Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfzunsn 12968
 Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssfzunsn ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Proof of Theorem ssfzunsn
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
2 eluzel2 12256 . . . 4 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
323ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 simp2 1134 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 eluzelz 12261 . . . 4 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
653ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
7 ssfzunsnext 12967 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
81, 3, 4, 6, 7syl13anc 1369 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
9 eluz2 12257 . . . . 5 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼))
10 zre 11993 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
1110rexrd 10698 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ*)
12113ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ*)
13 zre 11993 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1413rexrd 10698 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ*)
15143ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝑀𝐼)
17 xrmineq 12581 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*𝑀𝐼) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
1812, 15, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
1918eqcomd 2804 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐼) → 𝑀 = if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀))
209, 19sylbi 220 . . . 4 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 = if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀))
21203ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 = if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀))
2221oveq1d 7160 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) = (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
238, 22sseqtrrd 3958 1 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℝ*cxr 10681   ≤ cle 10683  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  ...cfz 12905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-neg 10880  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator