Theorem rescbas 17171

Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rescbas	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 16614	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		1re 10692	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 11698	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 11966	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 11963	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12289	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12188	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 10804	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		basendx 16618	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10		homndx 16758	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
11	9, 10	neeq12i 3017	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 1 ≠ ;14)
12	8, 11	mpbir 234	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
13	1, 12	setsnid 16610	. 2 ⊢ (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
14		rescbas.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
15		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
16		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
17	15, 16	ressbas2 16626	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
19		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
20		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
21	16	fvexi 6677	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	21	ssex 5195	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
25	19, 20, 23, 24	rescval2 17170	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
26	25	fveq2d 6667	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
27	13, 18, 26	3eqtr4a 2819	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ⟨cop 4531   × cxp 5526   Fn wfn 6335  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  1c1 10589  4c4 11744  ;cdc 12150  ndxcnx 16551   sSet csts 16552  Basecbs 16554   ↾_s cress 16555  Hom chom 16647   ↾_cat cresc 17150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-hom 16660  df-resc 17153

This theorem is referenced by:  reschomf  17173  subccatid  17188  issubc3  17191  fullresc  17193  funcres  17238  funcres2b  17239  funcres2  17240  rngcbas  45005  ringcbas  45051