Theorem rescbasOLD 17434

Description: Obsolete version of rescbas 17433 as of 18-Oct-2024. Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rescbasOLD	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbasOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baseid 16818	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
2		1re 10881	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 11889	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		4nn0 12157	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5		1nn0 12154	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12480	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12379	. . . . 5 ⊢ 1 < ;14
8	2, 7	ltneii 10993	. . . 4 ⊢ 1 ≠ ;14
9		basendx 16824	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10		homndx 17015	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
11	9, 10	neeq12i 3010	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 1 ≠ ;14)
12	8, 11	mpbir 234	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
13	1, 12	setsnid 16813	. 2 ⊢ (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
14		rescbas.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
15		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
16		rescbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
17	15, 16	ressbas2 16850	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
18	14, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
19		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
20		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
21	16	fvexi 6767	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	21	ssex 5238	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
23	14, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
24		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
25	19, 20, 23, 24	rescval2 17432	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
26	25	fveq2d 6757	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
27	13, 18, 26	3eqtr4a 2806	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943  Vcvv 3423   ⊆ wss 3884  ⟨cop 4564   × cxp 5577   Fn wfn 6410  ‘cfv 6415  (class class class)co 7252  1c1 10778  4c4 11935  ;cdc 12341   sSet csts 16767  ndxcnx 16797  Basecbs 16815   ↾_s cress 16842  Hom chom 16874   ↾_cat cresc 17412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-4 11943  df-5 11944  df-6 11945  df-7 11946  df-8 11947  df-9 11948  df-n0 12139  df-z 12225  df-dec 12342  df-sets 16768  df-slot 16786  df-ndx 16798  df-base 16816  df-ress 16843  df-hom 16887  df-resc 17415

This theorem is referenced by: (None)