Theorem safesnsupfiub 43429

Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
safesnsupfiub.small	⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiub.finite	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiub.subset	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
safesnsupfiub.ordered	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
safesnsupfiub.ub	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)

Assertion

Ref	Expression
safesnsupfiub	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem safesnsupfiub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		safesnsupfiub.ub	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)
2		safesnsupfiub.small	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
3		safesnsupfiub.finite	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		safesnsupfiub.subset	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		safesnsupfiub.ordered	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
6	2, 3, 4, 5	safesnsupfiss 43428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)
7	6	sseld 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
8	7	imim1d 82	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦) → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)))
9	8	ralimdv2 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦))
10	1, 9	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   Or wor 5591  1_oc1o 8499   ≺ csdm 8984  Fincfn 8985  supcsup 9480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-om 7888  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482

This theorem is referenced by: (None)