Users' Mathboxes Mathbox for Giovanni Mascellani < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6s3f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6s3f 35007
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes, with bound-variable hypothesis. (Contributed by Giovanni Mascellani, 19-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s3f.1 𝑦𝜓
ac6s3f.2 𝐴 ∈ V
ac6s3f.3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6s3f (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 𝜓)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑓   𝑦,𝑓   𝐴,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s3f
StepHypRef Expression
1 rexv 3463 . . . 4 (∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦𝜑)
21ralbii 3132 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝜑)
32biimpri 229 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑)
4 ac6s3f.1 . . 3 𝑦𝜓
5 ac6s3f.2 . . 3 𝐴 ∈ V
6 ac6s3f.3 . . 3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
74, 5, 6ac6sf 9762 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
8 exsimpr 1851 . 2 (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑓𝑥𝐴 𝜓)
93, 7, 83syl 18 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wex 1761  wnf 1765  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  Vcvv 3437  wf 6226  cfv 6230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-reg 8907  ax-inf2 8955  ax-ac2 9736
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-se 5408  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-isom 6239  df-riota 6982  df-om 7442  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-en 8363  df-r1 9044  df-rank 9045  df-card 9219  df-ac 9393
This theorem is referenced by:  ac6s6  35008
  Copyright terms: Public domain W3C validator