Theorem subresre 43270

Description: Subtraction restricted to the reals. (Contributed by SN, 5-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
subresre	⊢ −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ))

Proof of Theorem subresre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubeqsub 43269	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
2	1	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 −ℝ 𝑦) = (𝑥 − 𝑦))
3		ax-resscn 11177	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
5		resubf 43220	. . . 4 ⊢ −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → −ℝ :(ℝ × ℝ)⟶ℝ)
7		sn-subf 43268	. . . 4 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
9	2, 4, 6, 8	oprres 7588	. 2 ⊢ (⊤ → −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ)))
10	9	mptru 1577	1 ⊢ −ℝ = ( − ↾ (ℝ × ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ⟶wf 6537  (class class class)co 7420  ℂcc 11118  ℝcr 11119   − cmin 11461   −_ℝ cresub 43204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-ltxr 11268  df-sub 11463  df-2 12323  df-3 12324  df-resub 43205

This theorem is used by: (None)