Theorem rescbasOLD 17810

Description: Obsolete version of rescbas 17809 as of 18-Oct-2024. Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rescbasOLD	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17180	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		1re 11242	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12251	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12844	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12743	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11355	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		basendx 17186	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10		homndx 17389	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
11	9, 10	neeq12i 2997	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 1 ≠ ;14)
12	8, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
13	1, 12	setsnid 17175	. 2 ⊢ (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
14		rescbas.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
15		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
16		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
17	15, 16	ressbas2 17215	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
19		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
20		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
21	16	fvexi 6905	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	21	ssex 5316	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
25	19, 20, 23, 24	rescval2 17808	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
26	25	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
27	13, 18, 26	3eqtr4a 2791	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463   ⊆ wss 3940  ⟨cop 4630   × cxp 5670   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  1c1 11137  4c4 12297  ;cdc 12705   sSet csts 17129  ndxcnx 17159  Basecbs 17177   ↾_s cress 17206  Hom chom 17241   ↾_cat cresc 17788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-hom 17254  df-resc 17791

This theorem is referenced by: (None)