Theorem rescabs2 18035

Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescabs2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescabs2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
rescabs2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
rescabs2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rescabs2	⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescabs2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
2		rescabs2.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
3		ressabs 17452	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶 ↾s 𝑇))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶 ↾s 𝑇))
5	4	oveq1d 7455	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶 ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽)
7		ovexd 7475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾s 𝑆) ∈ V)
8	1, 2	ssexd 5290	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
9		rescabs2.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
10	6, 7, 8, 9	rescval2 18029	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (((𝐶 ↾s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽)
12		rescabs2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
13	11, 12, 8, 9	rescval2 18029	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↾cat 𝐽) = ((𝐶 ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
14	5, 10, 13	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↾s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶 ↾cat 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ⟨cop 4838   × cxp 5653   Fn wfn 6550  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   sSet csts 17367  ndxcnx 17397   ↾_s cress 17434  Hom chom 17465   ↾_cat cresc 18009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-1cn 11282  ax-addcl 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-nn 12360  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-resc 18012

This theorem is used by: (None)