MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subf 11206
Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
subf − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Proof of Theorem subf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 11195 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2 subcl 11203 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
31, 2eqeltrrd 2841 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
43rgen2 3128 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
5 df-sub 11190 . . 3 − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
65fmpo 7894 . 2 (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ ↔ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
74, 6mpbi 229 1 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  wral 3065   × cxp 5586  wf 6426  crio 7224  (class class class)co 7268  cc 10853   + caddc 10858  cmin 11188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-sub 11190
This theorem is referenced by:  dfz2  12321  zexALT  12322  rlimsub  15335  znnen  15902  cnfldds  20588  cnfldfun  20590  cnfldfunOLD  20591  cnfldfunALT  20592  cnfldsub  20607  cnmetdval  23915  cnmet  23916  cnfldms  23920  subcn  24010  cnfldcusp  24502  ovolfsf  24616  ovolctb  24635  dvlip2  25140  cnnvm  29023  mblfinlem2  35794  sblpnf  41881  fourierdlem42  43644  ovolval2lem  44135  ovolval2  44136  ovolval3  44139
  Copyright terms: Public domain W3C validator