Theorem safesnsupfiub 43370

Description: If 𝐵 is a finite subset of ordered class 𝐴, we can safely create a small subset with the same largest element and upper bound, if any. (Contributed by RP, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
safesnsupfiub.small	⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
safesnsupfiub.finite	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
safesnsupfiub.subset	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
safesnsupfiub.ordered	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
safesnsupfiub.ub	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)

Assertion

Ref	Expression
safesnsupfiub	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem safesnsupfiub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		safesnsupfiub.ub	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)
2		safesnsupfiub.small	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂 = ∅ ∨ 𝑂 = 1o))
3		safesnsupfiub.finite	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		safesnsupfiub.subset	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		safesnsupfiub.ordered	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
6	2, 3, 4, 5	safesnsupfiss 43369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) ⊆ 𝐵)
7	6	sseld 4007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
8	7	imim1d 82	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦) → (𝑥 ∈ if(𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)))
9	8	ralimdv2 3165	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦))
10	1, 9	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ if (𝑂 ≺ 𝐵, {sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)}, 𝐵)∀𝑦 ∈ 𝐶 𝑥𝑅𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  ∀wral 3063   ⊆ wss 3976  ∅c0 4353  ifcif 4554  {csn 4654   class class class wbr 5176   Or wor 5617  1_oc1o 8520   ≺ csdm 9007  Fincfn 9008  supcsup 9514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5327  ax-nul 5334  ax-pow 5393  ax-pr 5457  ax-un 7775

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3384  df-reu 3385  df-rab 3440  df-v 3486  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4354  df-if 4555  df-pw 4630  df-sn 4655  df-pr 4657  df-op 4661  df-uni 4938  df-br 5177  df-opab 5239  df-tr 5294  df-id 5604  df-eprel 5610  df-po 5618  df-so 5619  df-fr 5661  df-we 5663  df-xp 5712  df-rel 5713  df-cnv 5714  df-co 5715  df-dm 5716  df-rn 5717  df-res 5718  df-ima 5719  df-ord 6404  df-on 6405  df-lim 6406  df-suc 6407  df-iota 6531  df-fun 6581  df-fn 6582  df-f 6583  df-f1 6584  df-fo 6585  df-f1o 6586  df-fv 6587  df-riota 7410  df-om 7909  df-1o 8527  df-er 8768  df-en 9009  df-dom 9010  df-sdom 9011  df-fin 9012  df-sup 9516

This theorem is referenced by: (None)