Theorem ssfzunsn 13592

Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzunsn	⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Proof of Theorem ssfzunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
2		eluzel2 12862	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		eluzelz 12867	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
7		ssfzunsnext 13591	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
8	1, 3, 4, 6, 7	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
9		eluz2 12863	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼))
10		zre 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ*)
12	11	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ*)
13		zre 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ*)
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝑀 ≤ 𝐼)
17		xrmineq 13201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
18	12, 15, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
19	18	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝑀 = if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀))
20	9, 19	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 = if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀))
21	20	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 = if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀))
22	21	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) = (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
23	8, 22	sseqtrrd 4001	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  ifcif 4505  {csn 4606   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11273   ≤ cle 11275  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by: (None)