MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfzunsn 13544
Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssfzunsn ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Proof of Theorem ssfzunsn
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
2 eluzel2 12824 . . . 4 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
323ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simp2 1138 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 eluzelz 12829 . . . 4 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
653ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
7 ssfzunsnext 13543 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
81, 3, 4, 6, 7syl13anc 1373 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
9 eluz2 12825 . . . . 5 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼))
10 zre 12559 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
1110rexrd 11261 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ*)
12113ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ*)
13 zre 12559 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1413rexrd 11261 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ*)
15143ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝑀𝐼)
17 xrmineq 13156 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝐼) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
1812, 15, 16, 17syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
1918eqcomd 2739 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝑀 = if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀))
209, 19sylbi 216 . . . 4 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 = if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀))
21203ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 = if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀))
2221oveq1d 7421 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) = (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
238, 22sseqtrrd 4023 1 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3946  wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148  cfv 6541  (class class class)co 7406  *cxr 11244  cle 11246  cz 12555  cuz 12819  ...cfz 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-neg 11444  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator