Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubf 42411
Description: Real subtraction is an operation on the real numbers. Based on subf 11510. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
resubf :(ℝ × ℝ)⟶ℝ

Proof of Theorem resubf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubval 42397 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑦) = (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2 rersubcl 42408 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑦) ∈ ℝ)
31, 2eqeltrrd 2842 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ)
43rgen2 3199 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ
5 df-resub 42396 . . 3 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
65fmpo 8093 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ ↔ − :(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
74, 6mpbi 230 1 :(ℝ × ℝ)⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   × cxp 5683  wf 6557  crio 7387  (class class class)co 7431  cr 11154   + caddc 11158   cresub 42395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-addrcl 11216  ax-addass 11220  ax-rnegex 11226  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-resub 42396
This theorem is referenced by:  subresre  42460
  Copyright terms: Public domain W3C validator