Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6s3f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6s3f 38538
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, with bound-variable hypothesis. (Contributed by Giovanni Mascellani, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s3f.1 𝑦𝜓
ac6s3f.2 𝐴 ∈ V
ac6s3f.3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6s3f (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 𝜓)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑓   𝑦,𝑓   𝐴,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s3f
StepHypRef Expression
1 rexv 3458 . . . 4 (∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦𝜑)
21ralbii 3085 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝜑)
32biimpri 229 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑)
4 ac6s3f.1 . . 3 𝑦𝜓
5 ac6s3f.2 . . 3 𝐴 ∈ V
6 ac6s3f.3 . . 3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
74, 5, 6ac6sf 10402 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
8 exsimpr 1876 . 2 (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑓𝑥𝐴 𝜓)
93, 7, 83syl 18 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1547  wex 1786  wnf 1790  wcel 2119  wral 3053  wrex 3063  Vcvv 3431  wf 6481  cfv 6485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-reg 9497  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-en 8884  df-r1 9679  df-rank 9680  df-card 9854  df-ac 10029
This theorem is referenced by:  ac6s6  38539
  Copyright terms: Public domain W3C validator