Theorem resubf 42342

Description: Real subtraction is an operation on the real numbers. Based on subf 11399. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubf	⊢ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ

Proof of Theorem resubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubval 42328	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2		rersubcl 42339	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) ∈ ℝ)
3	1, 2	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ)
4	3	rgen2 3175	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ
5		df-resub 42327	. . 3 ⊢ −ℝ = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	5	fmpo 8026	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ ↔ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
7	4, 6	mpbi 230	1 ⊢ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   × cxp 5629  ⟶wf 6495  ℩crio 7325  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   + caddc 11047   −_ℝ cresub 42326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-addrcl 11105  ax-addass 11109  ax-rnegex 11115  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-resub 42327

This theorem is referenced by:  subresre  42392