Theorem scottn0f 36065

Description: A version of scott0f 36064 with inequalities instead of equalities. (Contributed by Giovanni Mascellani, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
scottn0f.1	⊢ Ⅎ𝑦𝐴
scottn0f.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
scottn0f	⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)} ≠ ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem scottn0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scottn0f.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
2		scottn0f.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	1, 2	scott0f 36064	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)} = ∅)
4	3	necon3bii 2993	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (rank‘𝑥) ⊆ (rank‘𝑦)} ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 209  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3065   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  ‘cfv 6380  rankcrnk 9379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-r1 9380  df-rank 9381

This theorem is referenced by: (None)