MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescbas 17876
Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
rescbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c (𝜑𝐶𝑉)
rescbas.h (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s (𝜑𝑆𝐵)
Assertion
Ref Expression
rescbas (𝜑𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbas
StepHypRef Expression
1 baseid 17247 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
2 slotsbhcdif 17460 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
32simp1i 1138 . . 3 (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
41, 3setsnid 17242 . 2 (Base‘(𝐶s 𝑆)) = (Base‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
5 rescbas.s . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
6 eqid 2734 . . . 4 (𝐶s 𝑆) = (𝐶s 𝑆)
7 rescbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
86, 7ressbas2 17282 . . 3 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘(𝐶s 𝑆)))
95, 8syl 17 . 2 (𝜑𝑆 = (Base‘(𝐶s 𝑆)))
10 rescbas.d . . . 4 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
11 rescbas.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
127fvexi 6920 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
1312ssex 5326 . . . . 5 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
145, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
15 rescbas.h . . . 4 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
1610, 11, 14, 15rescval2 17875 . . 3 (𝜑𝐷 = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
1716fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
184, 9, 173eqtr4a 2800 1 (𝜑𝑆 = (Base‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  wss 3962  cop 4636   × cxp 5686   Fn wfn 6557  cfv 6562  (class class class)co 7430   sSet csts 17196  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  s cress 17273  Hom chom 17308  compcco 17309  cat cresc 17855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-hom 17321  df-cco 17322  df-resc 17858
This theorem is referenced by:  reschomf  17879  subccatid  17896  issubc3  17899  fullresc  17901  funcres  17946  funcres2b  17947  funcres2  17948  rngcbas  20637  ringcbas  20666  subthinc  48839
  Copyright terms: Public domain W3C validator