Theorem scottn0f 37026

Description: A version of scott0f 37025 with inequalities instead of equalities. (Contributed by Giovanni Mascellani, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
scottn0f.1	⊢ Ⅎ𝑦𝐴
scottn0f.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
scottn0f	⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)} ≠ ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem scottn0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scottn0f.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
2		scottn0f.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	1, 2	scott0f 37025	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)} = ∅)
4	3	necon3bii 2993	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)} ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 205  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3432   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ‘cfv 6540  rankcrnk 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-r1 9755  df-rank 9756

This theorem is referenced by: (None)