Theorem mulog2sumlem3 27475

Description: Lemma for mulog2sum 27476. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
logdivsum.1	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
mulog2sumlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
mulog2sumlem3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹   𝑛,𝐿,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖)   𝐹(𝑦,𝑖,𝑛)   𝐿(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem mulog2sumlem3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12200	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
3		fzfid 13880	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
4		elfznn 13453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		mucl 27079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
8	7	zred 12577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
9	8, 5	nndivred 12179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
12	4	nnrpd 12932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
13		rpdivcl 12917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
15	14	relogcld 26560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11140	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14051	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
18	17	halfcld 12366	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) ∈ ℂ)
19	10, 18	mulcld 11132	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ ℂ)
20	3, 19	fsumcl 15640	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ ℂ)
21		relogcl 26512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11140	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
24	2, 20, 23	subdid 11573	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) = ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) − (2 · (log‘𝑥))))
25	3, 2, 19	fsummulc2 15691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))))
26	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
27	26, 10, 18	mul12d 11322	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))))
28		2ne0 12229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ≠ 0)
30	17, 26, 29	divcan2d 11899	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) = ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2))
31	30	oveq2d 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
32	27, 31	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
33	32	sumeq2dv 15609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
34	25, 33	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
35	34	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) − (2 · (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))))
36	24, 35	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))))
37	36	mpteq2dva 5184	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))))
38	20, 23	subcld 11472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
39		rpssre 12898	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
40		o1const 15527	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
41	39, 1, 40	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
43		emre 26944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ γ ∈ ℝ
44	43	recni 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ γ ∈ ℂ
45		mulcl 11090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ) → (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
46	44, 16, 45	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
47		mulog2sumlem.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)
48		rlimcl 15410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐿 → 𝐿 ∈ ℂ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐿 ∈ ℂ)
51	46, 50	subcld 11472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿) ∈ ℂ)
52	18, 51	addcld 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
53	10, 52	mulcld 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ ℂ)
54	3, 53	fsumcl 15640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ ℂ)
55	10, 51	mulcld 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
56	3, 55	fsumcl 15640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
57	54, 23, 56	sub32d 11504	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)))
58	3, 53, 55	fsumsub 15695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
59	10, 52, 51	subdid 11573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
60	18, 51	pncand 11473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))
61	60	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
62	59, 61	eqtr3d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
63	62	sumeq2dv 15609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
64	58, 63	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
65	64	oveq1d 7361	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))
66	57, 65	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))
67	66	mpteq2dva 5184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))))
68	54, 23	subcld 11472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
69		logdivsum.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
70		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))
71		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) + (γ + (abs‘𝐿))) + Σ𝑚 ∈ (1...2)((log‘(e / 𝑚)) / 𝑚)) = (((1 / 2) + (γ + (abs‘𝐿))) + Σ𝑚 ∈ (1...2)((log‘(e / 𝑚)) / 𝑚))
72	69, 47, 70, 71	mulog2sumlem2 27474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
73	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → γ ∈ ℂ)
74	10, 16	mulcld 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
75	3, 73, 74	fsummulc2 15691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
76	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 ∈ ℂ)
77	3, 76, 10	fsummulc1 15692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))
78	75, 77	oveq12d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
79		mulcl 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
80	44, 74, 79	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
81	10, 50	mulcld 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) ∈ ℂ)
82	3, 80, 81	fsumsub 15695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
83	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → γ ∈ ℂ)
84	83, 10, 16	mul12d 11322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
85	84	oveq1d 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
86	10, 46, 50	subdid 11573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
87	85, 86	eqtr4d 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
88	87	sumeq2dv 15609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
89	78, 82, 88	3eqtr2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
90	89	mpteq2dva 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
91	3, 74	fsumcl 15640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
92		mulcl 11090	. . . . . . . 8 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
93	44, 91, 92	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
94	3, 10	fsumcl 15640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
95	94, 76	mulcld 11132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) ∈ ℂ)
96	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → γ ∈ ℂ)
97		o1const 15527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ γ ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
98	39, 96, 97	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
99		mulogsum 27471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1))
101	73, 91, 98, 100	o1mul2 15532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
102		mudivsum 27469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
104		o1const 15527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
105	39, 49, 104	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
106	94, 76, 103, 105	o1mul2 15532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) ∈ 𝑂(1))
107	93, 95, 101, 106	o1sub2 15533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
108	90, 107	eqeltrrd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
109	68, 56, 72, 108	o1sub2 15533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))) ∈ 𝑂(1))
110	67, 109	eqeltrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
111	2, 38, 42, 110	o1mul2 15532	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
112	37, 111	eqeltrrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  ℤcz 12468  ℝ⁺crp 12890  ...cfz 13407  ⌊cfl 13694  ↑cexp 13968  abscabs 15141   ⇝_𝑟 crli 15392  𝑂(1)co1 15393  Σcsu 15593  eceu 15969  logclog 26491  γcem 26930  μcmu 27033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-o1 15397  df-lo1 15398  df-sum 15594  df-ef 15974  df-e 15975  df-sin 15976  df-cos 15977  df-tan 15978  df-pi 15979  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-pc 16749  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-fbas 21289  df-fg 21290  df-cnfld 21293  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-cmp 23303  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-ulm 26314  df-log 26493  df-cxp 26494  df-atan 26805  df-em 26931  df-mu 27039

This theorem is referenced by:  mulog2sum  27476