Theorem rescco 16851

Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
rescco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rescco	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Proof of Theorem rescco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccoid 16437	. . 3 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
2		1nn0 11643	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		4nn 11442	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 11849	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ
5	4	nnrei 11367	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
6		4nn0 11646	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
7		5nn 11446	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
8		4lt5 11542	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
9	2, 6, 7, 8	declt 11857	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
10	5, 9	gtneii 10475	. . . 4 ⊢ ;15 ≠ ;14
11		ccondx 16436	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
12		homndx 16434	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
13	11, 12	neeq12i 3065	. . . 4 ⊢ ((comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;15 ≠ ;14)
14	10, 13	mpbir 223	. . 3 ⊢ (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
15	1, 14	setsnid 16285	. 2 ⊢ (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
16		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17		rescbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
18	17	fvexi 6451	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
19	18	ssex 5029	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
21		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
22		rescco.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
23	21, 22	ressco 16439	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
24	20, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
25		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
26		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
27		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
28	25, 26, 20, 27	rescval2 16847	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
29	28	fveq2d 6441	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐷) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
30	15, 24, 29	3eqtr4a 2887	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ⟨cop 4405   × cxp 5344   Fn wfn 6122  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  1c1 10260  4c4 11415  5c5 11416  ;cdc 11828  ndxcnx 16226   sSet csts 16227  Basecbs 16229   ↾_s cress 16230  Hom chom 16323  compcco 16324   ↾_cat cresc 16827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-hom 16336  df-cco 16337  df-resc 16830

This theorem is referenced by:  subccatid  16865  issubc3  16868  fullresc  16870  funcres  16915  funcres2b  16916  rngccofval  42831  ringccofval  42877