Theorem rescabs2 17168

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescabs2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescabs2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
rescabs2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
rescabs2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rescabs2	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescabs2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
2		rescabs2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
3		ressabs 16626	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶 ↾s 𝑇))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶 ↾s 𝑇))
5	4	oveq1d 7170	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶 ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
6		eqid 2758	. . 3 ⊢ ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽)
7		ovexd 7190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V)
8	1, 2	ssexd 5197	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
9		rescabs2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
10	6, 7, 8, 9	rescval2 17162	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
11		eqid 2758	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽)
12		rescabs2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13	11, 12, 8, 9	rescval2 17162	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐽) = ((𝐶 ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
14	5, 10, 13	3eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ⟨cop 4531   × cxp 5525   Fn wfn 6334  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ndxcnx 16543   sSet csts 16544   ↾_s cress 16547  Hom chom 16639   ↾_cat cresc 17142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-1cn 10638  ax-addcl 10640

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-nn 11680  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-resc 17145

This theorem is referenced by: (None)