MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfzunsn 13158
Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssfzunsn ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Proof of Theorem ssfzunsn
StepHypRef Expression
1 simp1 1138 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
2 eluzel2 12443 . . . 4 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
323ad2ant3 1137 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simp2 1139 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 eluzelz 12448 . . . 4 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
653ad2ant3 1137 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
7 ssfzunsnext 13157 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
81, 3, 4, 6, 7syl13anc 1374 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
9 eluz2 12444 . . . . 5 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼))
10 zre 12180 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
1110rexrd 10883 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ*)
12113ad2ant2 1136 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ*)
13 zre 12180 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1413rexrd 10883 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ*)
15143ad2ant1 1135 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16 simp3 1140 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝑀𝐼)
17 xrmineq 12770 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝐼) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
1812, 15, 16, 17syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
1918eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝑀 = if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀))
209, 19sylbi 220 . . . 4 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 = if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀))
21203ad2ant3 1137 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 = if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀))
2221oveq1d 7228 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) = (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
238, 22sseqtrrd 3942 1 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  cun 3864  wss 3866  ifcif 4439  {csn 4541   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  *cxr 10866  cle 10868  cz 12176  cuz 12438  ...cfz 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-neg 11065  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator