MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescco 17081
Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
rescbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c (𝜑𝐶𝑉)
rescbas.h (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s (𝜑𝑆𝐵)
rescco.o · = (comp‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
rescco (𝜑· = (comp‘𝐷))

Proof of Theorem rescco
StepHypRef Expression
1 ccoid 16669 . . 3 comp = Slot (comp‘ndx)
2 1nn0 11892 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3 4nn 11699 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 12097 . . . . . 6 14 ∈ ℕ
54nnrei 11625 . . . . 5 14 ∈ ℝ
6 4nn0 11895 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
7 5nn 11702 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
8 4lt5 11793 . . . . . 6 4 < 5
92, 6, 7, 8declt 12105 . . . . 5 14 < 15
105, 9gtneii 10730 . . . 4 15 ≠ 14
11 ccondx 16668 . . . . 5 (comp‘ndx) = 15
12 homndx 16666 . . . . 5 (Hom ‘ndx) = 14
1311, 12neeq12i 3072 . . . 4 ((comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 15 ≠ 14)
1410, 13mpbir 233 . . 3 (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
151, 14setsnid 16518 . 2 (comp‘(𝐶s 𝑆)) = (comp‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
16 rescbas.s . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
17 rescbas.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
1817fvexi 6660 . . . . 5 𝐵 ∈ V
1918ssex 5201 . . . 4 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
2016, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
21 eqid 2820 . . . 4 (𝐶s 𝑆) = (𝐶s 𝑆)
22 rescco.o . . . 4 · = (comp‘𝐶)
2321, 22ressco 16671 . . 3 (𝑆 ∈ V → · = (comp‘(𝐶s 𝑆)))
2420, 23syl 17 . 2 (𝜑· = (comp‘(𝐶s 𝑆)))
25 rescbas.d . . . 4 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
26 rescbas.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
27 rescbas.h . . . 4 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
2825, 26, 20, 27rescval2 17077 . . 3 (𝜑𝐷 = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
2928fveq2d 6650 . 2 (𝜑 → (comp‘𝐷) = (comp‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
3015, 24, 293eqtr4a 2881 1 (𝜑· = (comp‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  Vcvv 3473  wss 3913  cop 4549   × cxp 5529   Fn wfn 6326  cfv 6331  (class class class)co 7133  1c1 10516  4c4 11673  5c5 11674  cdc 12077  ndxcnx 16459   sSet csts 16460  Basecbs 16462  s cress 16463  Hom chom 16555  compcco 16556  cat cresc 17057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-hom 16568  df-cco 16569  df-resc 17060
This theorem is referenced by:  subccatid  17095  issubc3  17098  fullresc  17100  funcres  17145  funcres2b  17146  rngccofval  44386  ringccofval  44432
  Copyright terms: Public domain W3C validator