Theorem elfz2z 48521

Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2z	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem elfz2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13759	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2		df-3an 1105	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
3	1, 2	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
4		nn0ge0 12638	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
6		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7	6	anim1i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
8		elnn0z 12713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9	7, 8	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10		0red 11318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
11		zre 12704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
13		zre 12704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		letr 11411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
16	10, 12, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
17		elnn0z 12713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18	17	simplbi2 506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
20	16, 19	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0))
21	20	expcomd 422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 → (0 ≤ 𝐾 → 𝑁 ∈ ℕ0)))
22	21	imp31 423	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	9, 22	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
25	5, 24	impbid2 229	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾))
26	25	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ↔ 0 ≤ 𝐾)))
27	26	pm5.32rd 589	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
28	3, 27	bitrid 286	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207   ≤ cle 11351  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ...cfz 13646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647

This theorem is used by: (None)