Theorem subf 11382

Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
subf	⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Proof of Theorem subf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subval 11371	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) = (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2		subcl 11379	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
3	1, 2	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	rgen2 3176	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
5		df-sub 11366	. . 3 ⊢ − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
6	5	fmpo 8012	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ ↔ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
7	4, 6	mpbi 230	1 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ℩crio 7314  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  dfz2  12507  zexALT  12508  rlimsub  15567  znnen  16137  cnfldds  21321  cnfldfun  21323  cnfldfunALT  21324  cnflddsOLD  21334  cnfldfunOLD  21336  cnfldfunALTOLD  21337  cnfldsub  21352  cnmetdval  24714  cnmet  24715  cnfldms  24719  subcn  24811  cnfldcusp  25313  ovolfsf  25428  ovolctb  25447  dvlip2  25956  cnnvm  30757  mblfinlem2  37855  subex  42498  sblpnf  44547  fourierdlem42  46389  ovolval2lem  46883  ovolval2  46884  ovolval3  46887