MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescbas 17720
Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
rescbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rescbas.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rescbas.h (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
rescbas.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
rescbas (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π·))

Proof of Theorem rescbas
StepHypRef Expression
1 baseid 17094 . . 3 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
2 slotsbhcdif 17304 . . . 4 ((Baseβ€˜ndx) β‰  (Hom β€˜ndx) ∧ (Baseβ€˜ndx) β‰  (compβ€˜ndx) ∧ (Hom β€˜ndx) β‰  (compβ€˜ndx))
32simp1i 1140 . . 3 (Baseβ€˜ndx) β‰  (Hom β€˜ndx)
41, 3setsnid 17089 . 2 (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
5 rescbas.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
6 eqid 2733 . . . 4 (𝐢 β†Ύs 𝑆) = (𝐢 β†Ύs 𝑆)
7 rescbas.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
86, 7ressbas2 17128 . . 3 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))
95, 8syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(𝐢 β†Ύs 𝑆)))
10 rescbas.d . . . 4 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐻)
11 rescbas.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
127fvexi 6860 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
1312ssex 5282 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑆 ∈ V)
145, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
15 rescbas.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
1610, 11, 14, 15rescval2 17719 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩))
1716fveq2d 6850 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜((𝐢 β†Ύs 𝑆) sSet ⟨(Hom β€˜ndx), 𝐻⟩)))
184, 9, 173eqtr4a 2799 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βŸ¨cop 4596   Γ— cxp 5635   Fn wfn 6495  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   sSet csts 17043  ndxcnx 17073  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  Hom chom 17152  compcco 17153   β†Ύcat cresc 17699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-hom 17165  df-cco 17166  df-resc 17702
This theorem is referenced by:  reschomf  17723  subccatid  17740  issubc3  17743  fullresc  17745  funcres  17790  funcres2b  17791  funcres2  17792  rngcbas  46353  ringcbas  46399  subthinc  47150
  Copyright terms: Public domain W3C validator