MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimresb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimresb 14915
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlimresb (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 14853 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ))
3 rlimcl 14853 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ))
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
65adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥𝐴)
86, 7sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 elicopnf 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧)))
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧)))
1312biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧))
1413adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧))
1514simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
1614simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵𝑧)
17 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑧𝑥)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵𝑥)
19 elicopnf 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
218, 18, 20mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
2221anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
2322anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
24 biimt 362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2625pm5.74da 800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
27 bi2.04 389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2826, 27syl6bb 288 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
2928pm5.74da 800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))))
30 elin 4172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
3130imbi1i 351 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
32 impexp 451 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3331, 32bitri 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3429, 33syl6bbr 290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3534ralbidv2 3199 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3635rexbidva 3300 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3736ralbidv 3201 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3837adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4039ffvelrnda 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4140ralrimiva 3186 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4241adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
435adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
44 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
459adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4642, 43, 44, 45rlim3 14848 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
47 elinel1 4175 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥𝐴)
4847, 40sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4948ralrimiva 3186 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5049adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
51 inss1 4208 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
5251, 5sstrid 3981 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
5450, 53, 44, 45rlim3 14848 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
5538, 46, 543bitr4d 312 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
5655ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶)))
572, 4, 56pm5.21ndd 381 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
5839feqmptd 6729 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
5958breq1d 5072 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
60 resres 5864 . . . 4 ((𝐹𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)))
61 ffn 6510 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
62 fnresdm 6462 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
6339, 61, 623syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
6463reseq1d 5850 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)))
6558reseq1d 5850 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))))
66 resmpt 5903 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
6751, 66ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥))
6865, 67syl6eq 2876 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
6960, 64, 683eqtr3a 2884 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
7069breq1d 5072 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
7157, 59, 703bitr4d 312 1 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  cin 3938  wss 3939   class class class wbr 5062  cmpt 5142  cres 5555   Fn wfn 6346  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  +∞cpnf 10664   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  +crp 12382  [,)cico 12733  abscabs 14586  𝑟 crli 14835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ico 12737  df-rlim 14839
This theorem is referenced by:  rlimeq  14919  rlimcnp2  25460  cxp2lim  25470  pnt2  26105  pnt  26106
  Copyright terms: Public domain W3C validator