Theorem elfz2z 47344

Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2z	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem elfz2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13635	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
4		nn0ge0 12526	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
6		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
8		elnn0z 12601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9	7, 8	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10		0red 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
11		zre 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13		zre 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		letr 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
17		elnn0z 12601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18	17	simplbi2 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
20	16, 19	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
21	20	expcomd 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (0 ≤ 𝐾 → 𝑁 ∈ ℕ0)))
22	21	imp31 417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	9, 22	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
24	23	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
25	5, 24	impbid2 226	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾))
26	25	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾)))
27	26	pm5.32rd 578	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
28	3, 27	bitrid 283	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129   ≤ cle 11270  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525

This theorem is referenced by: (None)