Theorem rescbasOLD 17786

Description: Obsolete version of rescbas 17785 as of 18-Oct-2024. Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rescbasOLD	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17156	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		1re 11218	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12227	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12495	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12492	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12820	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12719	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11331	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		basendx 17162	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10		homndx 17365	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
11	9, 10	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 1 ≠ ;14)
12	8, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
13	1, 12	setsnid 17151	. 2 ⊢ (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
14		rescbas.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
15		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
16		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
17	15, 16	ressbas2 17191	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
19		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
20		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
21	16	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	21	ssex 5314	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
25	19, 20, 23, 24	rescval2 17784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
26	25	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
27	13, 18, 26	3eqtr4a 2792	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ⟨cop 4629   × cxp 5667   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  4c4 12273  ;cdc 12681   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  Basecbs 17153   ↾_s cress 17182  Hom chom 17217   ↾_cat cresc 17764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-hom 17230  df-resc 17767

This theorem is referenced by: (None)