Theorem resubf 42424

Description: Real subtraction is an operation on the real numbers. Based on subf 11484. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubf	⊢ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ

Proof of Theorem resubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubval 42410	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2		rersubcl 42421	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) ∈ ℝ)
3	1, 2	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ)
4	3	rgen2 3184	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ
5		df-resub 42409	. . 3 ⊢ −ℝ = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	5	fmpo 8067	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ ↔ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
7	4, 6	mpbi 230	1 ⊢ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   × cxp 5652  ⟶wf 6527  ℩crio 7361  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   + caddc 11132   −_ℝ cresub 42408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-addrcl 11190  ax-addass 11194  ax-rnegex 11200  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-resub 42409

This theorem is referenced by:  subresre  42473