Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elfz2z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz2z 45958
Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz2z ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz2z
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 13588 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
2 df-3an 1090 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁))
31, 2bitri 275 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁))
4 nn0ge0 12493 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
54adantr 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
6 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
76anim1i 616 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
8 elnn0z 12567 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
97, 8sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10 0red 11213 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
11 zre 12558 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1211adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13 zre 12558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1413adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 letr 11304 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1610, 12, 14, 15syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
17 elnn0z 12567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
1817simplbi2 502 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
1918adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
2016, 19syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
2120expcomd 418 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁 → (0 ≤ 𝐾𝑁 ∈ ℕ0)))
2221imp31 419 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
239, 22jca 513 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
2423ex 414 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))
255, 24impbid2 225 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾))
2625ex 414 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾)))
2726pm5.32rd 579 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
283, 27bitrid 283 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  cr 11105  0cc0 11106  cle 11245  0cn0 12468  cz 12554  ...cfz 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator