MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcrescrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcrescrhm 20685
Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rngcrescrhm (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 (𝐶cat 𝐻) = (𝐶cat 𝐻)
2 rngcrescrhm.c . . . 4 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
32fvexi 6919 . . 3 𝐶 ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝐶 ∈ V)
5 rngcrescrhm.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
6 incom 4208 . . . 4 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
75, 6eqtrdi 2792 . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
8 rngcrescrhm.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
9 inex1g 5318 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
117, 10eqeltrd 2840 . 2 (𝜑𝑅 ∈ V)
12 inss1 4236 . . . . . 6 (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
135, 12eqsstrdi 4027 . . . . 5 (𝜑𝑅 ⊆ Ring)
14 xpss12 5699 . . . . 5 ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
1513, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
16 rhmfn 20500 . . . . 5 RingHom Fn (Ring × Ring)
17 fnssresb 6689 . . . . 5 ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1816, 17mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1915, 18mpbird 257 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
20 rngcrescrhm.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
2120fneq1i 6664 . . 3 (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
2219, 21sylibr 234 . 2 (𝜑𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
231, 4, 11, 22rescval2 17873 1 (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950  cop 4631   × cxp 5682  cres 5686   Fn wfn 6555  cfv 6560  (class class class)co 7432   sSet csts 17201  ndxcnx 17231  s cress 17275  Hom chom 17309  cat cresc 17853  Ringcrg 20231   RingHom crh 20470  RngCatcrngc 20617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-resc 17856  df-mhm 18797  df-ghm 19232  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-rhm 20473
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator