Theorem rngcrescrhm 20600

Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rngcrescrhm	⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐻) = ((𝐶 ↾s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐻) = (𝐶 ↾cat 𝐻)
2		rngcrescrhm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3	2	fvexi 6875	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
5		rngcrescrhm.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
6		incom 4175	. . . 4 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
7	5, 6	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
8		rngcrescrhm.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		inex1g 5277	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
11	7, 10	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
12		inss1 4203	. . . . . 6 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
13	5, 12	eqsstrdi 3994	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ Ring)
14		xpss12 5656	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
15	13, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
16		rhmfn 20415	. . . . 5 ⊢ RingHom Fn (Ring × Ring)
17		fnssresb 6643	. . . . 5 ⊢ ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
18	16, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
19	15, 18	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
20		rngcrescrhm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
21	20	fneq1i 6618	. . 3 ⊢ (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
22	19, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
23	1, 4, 11, 22	rescval2 17797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐻) = ((𝐶 ↾s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ⟨cop 4598   × cxp 5639   ↾ cres 5643   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140  ndxcnx 17170   ↾_s cress 17207  Hom chom 17238   ↾_cat cresc 17777  Ringcrg 20149   RingHom crh 20385  RngCatcrngc 20532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-resc 17780  df-mhm 18717  df-ghm 19152  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-rhm 20388

This theorem is referenced by: (None)