Theorem ssfzunsn 13598

Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzunsn	⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Proof of Theorem ssfzunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
2		eluzel2 12867	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1151	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		eluzelz 12872	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant3 1151	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
7		ssfzunsnext 13597	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
8	1, 3, 4, 6, 7	syl13anc 1397	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
9		eluz2 12868	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼))
10		zre 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ*)
12	11	3ad2ant2 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝐼 ∈ ℝ*)
13		zre 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	rexrd 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ*)
15	14	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝑀 ≤ 𝐼)
17		xrmineq 13206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
18	12, 15, 16, 17	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀) = 𝑀)
19	18	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐼) → 𝑀 = if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀))
20	9, 19	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 = if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀))
21	20	3ad2ant3 1151	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 = if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀))
22	21	oveq1d 7426	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)) = (if(𝐼 ≤ 𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))
23	8, 22	sseqtrrd 3982	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-neg 11444  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536

This theorem is referenced by: (None)