MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulog2sumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulog2sumlem3 27272
Description: Lemma for mulog2sum 27273. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsum.1 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))((logβ€˜π‘–) / 𝑖) βˆ’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2)))
mulog2sumlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
mulog2sumlem3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹   𝑛,𝐿,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑖)   𝐹(𝑦,𝑖,𝑛)   𝐿(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem mulog2sumlem3
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 12292 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
21a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
3 fzfid 13943 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
4 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
54adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 mucl 26878 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
87zred 12671 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
98, 5nndivred 12271 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
109recnd 11247 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
11 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
124nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
13 rpdivcl 13004 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
1514relogcld 26364 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1615recnd 11247 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
1716sqcld 14114 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ β„‚)
1817halfcld 12462 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) ∈ β„‚)
1910, 18mulcld 11239 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ β„‚)
203, 19fsumcl 15684 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ β„‚)
21 relogcl 26317 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2221adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2322recnd 11247 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
242, 20, 23subdid 11675 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) = ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
253, 2, 19fsummulc2 15735 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))))
261a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 ∈ β„‚)
2726, 10, 18mul12d 11428 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))))
28 2ne0 12321 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 β‰  0)
3017, 26, 29divcan2d 11997 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) = ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2))
3130oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)))
3227, 31eqtrd 2771 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)))
3332sumeq2dv 15654 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)))
3425, 33eqtrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)))
3534oveq1d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
3624, 35eqtrd 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
3736mpteq2dva 5249 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))))
3820, 23subcld 11576 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
39 rpssre 12986 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
40 o1const 15569 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
4139, 1, 40mp2an 689 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
4241a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
43 emre 26743 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ³ ∈ ℝ
4443recni 11233 . . . . . . . . . . . 12 Ξ³ ∈ β„‚
45 mulcl 11197 . . . . . . . . . . . 12 ((Ξ³ ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
4644, 16, 45sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
47 mulog2sumlem.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿)
48 rlimcl 15452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
5049ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
5146, 50subcld 11576 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿) ∈ β„‚)
5218, 51addcld 11238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ∈ β„‚)
5310, 52mulcld 11239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ∈ β„‚)
543, 53fsumcl 15684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ∈ β„‚)
5510, 51mulcld 11239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ∈ β„‚)
563, 55fsumcl 15684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ∈ β„‚)
5754, 23, 56sub32d 11608 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
583, 53, 55fsumsub 15739 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))))
5910, 52, 51subdid 11675 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) βˆ’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))))
6018, 51pncand 11577 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) βˆ’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))
6160oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) βˆ’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)))
6259, 61eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)))
6362sumeq2dv 15654 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)))
6458, 63eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)))
6564oveq1d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
6657, 65eqtrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
6766mpteq2dva 5249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))))
6854, 23subcld 11576 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
69 logdivsum.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))((logβ€˜π‘–) / 𝑖) βˆ’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2)))
70 eqid 2731 . . . . . 6 ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))
71 eqid 2731 . . . . . 6 (((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) + Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š)) = (((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) + Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
7269, 47, 70, 71mulog2sumlem2 27271 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
7344a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
7410, 16mulcld 11239 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
753, 73, 74fsummulc2 15735 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
7649adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
773, 76, 10fsummulc1 15736 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿))
7875, 77oveq12d 7430 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)))
79 mulcl 11197 . . . . . . . . . 10 ((Ξ³ ∈ β„‚ ∧ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚) β†’ (Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
8044, 74, 79sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
8110, 50mulcld 11239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿) ∈ β„‚)
823, 80, 81fsumsub 15739 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)))
8344a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
8483, 10, 16mul12d 11428 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
8584oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)))
8610, 46, 50subdid 11675 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)))
8785, 86eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))
8887sumeq2dv 15654 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))
8978, 82, 883eqtr2d 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))
9089mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))))
913, 74fsumcl 15684 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
92 mulcl 11197 . . . . . . . 8 ((Ξ³ ∈ β„‚ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚) β†’ (Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
9344, 91, 92sylancr 586 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
943, 10fsumcl 15684 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
9594, 76mulcld 11239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿) ∈ β„‚)
9644a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
97 o1const 15569 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ Ξ³ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ³) ∈ 𝑂(1))
9839, 96, 97sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ³) ∈ 𝑂(1))
99 mulogsum 27268 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1))
10173, 91, 98, 100o1mul2 15574 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
102 mudivsum 27266 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
104 o1const 15569 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 𝐿 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
10539, 49, 104sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
10694, 76, 103, 105o1mul2 15574 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) ∈ 𝑂(1))
10793, 95, 101, 106o1sub2 15575 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
10890, 107eqeltrrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
10968, 56, 72, 108o1sub2 15575 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))) ∈ 𝑂(1))
11067, 109eqeltrrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
1112, 38, 42, 110o1mul2 15574 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
11237, 111eqeltrrd 2833 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„€cz 12563  β„+crp 12979  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  β†‘cexp 14032  abscabs 15186   β‡π‘Ÿ crli 15434  π‘‚(1)co1 15435  Ξ£csu 15637  eceu 16011  logclog 26296  Ξ³cem 26729  ΞΌcmu 26832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-o1 15439  df-lo1 15440  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26122  df-log 26298  df-cxp 26299  df-atan 26605  df-em 26730  df-mu 26838
This theorem is referenced by:  mulog2sum  27273
  Copyright terms: Public domain W3C validator