Theorem subresre 43220

Description: Subtraction restricted to the reals. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
subresre	⊢ −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem subresre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubeqsub 43219	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
2	1	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
3		ax-resscn 11161	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
5		resubf 43170	. . . 4 ⊢ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
7		sn-subf 43218	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
9	2, 4, 6, 8	oprres 7578	. 2 ⊢ (⊤ → −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ)))
10	9	mptru 1577	1 ⊢ −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  ℝcr 11103   − cmin 11445   −_ℝ cresub 43154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11447  df-2 12307  df-3 12308  df-resub 43155

This theorem is used by: (None)