Theorem resubadd 43181

Description: Relation between real subtraction and addition. Based on subadd 11478. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem resubadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubval 43169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2	1	eqeq1d 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = 𝐶 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = 𝐶 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
4		resubeu 43179	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5		oveq2 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
6	5	eqeq1d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
7	6	riota2 7405	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
8	4, 7	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
9	8	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
10	9	3com13 1142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
11	3, 10	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃!wreu 3370  ℩crio 7379  (class class class)co 7423  ℝcr 11117   + caddc 11121   −_ℝ cresub 43167

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-addrcl 11179  ax-addass 11183  ax-rnegex 11189  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-resub 43168

This theorem is used by:  resubaddd  43182  repncan3  43185  reladdrsub  43187  sn-00id  43203