Theorem rlimresb 15611

Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimresb.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlimresb	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Proof of Theorem rlimresb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcl 15549	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ))
3		rlimcl 15549	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ))
5		rlimresb.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		rlimresb.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		elicopnf 13505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
13	12	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧))
14	13	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧))
15	14	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
16	14	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐵 ≤ 𝑧)
17		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑧 ≤ 𝑥)
18	10, 15, 8, 16, 17	letrd 11447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐵 ≤ 𝑥)
19		elicopnf 13505	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
20	10, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
21	8, 18, 20	mpbir2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
22	21	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
23	22	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
24		biimt 360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
26	25	pm5.74da 803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≤ 𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
27		bi2.04 387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
28	26, 27	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
29	28	pm5.74da 803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))))
30		elin 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
31	30	imbi1i 349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
32		impexp 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
33	31, 32	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
34	29, 33	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
35	34	ralbidv2 3180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
36	35	rexbidva 3183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
37	36	ralbidv 3184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
39		rlimresb.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40	39	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
41	40	ralrimiva 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
43	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
44		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
45	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
46	42, 43, 44, 45	rlim3 15544	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
47		elinel1 4224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
48	47, 40	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
49	48	ralrimiva 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
51		inss1 4258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
52	51, 5	sstrid 4020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
53	52	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
54	50, 53, 44, 45	rlim3 15544	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
55	38, 46, 54	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
56	55	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶)))
57	2, 4, 56	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
58	39	feqmptd 6990	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
59	58	breq1d 5176	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
60		resres 6022	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)))
61		ffn 6747	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
62		fnresdm 6699	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
63	39, 61, 62	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
64	63	reseq1d 6008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)))
65	58	reseq1d 6008	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))))
66		resmpt 6066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
67	51, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥))
68	65, 67	eqtrdi 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
69	60, 64, 68	3eqtr3a 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
70	69	breq1d 5176	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
71	57, 59, 70	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   ↾ cres 5702   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  +∞cpnf 11321   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℝ⁺crp 13057  [,)cico 13409  abscabs 15283   ⇝_𝑟 crli 15531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ico 13413  df-rlim 15535

This theorem is referenced by:  rlimeq  15615  rlimcnp2  27027  cxp2lim  27038  pnt2  27675  pnt  27676