Theorem elfz2z 45958

Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2z	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem elfz2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13588	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2		df-3an 1090	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
4		nn0ge0 12493	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
5	4	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
6		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	anim1i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
8		elnn0z 12567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9	7, 8	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10		0red 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
11		zre 12558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13		zre 12558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	13	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		letr 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
17		elnn0z 12567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18	17	simplbi2 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
19	18	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
20	16, 19	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
21	20	expcomd 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (0 ≤ 𝐾 → 𝑁 ∈ ℕ0)))
22	21	imp31 419	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	9, 22	jca 513	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
24	23	ex 414	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
25	5, 24	impbid2 225	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾))
26	25	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾)))
27	26	pm5.32rd 579	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
28	3, 27	bitrid 283	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  ℝcr 11105  0cc0 11106   ≤ cle 11245  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ...cfz 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481

This theorem is referenced by: (None)