Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubeqsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubeqsub 42435
Description: Equivalence between real subtraction and subtraction. (Contributed by SN, 5-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
resubeqsub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem resubeqsub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 11209 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
2 resubeu 42383 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3 reurex 3381 . . . . 5 (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5 recn 11242 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
6 recn 11242 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 sn-subeu 42432 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
85, 6, 7syl2an 596 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
9 riotass 7418 . . . 4 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
101, 4, 8, 9mp3an2i 1465 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
1110ancoms 458 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
12 resubval 42373 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
13 subval 11496 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
146, 5, 13syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
1511, 12, 143eqtr4d 2784 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  ∃!wreu 3375  wss 3962  crio 7386  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151   + caddc 11155  cmin 11489   cresub 42371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-2 12326  df-3 12327  df-resub 42372
This theorem is referenced by:  subresre  42436  reelznn0nn  42455
  Copyright terms: Public domain W3C validator