Theorem rescbas 17918

Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rescbas	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17304	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		slotsbhcdif 17500	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
3	2	simp1i 1157	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17300	. 2 ⊢ (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
5		rescbas.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
7		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
8	6, 7	ressbas2 17330	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
9	5, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
10		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
11		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
12	7	fvexi 6892	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
13	12	ssex 5285	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
14	5, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
15		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
16	10, 11, 14, 15	rescval2 17917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
17	16	fveq2d 6882	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
18	4, 9, 17	3eqtr4a 2821	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   × cxp 5653   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   sSet csts 17255  ndxcnx 17285  Basecbs 17301   ↾_s cress 17322  Hom chom 17353  compcco 17354   ↾_cat cresc 17897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-hom 17366  df-cco 17367  df-resc 17900

This theorem is used by:  reschomf  17920  subccatid  17935  issubc3  17938  fullresc  17940  funcres  17985  funcres2b  17986  funcres2  17987  rngcbas  20783  ringcbas  20812  ssccatid  49998  resccatlem  49999  subthinc  50369