Theorem resubadd 42948

Description: Relation between real subtraction and addition. Based on subadd 11426. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Proof of Theorem resubadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubval 42936	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2	1	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = 𝐶 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
3	2	3adant3 1144	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = 𝐶 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
4		resubeu 42946	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
5		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 + 𝑥) = (𝐵 + 𝐶))
6	5	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐵 + 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))
7	6	riota2 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
8	4, 7	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
9	8	3impb 1126	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
10	9	3com13 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) = 𝐶))
11	3, 10	bitr4d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃!wreu 3364  ℩crio 7346  (class class class)co 7390  ℝcr 11065   + caddc 11069   −_ℝ cresub 42934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-addrcl 11127  ax-addass 11131  ax-rnegex 11137  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214  df-resub 42935

This theorem is referenced by:  resubaddd  42949  repncan3  42952  reladdrsub  42954  sn-00id  42970