MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subf 10880
Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
subf − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Proof of Theorem subf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 10869 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2 subcl 10877 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
31, 2eqeltrrd 2918 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
43rgen2 3207 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
5 df-sub 10864 . . 3 − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
65fmpo 7760 . 2 (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ ↔ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
74, 6mpbi 231 1 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142   × cxp 5551  wf 6347  crio 7108  (class class class)co 7151  cc 10527   + caddc 10532  cmin 10862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864
This theorem is referenced by:  dfz2  11992  zexALT  11993  rlimsub  14993  znnen  15557  cnfldds  20473  cnfldfun  20475  cnfldfunALT  20476  cnfldsub  20491  cnmetdval  23296  cnmet  23297  cnfldms  23301  subcn  23391  cnfldcusp  23877  ovolfsf  23989  ovolctb  24008  dvlip2  24509  cnnvm  28375  mblfinlem2  34799  sblpnf  40509  fourierdlem42  42302  ovolval2lem  42793  ovolval2  42794  ovolval3  42797
  Copyright terms: Public domain W3C validator