MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subf 10537
Description: Subtraction is an operation on the complex numbers. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
subf − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ

Proof of Theorem subf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 10526 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) = (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
2 subcl 10534 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
31, 2eqeltrrd 2845 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ)
43rgen2a 3124 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ
5 df-sub 10522 . . 3 − = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥))
65fmpt2 7438 . 2 (∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥) ∈ ℂ ↔ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
74, 6mpbi 221 1 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055   × cxp 5275  wf 6064  crio 6802  (class class class)co 6842  cc 10187   + caddc 10192  cmin 10520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333  df-sub 10522
This theorem is referenced by:  dfz2  11642  zexALT  11643  rlimsub  14659  znnen  15223  cnfldds  20029  cnfldfun  20031  cnfldfunALT  20032  cnfldsub  20047  cnmetdval  22853  cnmet  22854  cnfldms  22858  subcn  22948  cnfldcusp  23434  ovolfsf  23529  ovolctb  23548  dvlip2  24049  cnnvm  27993  mblfinlem2  33871  sblpnf  39183  fourierdlem42  41003  ovolval2lem  41497  ovolval2  41498  ovolval3  41501
  Copyright terms: Public domain W3C validator