Theorem rescco 17739

Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
rescco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rescco	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Proof of Theorem rescco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccoid 17318	. . 3 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
2		slotsbhcdif 17319	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
3		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
4	3	necomd 2983	. . . 4 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5	2, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
6	1, 5	setsnid 17119	. 2 ⊢ (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
7		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		rescbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
9	8	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9	ssex 5257	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
13		rescco.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
14	12, 13	ressco 17323	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
15	11, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
16		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
17		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
18		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
19	16, 17, 11, 18	rescval2 17735	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
20	19	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐷) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
21	6, 15, 20	3eqtr4a 2792	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ⟨cop 4579   × cxp 5612   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   sSet csts 17074  ndxcnx 17104  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  Hom chom 17172  compcco 17173   ↾_cat cresc 17715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-hom 17185  df-cco 17186  df-resc 17718

This theorem is referenced by:  subccatid  17753  issubc3  17756  fullresc  17758  funcres  17803  funcres2b  17804  rngccofval  20541  ringccofval  20570  ssccatid  49112  resccatlem  49113