Theorem mulog2sumlem3 27598

Description: Lemma for mulog2sum 27599. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
logdivsum.1	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
mulog2sumlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
mulog2sumlem3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹   𝑛,𝐿,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖)   𝐹(𝑦,𝑖,𝑛)   𝐿(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem mulog2sumlem3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12368	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
3		fzfid 14024	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
4		elfznn 13613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		mucl 27202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
8	7	zred 12747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
9	8, 5	nndivred 12347	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
12	4	nnrpd 13097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
13		rpdivcl 13082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
15	14	relogcld 26683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
18	17	halfcld 12538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) ∈ ℂ)
19	10, 18	mulcld 11310	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ ℂ)
20	3, 19	fsumcl 15781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ ℂ)
21		relogcl 26635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
24	2, 20, 23	subdid 11746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) = ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) − (2 · (log‘𝑥))))
25	3, 2, 19	fsummulc2 15832	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))))
26	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
27	26, 10, 18	mul12d 11499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))))
28		2ne0 12397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ≠ 0)
30	17, 26, 29	divcan2d 12072	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) = ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2))
31	30	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
32	27, 31	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
33	32	sumeq2dv 15750	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
34	25, 33	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
35	34	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) − (2 · (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))))
36	24, 35	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))))
37	36	mpteq2dva 5266	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))))
38	20, 23	subcld 11647	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
39		rpssre 13064	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
40		o1const 15666	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
41	39, 1, 40	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
43		emre 27067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ γ ∈ ℝ
44	43	recni 11304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ γ ∈ ℂ
45		mulcl 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ) → (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
46	44, 16, 45	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
47		mulog2sumlem.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)
48		rlimcl 15549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐿 → 𝐿 ∈ ℂ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐿 ∈ ℂ)
51	46, 50	subcld 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿) ∈ ℂ)
52	18, 51	addcld 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
53	10, 52	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ ℂ)
54	3, 53	fsumcl 15781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ ℂ)
55	10, 51	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
56	3, 55	fsumcl 15781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
57	54, 23, 56	sub32d 11679	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)))
58	3, 53, 55	fsumsub 15836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
59	10, 52, 51	subdid 11746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
60	18, 51	pncand 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))
61	60	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
62	59, 61	eqtr3d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
63	62	sumeq2dv 15750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
64	58, 63	eqtr3d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
65	64	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))
66	57, 65	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))
67	66	mpteq2dva 5266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))))
68	54, 23	subcld 11647	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
69		logdivsum.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
70		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))
71		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) + (γ + (abs‘𝐿))) + Σ𝑚 ∈ (1...2)((log‘(e / 𝑚)) / 𝑚)) = (((1 / 2) + (γ + (abs‘𝐿))) + Σ𝑚 ∈ (1...2)((log‘(e / 𝑚)) / 𝑚))
72	69, 47, 70, 71	mulog2sumlem2 27597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
73	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → γ ∈ ℂ)
74	10, 16	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
75	3, 73, 74	fsummulc2 15832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
76	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 ∈ ℂ)
77	3, 76, 10	fsummulc1 15833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))
78	75, 77	oveq12d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
79		mulcl 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
80	44, 74, 79	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
81	10, 50	mulcld 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) ∈ ℂ)
82	3, 80, 81	fsumsub 15836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
83	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → γ ∈ ℂ)
84	83, 10, 16	mul12d 11499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
85	84	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
86	10, 46, 50	subdid 11746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
87	85, 86	eqtr4d 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
88	87	sumeq2dv 15750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
89	78, 82, 88	3eqtr2d 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
90	89	mpteq2dva 5266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
91	3, 74	fsumcl 15781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
92		mulcl 11268	. . . . . . . 8 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
93	44, 91, 92	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
94	3, 10	fsumcl 15781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
95	94, 76	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) ∈ ℂ)
96	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → γ ∈ ℂ)
97		o1const 15666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ γ ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
98	39, 96, 97	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
99		mulogsum 27594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1))
101	73, 91, 98, 100	o1mul2 15671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
102		mudivsum 27592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
104		o1const 15666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
105	39, 49, 104	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
106	94, 76, 103, 105	o1mul2 15671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) ∈ 𝑂(1))
107	93, 95, 101, 106	o1sub2 15672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
108	90, 107	eqeltrrd 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
109	68, 56, 72, 108	o1sub2 15672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))) ∈ 𝑂(1))
110	67, 109	eqeltrrd 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
111	2, 38, 42, 110	o1mul2 15671	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
112	37, 111	eqeltrrd 2845	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057  ...cfz 13567  ⌊cfl 13841  ↑cexp 14112  abscabs 15283   ⇝_𝑟 crli 15531  𝑂(1)co1 15532  Σcsu 15734  eceu 16110  logclog 26614  γcem 27053  μcmu 27156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-o1 15536  df-lo1 15537  df-sum 15735  df-ef 16115  df-e 16116  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-ulm 26438  df-log 26616  df-cxp 26617  df-atan 26928  df-em 27054  df-mu 27162

This theorem is referenced by:  mulog2sum  27599