MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimresb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimresb 14910
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlimresb (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Proof of Theorem rlimresb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcl 14848 . . . 4 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ))
3 rlimcl 14848 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ))
5 rlimresb.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
65adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥𝐴)
86, 7sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 elicopnf 12821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧)))
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧)))
1312biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧))
1413adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑧))
1514simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
1614simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵𝑧)
17 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑧𝑥)
1810, 15, 8, 16, 17letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝐵𝑥)
19 elicopnf 12821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
2010, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
218, 18, 20mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
2221anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ (𝑥𝐴𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
2322anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
24 biimt 362 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑧𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2625pm5.74da 800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
27 bi2.04 389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
2826, 27syl6bb 288 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
2928pm5.74da 800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))))
30 elin 4166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
3130imbi1i 351 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
32 impexp 451 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3331, 32bitri 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3429, 33syl6bbr 290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥𝐴 → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
3534ralbidv2 3192 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3635rexbidva 3293 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3736ralbidv 3194 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
3837adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
39 rlimresb.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4039ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4140ralrimiva 3179 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4241adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
435adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
44 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
459adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
4642, 43, 44, 45rlim3 14843 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥𝐴 (𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
47 elinel1 4169 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥𝐴)
4847, 40sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4948ralrimiva 3179 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5049adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
51 inss1 4202 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
5251, 5sstrid 3975 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
5450, 53, 44, 45rlim3 14843 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
5538, 46, 543bitr4d 312 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
5655ex 413 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶)))
572, 4, 56pm5.21ndd 381 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
5839feqmptd 6726 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
5958breq1d 5067 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
60 resres 5859 . . . 4 ((𝐹𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)))
61 ffn 6507 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
62 fnresdm 6459 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
6339, 61, 623syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
6463reseq1d 5845 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)))
6558reseq1d 5845 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))))
66 resmpt 5898 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
6751, 66ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥))
6865, 67syl6eq 2869 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
6960, 64, 683eqtr3a 2877 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
7069breq1d 5067 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
7157, 59, 703bitr4d 312 1 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  cin 3932  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cres 5550   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  +∞cpnf 10660   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  +crp 12377  [,)cico 12728  abscabs 14581  𝑟 crli 14830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ico 12732  df-rlim 14834
This theorem is referenced by:  rlimeq  14914  rlimcnp2  25471  cxp2lim  25481  pnt2  26116  pnt  26117
  Copyright terms: Public domain W3C validator