Theorem rescabs2 17741

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescabs2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescabs2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
rescabs2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
rescabs2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rescabs2	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescabs2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
2		rescabs2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
3		ressabs 17159	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶 ↾s 𝑇))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶 ↾s 𝑇))
5	4	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶 ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽)
7		ovexd 7381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V)
8	1, 2	ssexd 5260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
9		rescabs2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
10	6, 7, 8, 9	rescval2 17735	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
11		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽)
12		rescabs2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13	11, 12, 8, 9	rescval2 17735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐽) = ((𝐶 ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
14	5, 10, 13	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ⟨cop 4579   × cxp 5612   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   sSet csts 17074  ndxcnx 17104   ↾_s cress 17141  Hom chom 17172   ↾_cat cresc 17715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-1cn 11064  ax-addcl 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-resc 17718

This theorem is referenced by: (None)