Theorem resubeqsub 43403

Description: Equivalence between real subtraction and subtraction. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
resubeqsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem resubeqsub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11214	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2		resubeu 43350	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
3		reurex 3369	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5		recn 11247	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
6		recn 11247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		sn-subeu 43400	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
8	5, 6, 7	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
9		riotass 7397	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
10	1, 4, 8, 9	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
11	10	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
12		resubval 43340	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
13		subval 11505	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
14	6, 5, 13	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
15	11, 12, 14	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363   ⊆ wss 3899  ℩crio 7365  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  ℝcr 11156   + caddc 11160   − cmin 11498   −_ℝ cresub 43338

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-sub 11500  df-2 12360  df-3 12361  df-resub 43339

This theorem is used by:  subresre  43404  reelznn0nn  43447