Theorem elfz2z 43053

Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2z	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem elfz2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 12852	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2		df-3an 1082	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
3	1, 2	bitri 276	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
4		nn0ge0 11776	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
6		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	anim1i 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
8		elnn0z 11848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9	7, 8	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10		0red 10497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
11		zre 11839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13		zre 11839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		letr 10587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
17		elnn0z 11848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18	17	simplbi2 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
20	16, 19	syld 47	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
21	20	expcomd 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (0 ≤ 𝐾 → 𝑁 ∈ ℕ0)))
22	21	imp31 418	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	9, 22	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
24	23	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
25	5, 24	impbid2 227	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾))
26	25	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾)))
27	26	pm5.32rd 578	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
28	3, 27	syl5bb 284	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  ℝcr 10389  0cc0 10390   ≤ cle 10529  ℕ₀cn0 11751  ℤcz 11835  ...cfz 12746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747

This theorem is referenced by: (None)