Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elfz2z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz2z 43392
Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz2z ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz2z
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12986 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
2 df-3an 1081 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁))
31, 2bitri 276 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁))
4 nn0ge0 11910 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
6 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
76anim1i 614 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
8 elnn0z 11982 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
97, 8sylibr 235 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10 0red 10632 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
11 zre 11973 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13 zre 11973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 letr 10722 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1610, 12, 14, 15syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
17 elnn0z 11982 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
1817simplbi2 501 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
1918adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
2016, 19syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
2120expcomd 417 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁 → (0 ≤ 𝐾𝑁 ∈ ℕ0)))
2221imp31 418 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
239, 22jca 512 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
2423ex 413 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))
255, 24impbid2 227 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾))
2625ex 413 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾)))
2726pm5.32rd 578 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
283, 27syl5bb 284 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  cle 10664  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator