Theorem rescabs2 17803

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescabs2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescabs2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
rescabs2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
rescabs2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rescabs2	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescabs2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
2		rescabs2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
3		ressabs 17225	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶 ↾s 𝑇))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶 ↾s 𝑇))
5	4	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶 ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
6		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽)
7		ovexd 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V)
8	1, 2	ssexd 5282	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
9		rescabs2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
10	6, 7, 8, 9	rescval2 17797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
11		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽)
12		rescabs2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13	11, 12, 8, 9	rescval2 17797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐽) = ((𝐶 ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
14	5, 10, 13	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ⟨cop 4598   × cxp 5639   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140  ndxcnx 17170   ↾_s cress 17207  Hom chom 17238   ↾_cat cresc 17777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-resc 17780

This theorem is referenced by: (None)