Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resubf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubf 39690
 Description: Real subtraction is an operation on the real numbers. Based on subf 10895. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
resubf :(ℝ × ℝ)⟶ℝ

Proof of Theorem resubf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubval 39676 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑦) = (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2 rersubcl 39687 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 𝑦) ∈ ℝ)
31, 2eqeltrrd 2891 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ)
43rgen2 3168 . 2 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ
5 df-resub 39675 . . 3 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
65fmpo 7761 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ ↔ − :(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
74, 6mpbi 233 1 :(ℝ × ℝ)⟶ℝ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   × cxp 5521  ⟶wf 6328  ℩crio 7102  (class class class)co 7145  ℝcr 10543   + caddc 10547   −ℝ cresub 39674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-resscn 10601  ax-addrcl 10605  ax-addass 10609  ax-rnegex 10615  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-ltxr 10687  df-resub 39675 This theorem is referenced by:  subresre  39738
 Copyright terms: Public domain W3C validator