Theorem ac6s3f 37550

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, with bound-variable hypothesis. (Contributed by Giovanni Mascellani, 19-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s3f.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6s3f.2	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s3f.3	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6s3f	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑓   𝑦,𝑓   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s3f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexv 3494	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦𝜑)
2	1	ralbii 3087	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑)
3	2	biimpri 227	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑)
4		ac6s3f.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
5		ac6s3f.2	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6		ac6s3f.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	4, 5, 6	ac6sf 10483	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ V 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
8		exsimpr 1864	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
9	3, 7, 8	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  Vcvv 3468  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-reg 9586  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-en 8939  df-r1 9758  df-rank 9759  df-card 9933  df-ac 10110

This theorem is referenced by:  ac6s6  37551