Theorem rlimresb 15447

Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimresb.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlimresb	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Proof of Theorem rlimresb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcl 15385	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ))
3		rlimcl 15385	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ))
5		rlimresb.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		rlimresb.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		elicopnf 13362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
13	12	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧))
14	13	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧))
15	14	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
16	14	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐵 ≤ 𝑧)
17		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑧 ≤ 𝑥)
18	10, 15, 8, 16, 17	letrd 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐵 ≤ 𝑥)
19		elicopnf 13362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
20	10, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
21	8, 18, 20	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
22	21	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
23	22	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
24		biimt 360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
26	25	pm5.74da 802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≤ 𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
27		bi2.04 388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
28	26, 27	bitrdi 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
29	28	pm5.74da 802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))))
30		elin 3926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
31	30	imbi1i 349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
32		impexp 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
33	31, 32	bitri 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
34	29, 33	bitr4di 288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
35	34	ralbidv2 3170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
36	35	rexbidva 3173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
37	36	ralbidv 3174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
38	37	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
39		rlimresb.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40	39	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
41	40	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
42	41	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
43	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
44		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
45	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
46	42, 43, 44, 45	rlim3 15380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
47		elinel1 4155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
48	47, 40	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
49	48	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
50	49	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
51		inss1 4188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
52	51, 5	sstrid 3955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
53	52	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
54	50, 53, 44, 45	rlim3 15380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
55	38, 46, 54	3bitr4d 310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
56	55	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶)))
57	2, 4, 56	pm5.21ndd 380	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
58	39	feqmptd 6910	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
59	58	breq1d 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
60		resres 5950	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)))
61		ffn 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
62		fnresdm 6620	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
63	39, 61, 62	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
64	63	reseq1d 5936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)))
65	58	reseq1d 5936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))))
66		resmpt 5991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
67	51, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥))
68	65, 67	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
69	60, 64, 68	3eqtr3a 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
70	69	breq1d 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
71	57, 59, 70	3bitr4d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5635   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  +∞cpnf 11186   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℝ⁺crp 12915  [,)cico 13266  abscabs 15119   ⇝_𝑟 crli 15367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-ico 13270  df-rlim 15371

This theorem is referenced by:  rlimeq  15451  rlimcnp2  26316  cxp2lim  26326  pnt2  26961  pnt  26962