Theorem resubf 42578

Description: Real subtraction is an operation on the real numbers. Based on subf 11380. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
resubf	⊢ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ

Proof of Theorem resubf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubval 42564	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2		rersubcl 42575	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) ∈ ℝ)
3	1, 2	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ)
4	3	rgen2 3174	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ
5		df-resub 42563	. . 3 ⊢ −ℝ = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	5	fmpo 8010	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (℩𝑧 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℝ ↔ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
7	4, 6	mpbi 230	1 ⊢ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   × cxp 5620  ⟶wf 6486  ℩crio 7312  (class class class)co 7356  ℝcr 11023   + caddc 11027   −_ℝ cresub 42562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-addrcl 11085  ax-addass 11089  ax-rnegex 11095  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-resub 42563

This theorem is referenced by:  subresre  42628