MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescabs2 17674
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs2.c (𝜑𝐶𝑉)
rescabs2.j (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
rescabs2.s (𝜑𝑆𝑊)
rescabs2.t (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
rescabs2 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽))

Proof of Theorem rescabs2
StepHypRef Expression
1 rescabs2.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑊)
2 rescabs2.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
3 ressabs 17084 . . . 4 ((𝑆𝑊𝑇𝑆) → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶s 𝑇))
41, 2, 3syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) = (𝐶s 𝑇))
54oveq1d 7366 . 2 (𝜑 → (((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
6 eqid 2736 . . 3 ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽)
7 ovexd 7386 . . 3 (𝜑 → (𝐶s 𝑆) ∈ V)
81, 2ssexd 5279 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
9 rescabs2.j . . 3 (𝜑𝐽 Fn (𝑇 × 𝑇))
106, 7, 8, 9rescval2 17665 . 2 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (((𝐶s 𝑆) ↾s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
11 eqid 2736 . . 3 (𝐶cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽)
12 rescabs2.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
1311, 12, 8, 9rescval2 17665 . 2 (𝜑 → (𝐶cat 𝐽) = ((𝐶s 𝑇) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐽⟩))
145, 10, 133eqtr4d 2786 1 (𝜑 → ((𝐶s 𝑆) ↾cat 𝐽) = (𝐶cat 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  wss 3908  cop 4590   × cxp 5629   Fn wfn 6488  cfv 6493  (class class class)co 7351   sSet csts 16989  ndxcnx 17019  s cress 17066  Hom chom 17098  cat cresc 17645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-nn 12112  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-resc 17648
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator