Theorem ssfzunsn 13714

Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzunsn	⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Proof of Theorem ssfzunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
2		eluzel2 12980	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		eluzelz 12985	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
7		ssfzunsnext 13713	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
8	1, 3, 4, 6, 7	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
9		eluz2 12981	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼))
10		zre 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ*)
12	11	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ*)
13		zre 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ*)
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝑀 ≤ 𝐼)
17		xrmineq 13320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
18	12, 15, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
19	18	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝑀 = if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀))
20	9, 19	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 = if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀))
21	20	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 = if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀))
22	21	oveq1d 7442	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) = (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
23	8, 22	sseqtrrd 3949	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899   ∪ cun 4151  ifcif 4484  {csn 4587   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℝ^*cxr 11352   ≤ cle 11354  ℤcz 12703  ℤ_≥cuz 12975  ...cfz 13649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-neg 11554  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650

This theorem is used by: (None)