Theorem rescbasOLD 17816

Description: Obsolete version of rescbas 17815 as of 18-Oct-2024. Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rescbasOLD	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 17186	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		1re 11246	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12256	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12524	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12849	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12748	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 11359	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		basendx 17192	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10		homndx 17395	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
11	9, 10	neeq12i 2996	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 1 ≠ ;14)
12	8, 11	mpbir 230	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
13	1, 12	setsnid 17181	. 2 ⊢ (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
14		rescbas.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
15		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
16		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
17	15, 16	ressbas2 17221	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
19		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
20		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
21	16	fvexi 6910	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	21	ssex 5322	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
25	19, 20, 23, 24	rescval2 17814	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
26	25	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
27	13, 18, 26	3eqtr4a 2791	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  Vcvv 3461   ⊆ wss 3944  ⟨cop 4636   × cxp 5676   Fn wfn 6544  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  1c1 11141  4c4 12302  ;cdc 12710   sSet csts 17135  ndxcnx 17165  Basecbs 17183   ↾_s cress 17212  Hom chom 17247   ↾_cat cresc 17794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-hom 17260  df-resc 17797

This theorem is referenced by: (None)