Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcrescrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcrescrhm 46936
Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rngcrescrhm (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 (𝐶cat 𝐻) = (𝐶cat 𝐻)
2 rngcrescrhm.c . . . 4 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
32fvexi 6902 . . 3 𝐶 ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝐶 ∈ V)
5 rngcrescrhm.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
6 incom 4200 . . . 4 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
75, 6eqtrdi 2788 . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
8 rngcrescrhm.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
9 inex1g 5318 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
117, 10eqeltrd 2833 . 2 (𝜑𝑅 ∈ V)
12 inss1 4227 . . . . . 6 (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
135, 12eqsstrdi 4035 . . . . 5 (𝜑𝑅 ⊆ Ring)
14 xpss12 5690 . . . . 5 ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
1513, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
16 rhmfn 46705 . . . . 5 RingHom Fn (Ring × Ring)
17 fnssresb 6669 . . . . 5 ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1816, 17mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1915, 18mpbird 256 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
20 rngcrescrhm.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
2120fneq1i 6643 . . 3 (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
2219, 21sylibr 233 . 2 (𝜑𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
231, 4, 11, 22rescval2 17771 1 (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474  cin 3946  wss 3947  cop 4633   × cxp 5673  cres 5677   Fn wfn 6535  cfv 6540  (class class class)co 7405   sSet csts 17092  ndxcnx 17122  s cress 17169  Hom chom 17204  cat cresc 17751  Ringcrg 20049   RingHom crh 20240  RngCatcrngc 46808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-resc 17754  df-mhm 18667  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-rnghom 20243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator