Theorem rlimresb 15472

Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval converges iff the original converges. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimresb.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlimresb	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Proof of Theorem rlimresb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcl 15410	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ))
3		rlimcl 15410	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ))
5		rlimresb.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
8	6, 7	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
9		rlimresb.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐵 ∈ ℝ)
11		elicopnf 13348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧)))
13	12	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧))
14	13	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑧))
15	14	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑧 ∈ ℝ)
16	14	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐵 ≤ 𝑧)
17		simprrr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑧 ≤ 𝑥)
18	10, 15, 8, 16, 17	letrd 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝐵 ≤ 𝑥)
19		elicopnf 13348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
20	10, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
21	8, 18, 20	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
22	21	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
23	22	anassrs 467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞))
24		biimt 360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≤ 𝑥) → ((abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
26	25	pm5.74da 803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≤ 𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
27		bi2.04 387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ≤ 𝑥 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
28	26, 27	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
29	28	pm5.74da 803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))))
30		elin 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
31	30	imbi1i 349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
32		impexp 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
33	31, 32	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
34	29, 33	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦))))
35	34	ralbidv2 3148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
36	35	rexbidva 3151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
37	36	ralbidv 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
39		rlimresb.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40	39	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
41	40	ralrimiva 3121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
43	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
44		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
45	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
46	42, 43, 44, 45	rlim3 15405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
47		elinel1 4152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
48	47, 40	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
49	48	ralrimiva 3121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
51		inss1 4188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
52	51, 5	sstrid 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
53	52	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
54	50, 53, 44, 45	rlim3 15405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑦)))
55	38, 46, 54	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
56	55	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶)))
57	2, 4, 56	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
58	39	feqmptd 6891	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
59	58	breq1d 5102	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
60		resres 5943	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)))
61		ffn 6652	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
62		fnresdm 6601	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
63	39, 61, 62	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = 𝐹)
64	63	reseq1d 5929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)))
65	58	reseq1d 5929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))))
66		resmpt 5988	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
67	51, 66	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥))
68	65, 67	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
69	60, 64, 68	3eqtr3a 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
70	69	breq1d 5102	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⇝𝑟 𝐶))
71	57, 59, 70	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   ↾ cres 5621   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  +∞cpnf 11146   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  ℝ⁺crp 12893  [,)cico 13250  abscabs 15141   ⇝_𝑟 crli 15392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-ico 13254  df-rlim 15396

This theorem is referenced by:  rlimeq  15476  rlimcnp2  26874  cxp2lim  26885  pnt2  27522  pnt  27523