Theorem ac6s3f 38492

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, with bound-variable hypothesis. (Contributed by Giovanni Mascellani, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s3f.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6s3f.2	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s3f.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6s3f	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑓   𝑦,𝑓   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s3f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexv 3457	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦𝜑)
2	1	ralbii 3083	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑)
3	2	biimpri 228	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑)
4		ac6s3f.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
5		ac6s3f.2	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		ac6s3f.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	4, 5, 6	ac6sf 10411	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
8		exsimpr 1871	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
9	3, 7, 8	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-reg 9507  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-en 8894  df-r1 9688  df-rank 9689  df-card 9863  df-ac 10038

This theorem is referenced by:  ac6s6  38493