Theorem ac6s3f 38157

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, with bound-variable hypothesis. (Contributed by Giovanni Mascellani, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s3f.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6s3f.2	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s3f.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6s3f	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑓   𝑦,𝑓   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s3f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexv 3506	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦𝜑)
2	1	ralbii 3090	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑)
3	2	biimpri 228	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑)
4		ac6s3f.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
5		ac6s3f.2	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		ac6s3f.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	4, 5, 6	ac6sf 10526	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
8		exsimpr 1866	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
9	3, 7, 8	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536  ∃wex 1775  Ⅎwnf 1779   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3477  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-reg 9629  ax-inf2 9678  ax-ac2 10500

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-en 8984  df-r1 9801  df-rank 9802  df-card 9976  df-ac 10153

This theorem is referenced by:  ac6s6  38158