Theorem mulog2sumlem3 27729

Description: Lemma for mulog2sum 27730. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
logdivsum.1	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
mulog2sumlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
mulog2sumlem3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹   𝑛,𝐿,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑖)   𝐹(𝑦, 𝑖, 𝑛)   𝐿(𝑦, 𝑖)

Proof of Theorem mulog2sumlem3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12327	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
3		fzfid 14022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
4		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		mucl 27334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
8	7	zred 12711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
9	8, 5	nndivred 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
11		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
12	4	nnrpd 13069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
13		rpdivcl 13054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
15	14	relogcld 26817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
18	17	halfcld 12500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) ∈ ℂ)
19	10, 18	mulcld 11240	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ ℂ)
20	3, 19	fsumcl 15802	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ ℂ)
21		relogcl 26769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
24	2, 20, 23	subdid 11681	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) = ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) − (2 · (log‘𝑥))))
25	3, 2, 19	fsummulc2 15853	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))))
26	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
27	26, 10, 18	mul12d 11430	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))))
28		2ne0 12358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ≠ 0)
30	17, 26, 29	divcan2d 12004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) = ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2))
31	30	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
32	27, 31	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
33	32	sumeq2dv 15772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
34	25, 33	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
35	34	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) − (2 · (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))))
36	24, 35	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))))
37	36	mpteq2dva 5206	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))))
38	20, 23	subcld 11580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
39		rpssre 13035	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
40		o1const 15690	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
41	39, 1, 40	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
43		emre 27199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ γ ∈ ℝ
44	43	recni 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ γ ∈ ℂ
45		mulcl 11195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ) → (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
46	44, 16, 45	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
47		mulog2sumlem.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)
48		rlimcl 15573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐿 → 𝐿 ∈ ℂ)
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
50	49	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐿 ∈ ℂ)
51	46, 50	subcld 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿) ∈ ℂ)
52	18, 51	addcld 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
53	10, 52	mulcld 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ ℂ)
54	3, 53	fsumcl 15802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ ℂ)
55	10, 51	mulcld 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
56	3, 55	fsumcl 15802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
57	54, 23, 56	sub32d 11612	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)))
58	3, 53, 55	fsumsub 15857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
59	10, 52, 51	subdid 11681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
60	18, 51	pncand 11581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))
61	60	oveq2d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
62	59, 61	eqtr3d 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
63	62	sumeq2dv 15772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
64	58, 63	eqtr3d 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
65	64	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))
66	57, 65	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))
67	66	mpteq2dva 5206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))))
68	54, 23	subcld 11580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
69		logdivsum.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
70		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))
71		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) + (γ + (abs‘𝐿))) + Σ𝑚 ∈ (1...2)((log‘(e / 𝑚)) / 𝑚)) = (((1 / 2) + (γ + (abs‘𝐿))) + Σ𝑚 ∈ (1...2)((log‘(e / 𝑚)) / 𝑚))
72	69, 47, 70, 71	mulog2sumlem2 27728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
73	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → γ ∈ ℂ)
74	10, 16	mulcld 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
75	3, 73, 74	fsummulc2 15853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
76	49	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 ∈ ℂ)
77	3, 76, 10	fsummulc1 15854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))
78	75, 77	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
79		mulcl 11195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
80	44, 74, 79	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
81	10, 50	mulcld 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) ∈ ℂ)
82	3, 80, 81	fsumsub 15857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
83	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → γ ∈ ℂ)
84	83, 10, 16	mul12d 11430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
85	84	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
86	10, 46, 50	subdid 11681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
87	85, 86	eqtr4d 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
88	87	sumeq2dv 15772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
89	78, 82, 88	3eqtr2d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
90	89	mpteq2dva 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
91	3, 74	fsumcl 15802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
92		mulcl 11195	. . . . . . . 8 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
93	44, 91, 92	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
94	3, 10	fsumcl 15802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
95	94, 76	mulcld 11240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) ∈ ℂ)
96	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → γ ∈ ℂ)
97		o1const 15690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ γ ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
98	39, 96, 97	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
99		mulogsum 27725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1))
101	73, 91, 98, 100	o1mul2 15695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
102		mudivsum 27723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
104		o1const 15690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
105	39, 49, 104	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
106	94, 76, 103, 105	o1mul2 15695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) ∈ 𝑂(1))
107	93, 95, 101, 106	o1sub2 15696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
108	90, 107	eqeltrrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
109	68, 56, 72, 108	o1sub2 15696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))) ∈ 𝑂(1))
110	67, 109	eqeltrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
111	2, 38, 42, 110	o1mul2 15695	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
112	37, 111	eqeltrrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℤcz 12602  ℝ⁺crp 13027  ...cfz 13546  ⌊cfl 13836  ↑cexp 14110  abscabs 15304   ⇝_𝑟 crli 15555  𝑂(1)co1 15556  Σcsu 15756  eceu 16133  logclog 26748  γcem 27185  μcmu 27288

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15123  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-limsup 15541  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-o1 15560  df-lo1 15561  df-sum 15757  df-ef 16138  df-e 16139  df-sin 16140  df-cos 16141  df-tan 16142  df-pi 16143  df-dvds 16328  df-gcd 16570  df-prm 16747  df-pc 16914  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-pt 17514  df-prds 17517  df-xrs 17573  df-qtop 17578  df-imas 17579  df-xps 17581  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-mulg 19157  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-cnfld 21552  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cld 23205  df-ntr 23206  df-cls 23207  df-nei 23284  df-lp 23322  df-perf 23323  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-haus 23501  df-cmp 23573  df-tx 23748  df-hmeo 23941  df-fil 24032  df-fm 24124  df-flim 24125  df-flf 24126  df-xms 24506  df-ms 24507  df-tms 24508  df-cncf 25066  df-limc 26054  df-dv 26055  df-ulm 26569  df-log 26750  df-cxp 26751  df-atan 27061  df-em 27186  df-mu 27294

This theorem is used by:  mulog2sum  27730