MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimresb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimresb 15601
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlimresb (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 15539 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ))
3 rlimcl 15539 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ))
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥𝐴)
86, 7sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 elicopnf 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧)))
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧)))
1312biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧))
1413adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧))
1514simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
1614simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵𝑧)
17 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑧𝑥)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵𝑥)
19 elicopnf 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
218, 18, 20mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
2221anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
2322anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
24 biimt 360 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2625pm5.74da 804 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
27 bi2.04 387 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2826, 27bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
2928pm5.74da 804 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))))
30 elin 3967 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
3130imbi1i 349 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
32 impexp 450 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3331, 32bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3429, 33bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3534ralbidv2 3174 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3635rexbidva 3177 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3736ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4039ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4140ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4241adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
435adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
44 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
459adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4642, 43, 44, 45rlim3 15534 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
47 elinel1 4201 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥𝐴)
4847, 40sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4948ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5049adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
51 inss1 4237 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
5251, 5sstrid 3995 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
5450, 53, 44, 45rlim3 15534 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
5538, 46, 543bitr4d 311 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
5655ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶)))
572, 4, 56pm5.21ndd 379 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
5839feqmptd 6977 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
5958breq1d 5153 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
60 resres 6010 . . . 4 ((𝐹𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)))
61 ffn 6736 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
62 fnresdm 6687 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
6339, 61, 623syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
6463reseq1d 5996 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)))
6558reseq1d 5996 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))))
66 resmpt 6055 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
6751, 66ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥))
6865, 67eqtrdi 2793 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
6960, 64, 683eqtr3a 2801 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
7069breq1d 5153 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
7157, 59, 703bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  +crp 13034  [,)cico 13389  abscabs 15273  𝑟 crli 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ico 13393  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  rlimeq  15605  rlimcnp2  27009  cxp2lim  27020  pnt2  27657  pnt  27658
  Copyright terms: Public domain W3C validator