Theorem safesnsupfiub 44112

Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
safesnsupfiub.small	⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiub.finite	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiub.subset	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
safesnsupfiub.ordered	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
safesnsupfiub.ub	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)

Assertion

Ref	Expression
safesnsupfiub	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem safesnsupfiub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		safesnsupfiub.ub	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)
2		safesnsupfiub.small	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
3		safesnsupfiub.finite	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		safesnsupfiub.subset	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		safesnsupfiub.ordered	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
6	2, 3, 4, 5	safesnsupfiss 44111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)
7	6	sseld 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
8	7	imim1d 83	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦) → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)))
9	8	ralimdv2 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦))
10	1, 9	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4486  {csn 4588   class class class wbr 5108   Or wor 5568  1_oc1o 8445   ≺ csdm 8941  Fincfn 8942  supcsup 9399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-om 7862  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401

This theorem is referenced by: (None)