MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescabs2 17885
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs2.c (𝜑𝐶𝑉)
rescabs2.j (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
rescabs2.s (𝜑𝑆𝑊)
rescabs2.t (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
rescabs2 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs2
StepHypRef Expression
1 rescabs2.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑊)
2 rescabs2.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
3 ressabs 17295 . . . 4 ((𝑆𝑊𝑇𝑆) → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶s 𝑇))
41, 2, 3syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶s 𝑇))
54oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
6 eqid 2735 . . 3 ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽)
7 ovexd 7466 . . 3 (𝜑 → (𝐶s 𝑆) ∈ V)
81, 2ssexd 5330 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
9 rescabs2.j . . 3 (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
106, 7, 8, 9rescval2 17876 . 2 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
11 eqid 2735 . . 3 (𝐶cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽)
12 rescabs2.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
1311, 12, 8, 9rescval2 17876 . 2 (𝜑 → (𝐶cat 𝐽) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
145, 10, 133eqtr4d 2785 1 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  cop 4637   × cxp 5687   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  s cress 17274  Hom chom 17309  cat cresc 17856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-resc 17859
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator