Theorem rescabs2 17796

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescabs2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescabs2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
rescabs2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
rescabs2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rescabs2	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescabs2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
2		rescabs2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
3		ressabs 17218	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶 ↾s 𝑇))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶 ↾s 𝑇))
5	4	oveq1d 7402	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶 ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽)
7		ovexd 7422	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V)
8	1, 2	ssexd 5279	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
9		rescabs2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
10	6, 7, 8, 9	rescval2 17790	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽)
12		rescabs2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13	11, 12, 8, 9	rescval2 17790	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐽) = ((𝐶 ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
14	5, 10, 13	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ⟨cop 4595   × cxp 5636   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   sSet csts 17133  ndxcnx 17163   ↾_s cress 17200  Hom chom 17231   ↾_cat cresc 17770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-resc 17773

This theorem is referenced by: (None)