Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubeqsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubeqsub 40391
Description: Equivalence between real subtraction and subtraction. (Contributed by SN, 5-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
resubeqsub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem resubeqsub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 10912 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
2 resubeu 40340 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3 reurex 3360 . . . . 5 (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5 recn 10945 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
6 recn 10945 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 sn-subeu 40388 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
85, 6, 7syl2an 595 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
9 riotass 7257 . . . 4 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
101, 4, 8, 9mp3an2i 1464 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
1110ancoms 458 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
12 resubval 40330 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
13 subval 11195 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
146, 5, 13syl2an 595 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
1511, 12, 143eqtr4d 2789 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  wrex 3066  ∃!wreu 3067  wss 3891  crio 7224  (class class class)co 7268  cc 10853  cr 10854   + caddc 10858  cmin 11188   cresub 40328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-sub 11190  df-2 12019  df-3 12020  df-resub 40329
This theorem is referenced by:  subresre  40392
  Copyright terms: Public domain W3C validator