Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6s3f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6s3f 38178
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, with bound-variable hypothesis. (Contributed by Giovanni Mascellani, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s3f.1 𝑦𝜓
ac6s3f.2 𝐴 ∈ V
ac6s3f.3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6s3f (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 𝜓)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑓   𝑦,𝑓   𝐴,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s3f
StepHypRef Expression
1 rexv 3509 . . . 4 (∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦𝜑)
21ralbii 3093 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝜑)
32biimpri 228 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑)
4 ac6s3f.1 . . 3 𝑦𝜓
5 ac6s3f.2 . . 3 𝐴 ∈ V
6 ac6s3f.3 . . 3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
74, 5, 6ac6sf 10529 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
8 exsimpr 1869 . 2 (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑓𝑥𝐴 𝜓)
93, 7, 83syl 18 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wnf 1783  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wf 6557  cfv 6561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-en 8986  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-ac 10156
This theorem is referenced by:  ac6s6  38179
  Copyright terms: Public domain W3C validator