Theorem subresre 42406

Description: Subtraction restricted to the reals. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
subresre	⊢ −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem subresre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubeqsub 42405	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
2	1	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
3		ax-resscn 11241	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
5		resubf 42357	. . . 4 ⊢ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
7		sn-subf 42404	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
9	2, 4, 6, 8	oprres 7618	. 2 ⊢ (⊤ → −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ)))
10	9	mptru 1544	1 ⊢ −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ))

Syntax hints:   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   × cxp 5698   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183   − cmin 11520   −_ℝ cresub 42341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-2 12356  df-3 12357  df-resub 42342

This theorem is referenced by: (None)