Theorem rescco 17801

Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 13-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
rescco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rescco	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Proof of Theorem rescco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccoid 17384	. . 3 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
2		slotsbhcdif 17385	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
3		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
4	3	necomd 2981	. . . 4 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)) → (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))
5	2, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
6	1, 5	setsnid 17185	. 2 ⊢ (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
7		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		rescbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
9	8	fvexi 6875	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9	ssex 5279	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
12		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
13		rescco.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
14	12, 13	ressco 17389	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
15	11, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
16		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
17		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
18		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
19	16, 17, 11, 18	rescval2 17797	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
20	19	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐷) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
21	6, 15, 20	3eqtr4a 2791	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ⟨cop 4598   × cxp 5639   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140  ndxcnx 17170  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  Hom chom 17238  compcco 17239   ↾_cat cresc 17777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-hom 17251  df-cco 17252  df-resc 17780

This theorem is referenced by:  subccatid  17815  issubc3  17818  fullresc  17820  funcres  17865  funcres2b  17866  rngccofval  20542  ringccofval  20571  ssccatid  49065  resccatlem  49066