Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  safesnsupfiub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem safesnsupfiub 42759
Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
safesnsupfiub.small (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiub.finite (𝜑𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiub.subset (𝜑𝐵𝐴)
safesnsupfiub.ordered (𝜑𝑅 Or 𝐴)
safesnsupfiub.ub (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
Assertion
Ref Expression
safesnsupfiub (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem safesnsupfiub
StepHypRef Expression
1 safesnsupfiub.ub . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
2 safesnsupfiub.small . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
3 safesnsupfiub.finite . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
4 safesnsupfiub.subset . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
5 safesnsupfiub.ordered . . . . . 6 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
62, 3, 4, 5safesnsupfiss 42758 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)
76sseld 3977 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥𝐵))
87imim1d 82 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦) → (𝑥 ∈ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → ∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)))
98ralimdv2 3158 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦))
101, 9mpd 15 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  wss 3944  c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   Or wor 5583  1oc1o 8471  csdm 8952  Fincfn 8953  supcsup 9449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-om 7863  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator