Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubf 40836
Description: Real subtraction is an operation on the real numbers. Based on subf 11403. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
resubf :(ℝ × ℝ)⟶ℝ

Proof of Theorem resubf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubval 40822 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑦) = (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2 rersubcl 40833 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑦) ∈ ℝ)
31, 2eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ)
43rgen2 3194 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ
5 df-resub 40821 . . 3 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
65fmpo 8000 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ ↔ − :(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
74, 6mpbi 229 1 :(ℝ × ℝ)⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064   × cxp 5631  wf 6492  crio 7312  (class class class)co 7357  cr 11050   + caddc 11054   cresub 40820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-addrcl 11112  ax-addass 11116  ax-rnegex 11122  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-resub 40821
This theorem is referenced by:  subresre  40885
  Copyright terms: Public domain W3C validator