Theorem mulog2sumlem3 27524

Description: Lemma for mulog2sum 27525. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
logdivsum.1	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
mulog2sumlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
mulog2sumlem3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹   𝑛,𝐿,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖)   𝐹(𝑦,𝑖,𝑛)   𝐿(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem mulog2sumlem3

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12254	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
3		fzfid 13933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
4		elfznn 13505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
6		mucl 27129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
8	7	zred 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
9	8, 5	nndivred 12229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
11		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
12	4	nnrpd 12982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
13		rpdivcl 12967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
14	11, 12, 13	syl2an 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
15	14	relogcld 26612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
17	16	sqcld 14104	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
18	17	halfcld 12420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) ∈ ℂ)
19	10, 18	mulcld 11163	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ ℂ)
20	3, 19	fsumcl 15693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ ℂ)
21		relogcl 26564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22	21	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11171	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
24	2, 20, 23	subdid 11604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) = ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) − (2 · (log‘𝑥))))
25	3, 2, 19	fsummulc2 15744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))))
26	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
27	26, 10, 18	mul12d 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))))
28		2ne0 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ≠ 0)
30	17, 26, 29	divcan2d 11931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) = ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2))
31	30	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (2 · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
32	27, 31	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
33	32	sumeq2dv 15662	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(2 · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
34	25, 33	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)))
35	34	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))) − (2 · (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))))
36	24, 35	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥))))
37	36	mpteq2dva 5172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))))
38	20, 23	subcld 11503	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
39		rpssre 12948	. . . . 5 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
40		o1const 15580	. . . . 5 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
41	39, 1, 40	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
43		emre 26994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ γ ∈ ℝ
44	43	recni 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ γ ∈ ℂ
45		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ) → (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
46	44, 16, 45	sylancr 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
47		mulog2sumlem.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 𝐿)
48		rlimcl 15463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 𝐿 → 𝐿 ∈ ℂ)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
50	49	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐿 ∈ ℂ)
51	46, 50	subcld 11503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿) ∈ ℂ)
52	18, 51	addcld 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
53	10, 52	mulcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ ℂ)
54	3, 53	fsumcl 15693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ ℂ)
55	10, 51	mulcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
56	3, 55	fsumcl 15693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) ∈ ℂ)
57	54, 23, 56	sub32d 11535	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)))
58	3, 53, 55	fsumsub 15748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
59	10, 52, 51	subdid 11604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
60	18, 51	pncand 11504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2))
61	60	oveq2d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) − ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
62	59, 61	eqtr3d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
63	62	sumeq2dv 15662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
64	58, 63	eqtr3d 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)))
65	64	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))
66	57, 65	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))
67	66	mpteq2dva 5172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))))
68	54, 23	subcld 11503	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
69		logdivsum.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
70		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))
71		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) + (γ + (abs‘𝐿))) + Σ𝑚 ∈ (1...2)((log‘(e / 𝑚)) / 𝑚)) = (((1 / 2) + (γ + (abs‘𝐿))) + Σ𝑚 ∈ (1...2)((log‘(e / 𝑚)) / 𝑚))
72	69, 47, 70, 71	mulog2sumlem2 27523	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
73	44	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → γ ∈ ℂ)
74	10, 16	mulcld 11163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
75	3, 73, 74	fsummulc2 15744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
76	49	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 ∈ ℂ)
77	3, 76, 10	fsummulc1 15745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))
78	75, 77	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
79		mulcl 11120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
80	44, 74, 79	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
81	10, 50	mulcld 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) ∈ ℂ)
82	3, 80, 81	fsumsub 15748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
83	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → γ ∈ ℂ)
84	83, 10, 16	mul12d 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
85	84	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
86	10, 46, 50	subdid 11604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (γ · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)))
87	85, 86	eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
88	87	sumeq2dv 15662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((γ · (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
89	78, 82, 88	3eqtr2d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))
90	89	mpteq2dva 5172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))))
91	3, 74	fsumcl 15693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
92		mulcl 11120	. . . . . . . 8 ⊢ ((γ ∈ ℂ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
93	44, 91, 92	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
94	3, 10	fsumcl 15693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
95	94, 76	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿) ∈ ℂ)
96	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → γ ∈ ℂ)
97		o1const 15580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ γ ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
98	39, 96, 97	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
99		mulogsum 27520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
100	99	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1))
101	73, 91, 98, 100	o1mul2 15585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
102		mudivsum 27518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
103	102	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
104		o1const 15580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
105	39, 49, 104	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 𝐿) ∈ 𝑂(1))
106	94, 76, 103, 105	o1mul2 15585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿)) ∈ 𝑂(1))
107	93, 95, 101, 106	o1sub2 15586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((γ · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
108	90, 107	eqeltrrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) ∈ 𝑂(1))
109	68, 56, 72, 108	o1sub2 15586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2) + ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿))) − (log‘𝑥)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((γ · (log‘(𝑥 / 𝑛))) − 𝐿)))) ∈ 𝑂(1))
110	67, 109	eqeltrrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
111	2, 38, 42, 110	o1mul2 15585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2) / 2)) − (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
112	37, 111	eqeltrrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑2)) − (2 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  2c2 12234  ℤcz 12522  ℝ⁺crp 12940  ...cfz 13459  ⌊cfl 13747  ↑cexp 14021  abscabs 15194   ⇝_𝑟 crli 15445  𝑂(1)co1 15446  Σcsu 15646  eceu 16025  logclog 26543  γcem 26980  μcmu 27083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-disj 5047  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-o1 15450  df-lo1 15451  df-sum 15647  df-ef 16030  df-e 16031  df-sin 16032  df-cos 16033  df-tan 16034  df-pi 16035  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-pc 16806  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-cmp 23377  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-ulm 26367  df-log 26545  df-cxp 26546  df-atan 26856  df-em 26981  df-mu 27089

This theorem is referenced by:  mulog2sum  27525