MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescbas 17758
Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
rescbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c (𝜑𝐶𝑉)
rescbas.h (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s (𝜑𝑆𝐵)
Assertion
Ref Expression
rescbas (𝜑𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbas
StepHypRef Expression
1 baseid 17129 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
2 slotsbhcdif 17342 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
32simp1i 1139 . . 3 (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
41, 3setsnid 17124 . 2 (Base‘(𝐶s 𝑆)) = (Base‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
5 rescbas.s . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
6 eqid 2731 . . . 4 (𝐶s 𝑆) = (𝐶s 𝑆)
7 rescbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
86, 7ressbas2 17164 . . 3 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘(𝐶s 𝑆)))
95, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑆 = (Base‘(𝐶s 𝑆)))
10 rescbas.d . . . 4 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
11 rescbas.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
127fvexi 6892 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
1312ssex 5314 . . . . 5 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
145, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
15 rescbas.h . . . 4 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
1610, 11, 14, 15rescval2 17757 . . 3 (𝜑𝐷 = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
1716fveq2d 6882 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
184, 9, 173eqtr4a 2797 1 (𝜑𝑆 = (Base‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  Vcvv 3473  wss 3944  cop 4628   × cxp 5667   Fn wfn 6527  cfv 6532  (class class class)co 7393   sSet csts 17078  ndxcnx 17108  Basecbs 17126  s cress 17155  Hom chom 17190  compcco 17191  cat cresc 17737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-hom 17203  df-cco 17204  df-resc 17740
This theorem is referenced by:  reschomf  17761  subccatid  17778  issubc3  17781  fullresc  17783  funcres  17828  funcres2b  17829  funcres2  17830  rngcbas  46509  ringcbas  46555  subthinc  47306
  Copyright terms: Public domain W3C validator