Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elfz2z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz2z 43053
Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz2z ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz2z
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12852 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
2 df-3an 1082 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁))
31, 2bitri 276 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁))
4 nn0ge0 11776 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
6 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
76anim1i 614 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
8 elnn0z 11848 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
97, 8sylibr 235 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10 0red 10497 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
11 zre 11839 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13 zre 11839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 letr 10587 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1610, 12, 14, 15syl3anc 1364 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
17 elnn0z 11848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
1817simplbi2 501 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
1918adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁𝑁 ∈ ℕ0))
2016, 19syld 47 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
2120expcomd 417 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁 → (0 ≤ 𝐾𝑁 ∈ ℕ0)))
2221imp31 418 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
239, 22jca 512 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
2423ex 413 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)))
255, 24impbid2 227 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾))
2625ex 413 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾)))
2726pm5.32rd 578 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
283, 27syl5bb 284 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wcel 2083   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  cle 10529  0cn0 11751  cz 11835  ...cfz 12746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator