Theorem ac6s3f 38131

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, with bound-variable hypothesis. (Contributed by Giovanni Mascellani, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s3f.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6s3f.2	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s3f.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6s3f	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑓   𝑦,𝑓   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s3f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexv 3517	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦𝜑)
2	1	ralbii 3099	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑)
3	2	biimpri 228	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑)
4		ac6s3f.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
5		ac6s3f.2	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		ac6s3f.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	4, 5, 6	ac6sf 10558	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
8		exsimpr 1868	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
9	3, 7, 8	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-reg 9661  ax-inf2 9710  ax-ac2 10532

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-en 9004  df-r1 9833  df-rank 9834  df-card 10008  df-ac 10185

This theorem is referenced by:  ac6s6  38132