Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcrescrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcrescrhm 44346
 Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rngcrescrhm (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . 2 (𝐶cat 𝐻) = (𝐶cat 𝐻)
2 rngcrescrhm.c . . . 4 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
32fvexi 6677 . . 3 𝐶 ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝐶 ∈ V)
5 rngcrescrhm.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
6 incom 4176 . . . 4 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
75, 6syl6eq 2870 . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
8 rngcrescrhm.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
9 inex1g 5214 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
117, 10eqeltrd 2911 . 2 (𝜑𝑅 ∈ V)
12 inss1 4203 . . . . . 6 (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
135, 12eqsstrdi 4019 . . . . 5 (𝜑𝑅 ⊆ Ring)
14 xpss12 5563 . . . . 5 ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
1513, 13, 14syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
16 rhmfn 44179 . . . . 5 RingHom Fn (Ring × Ring)
17 fnssresb 6462 . . . . 5 ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1816, 17mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1915, 18mpbird 259 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
20 rngcrescrhm.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
2120fneq1i 6443 . . 3 (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
2219, 21sylibr 236 . 2 (𝜑𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
231, 4, 11, 22rescval2 17090 1 (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493   ∩ cin 3933   ⊆ wss 3934  ⟨cop 4565   × cxp 5546   ↾ cres 5550   Fn wfn 6343  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ndxcnx 16472   sSet csts 16473   ↾s cress 16476  Hom chom 16568   ↾cat cresc 17070  Ringcrg 19289   RingHom crh 19456  RngCatcrngc 44218 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-resc 17073  df-mhm 17948  df-ghm 18348  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-rnghom 19459 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator