MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulog2sumlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulog2sumlem3 27275
Description: Lemma for mulog2sum 27276. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsum.1 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))((logβ€˜π‘–) / 𝑖) βˆ’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2)))
mulog2sumlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
mulog2sumlem3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹   𝑛,𝐿,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑖)   𝐹(𝑦,𝑖,𝑛)   𝐿(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem mulog2sumlem3
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 12291 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
21a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
3 fzfid 13942 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
4 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
54adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6 mucl 26881 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
87zred 12670 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
98, 5nndivred 12270 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
109recnd 11246 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
11 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
124nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
13 rpdivcl 13003 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
1411, 12, 13syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
1514relogcld 26367 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1615recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
1716sqcld 14113 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ β„‚)
1817halfcld 12461 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) ∈ β„‚)
1910, 18mulcld 11238 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ β„‚)
203, 19fsumcl 15683 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ β„‚)
21 relogcl 26320 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2221adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2322recnd 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
242, 20, 23subdid 11674 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) = ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
253, 2, 19fsummulc2 15734 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))))
261a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 ∈ β„‚)
2726, 10, 18mul12d 11427 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))))
28 2ne0 12320 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 β‰  0)
3017, 26, 29divcan2d 11996 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) = ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2))
3130oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (2 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)))
3227, 31eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)))
3332sumeq2dv 15653 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(2 Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)))
3425, 33eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)))
3534oveq1d 7426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
3624, 35eqtrd 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯))))
3736mpteq2dva 5247 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))))
3820, 23subcld 11575 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
39 rpssre 12985 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
40 o1const 15568 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
4139, 1, 40mp2an 688 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
4241a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
43 emre 26746 . . . . . . . . . . . . 13 Ξ³ ∈ ℝ
4443recni 11232 . . . . . . . . . . . 12 Ξ³ ∈ β„‚
45 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((Ξ³ ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
4644, 16, 45sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
47 mulog2sumlem.1 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿)
48 rlimcl 15451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
5049ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
5146, 50subcld 11575 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿) ∈ β„‚)
5218, 51addcld 11237 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ∈ β„‚)
5310, 52mulcld 11238 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ∈ β„‚)
543, 53fsumcl 15683 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ∈ β„‚)
5510, 51mulcld 11238 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ∈ β„‚)
563, 55fsumcl 15683 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ∈ β„‚)
5754, 23, 56sub32d 11607 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
583, 53, 55fsumsub 15738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))))
5910, 52, 51subdid 11674 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) βˆ’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))))
6018, 51pncand 11576 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) βˆ’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))
6160oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) βˆ’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)))
6259, 61eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)))
6362sumeq2dv 15653 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)))
6458, 63eqtr3d 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)))
6564oveq1d 7426 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
6657, 65eqtrd 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
6766mpteq2dva 5247 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))))
6854, 23subcld 11575 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
69 logdivsum.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))((logβ€˜π‘–) / 𝑖) βˆ’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2)))
70 eqid 2730 . . . . . 6 ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))
71 eqid 2730 . . . . . 6 (((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) + Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š)) = (((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) + Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
7269, 47, 70, 71mulog2sumlem2 27274 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
7344a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
7410, 16mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
753, 73, 74fsummulc2 15734 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
7649adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
773, 76, 10fsummulc1 15735 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿))
7875, 77oveq12d 7429 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)))
79 mulcl 11196 . . . . . . . . . 10 ((Ξ³ ∈ β„‚ ∧ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚) β†’ (Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
8044, 74, 79sylancr 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
8110, 50mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿) ∈ β„‚)
823, 80, 81fsumsub 15738 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)))
8344a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
8483, 10, 16mul12d 11427 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
8584oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)))
8610, 46, 50subdid 11674 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)))
8785, 86eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))
8887sumeq2dv 15653 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((Ξ³ Β· (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))
8978, 82, 883eqtr2d 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))
9089mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))))
913, 74fsumcl 15683 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
92 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((Ξ³ ∈ β„‚ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚) β†’ (Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
9344, 91, 92sylancr 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
943, 10fsumcl 15683 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
9594, 76mulcld 11238 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿) ∈ β„‚)
9644a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
97 o1const 15568 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ Ξ³ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ³) ∈ 𝑂(1))
9839, 96, 97sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ³) ∈ 𝑂(1))
99 mulogsum 27271 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
10099a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1))
10173, 91, 98, 100o1mul2 15573 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
102 mudivsum 27269 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
104 o1const 15568 . . . . . . . . 9 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 𝐿 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
10539, 49, 104sylancr 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
10694, 76, 103, 105o1mul2 15573 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿)) ∈ 𝑂(1))
10793, 95, 101, 106o1sub2 15574 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ξ³ Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
10890, 107eqeltrrd 2832 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
10968, 56, 72, 108o1sub2 15574 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))) ∈ 𝑂(1))
11067, 109eqeltrrd 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
1112, 38, 42, 110o1mul2 15573 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
11237, 111eqeltrrd 2832 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) βˆ’ (2 Β· (logβ€˜π‘₯)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„€cz 12562  β„+crp 12978  ...cfz 13488  βŒŠcfl 13759  β†‘cexp 14031  abscabs 15185   β‡π‘Ÿ crli 15433  π‘‚(1)co1 15434  Ξ£csu 15636  eceu 16010  logclog 26299  Ξ³cem 26732  ΞΌcmu 26835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-o1 15438  df-lo1 15439  df-sum 15637  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-ulm 26125  df-log 26301  df-cxp 26302  df-atan 26608  df-em 26733  df-mu 26841
This theorem is referenced by:  mulog2sum  27276
  Copyright terms: Public domain W3C validator