Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcrescrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcrescrhm 45161
Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rngcrescrhm (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . 2 (𝐶cat 𝐻) = (𝐶cat 𝐻)
2 rngcrescrhm.c . . . 4 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
32fvexi 6682 . . 3 𝐶 ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝐶 ∈ V)
5 rngcrescrhm.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
6 incom 4089 . . . 4 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
75, 6eqtrdi 2789 . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
8 rngcrescrhm.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
9 inex1g 5184 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
117, 10eqeltrd 2833 . 2 (𝜑𝑅 ∈ V)
12 inss1 4117 . . . . . 6 (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
135, 12eqsstrdi 3929 . . . . 5 (𝜑𝑅 ⊆ Ring)
14 xpss12 5534 . . . . 5 ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
1513, 13, 14syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
16 rhmfn 44994 . . . . 5 RingHom Fn (Ring × Ring)
17 fnssresb 6452 . . . . 5 ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1816, 17mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1915, 18mpbird 260 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
20 rngcrescrhm.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
2120fneq1i 6429 . . 3 (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
2219, 21sylibr 237 . 2 (𝜑𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
231, 4, 11, 22rescval2 17196 1 (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1542  wcel 2113  Vcvv 3397  cin 3840  wss 3841  cop 4519   × cxp 5517  cres 5521   Fn wfn 6328  cfv 6333  (class class class)co 7164  ndxcnx 16576   sSet csts 16577  s cress 16580  Hom chom 16672  cat cresc 17176  Ringcrg 19409   RingHom crh 19579  RngCatcrngc 45033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-plusg 16674  df-0g 16811  df-resc 17179  df-mhm 18065  df-ghm 18467  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-rnghom 19582
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator