Theorem subf 11477

Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subf	⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Proof of Theorem subf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11466	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2		subcl 11474	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
3	1, 2	eqeltrrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	rgen2 3208	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
5		df-sub 11461	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	5	fmpo 8074	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ ↔ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
7	4, 6	mpbi 233	1 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ℩crio 7379  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461

This theorem is used by:  dfz2  12628  zexALT  12629  rlimsub  15721  znnen  16293  cnfldds  21571  cnfldfun  21573  cnfldfunALT  21574  cnfldsub  21587  cnmetdval  24964  cnmet  24965  cnfldms  24969  subcn  25061  cnfldcusp  25553  ovolfsf  25667  ovolctb  25686  dvlip2  26191  cnnvm  31071  mblfinlem2  38349  subex  43055  sblpnf  45060  fourierdlem42  46903  ovolval2lem  47397  ovolval2  47398  ovolval3  47401