Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  safesnsupfiub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem safesnsupfiub 42907
Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
safesnsupfiub.small (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiub.finite (𝜑𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiub.subset (𝜑𝐵𝐴)
safesnsupfiub.ordered (𝜑𝑅 Or 𝐴)
safesnsupfiub.ub (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
Assertion
Ref Expression
safesnsupfiub (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
Distinct variable group:   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem safesnsupfiub
StepHypRef Expression
1 safesnsupfiub.ub . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
2 safesnsupfiub.small . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
3 safesnsupfiub.finite . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
4 safesnsupfiub.subset . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
5 safesnsupfiub.ordered . . . . . 6 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
62, 3, 4, 5safesnsupfiss 42906 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)
76sseld 3972 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥𝐵))
87imim1d 82 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦) → (𝑥 ∈ if(𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → ∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)))
98ralimdv2 3153 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦))
101, 9mpd 15 1 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦𝐶 𝑥𝑅𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  wss 3941  c0 4319  ifcif 4525  {csn 4625   class class class wbr 5144   Or wor 5584  1oc1o 8473  csdm 8956  Fincfn 8957  supcsup 9458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-om 7866  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator