-resc 17855

This theorem is referenced by:  reschomf  17875  subccatid  17891  issubc3  17894  fullresc  17896  funcres  17941  funcres2b  17942  funcres2  17943  rngcbas  20621  ringcbas  20650  subthinc  49092