Theorem subresre 43116

Description: Subtraction restricted to the reals. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
subresre	⊢ −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem subresre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubeqsub 43115	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
2	1	3adant1 1146	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
3		ax-resscn 11157	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
5		resubf 43066	. . . 4 ⊢ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
7		sn-subf 43114	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
9	2, 4, 6, 8	oprres 7579	. 2 ⊢ (⊤ → −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ)))
10	9	mptru 1574	1 ⊢ −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ))

Syntax hints:   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   × cxp 5660   ↾ cres 5664  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099   − cmin 11441   −_ℝ cresub 43050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-2 12303  df-3 12304  df-resub 43051

This theorem is referenced by: (None)