Theorem rngcrescrhm 45643

Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rngcrescrhm	⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐻) = ((𝐶 ↾s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐻) = (𝐶 ↾cat 𝐻)
2		rngcrescrhm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3	2	fvexi 6788	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
5		rngcrescrhm.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
6		incom 4135	. . . 4 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
7	5, 6	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
8		rngcrescrhm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		inex1g 5243	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
11	7, 10	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
12		inss1 4162	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
13	5, 12	eqsstrdi 3975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ Ring)
14		xpss12 5604	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
15	13, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
16		rhmfn 45476	. . . . 5 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
17		fnssresb 6554	. . . . 5 ⊢ ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
18	16, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
19	15, 18	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
20		rngcrescrhm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
21	20	fneq1i 6530	. . 3 ⊢ (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
22	19, 21	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
23	1, 4, 11, 22	rescval2 17540	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐻) = ((𝐶 ↾s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ⟨cop 4567   × cxp 5587   ↾ cres 5591   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   sSet csts 16864  ndxcnx 16894   ↾_s cress 16941  Hom chom 16973   ↾_cat cresc 17520  Ringcrg 19783   RingHom crh 19956  RngCatcrngc 45515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-resc 17523  df-mhm 18430  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-rnghom 19959

This theorem is referenced by: (None)