Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  safesnsupfiub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem safesnsupfiub 43405
Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
safesnsupfiub.small (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiub.finite (𝜑𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiub.subset (𝜑𝐵𝐴)
safesnsupfiub.ordered (𝜑𝑅 Or 𝐴)
safesnsupfiub.ub (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
Assertion
Ref Expression
safesnsupfiub (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem safesnsupfiub
StepHypRef Expression
1 safesnsupfiub.ub . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
2 safesnsupfiub.small . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
3 safesnsupfiub.finite . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
4 safesnsupfiub.subset . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
5 safesnsupfiub.ordered . . . . . 6 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
62, 3, 4, 5safesnsupfiss 43404 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)
76sseld 3993 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥𝐵))
87imim1d 82 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦) → (𝑥 ∈ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → ∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)))
98ralimdv2 3160 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦))
101, 9mpd 15 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147   Or wor 5595  1oc1o 8497  csdm 8982  Fincfn 8983  supcsup 9477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-om 7887  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator