MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzsuc 12946
Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzsuc (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc
StepHypRef Expression
1 peano2uz 12293 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz2 12907 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
4 peano2fzr 12912 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
53, 4mpdan 685 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
6 fzsplit 12925 . . 3 (𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1))))
75, 6syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1))))
8 eluzelz 12245 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9 fzsn 12941 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1)) = {(𝑁 + 1)})
101, 8, 93syl 18 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1)) = {(𝑁 + 1)})
1110uneq2d 4137 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1))) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
127, 11eqtrd 2854 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cun 3932  {csn 4559  cfv 6348  (class class class)co 7148  1c1 10530   + caddc 10532  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885
This theorem is referenced by:  elfzp1  12949  fztp  12955  fzsuc2  12957  fzdifsuc  12959  bpoly3  15404  prmind2  16021  vdwlem6  16314  gsummptfzsplit  19044  telgsumfzslem  19100  imasdsf1olem  22975  voliunlem1  24143  chtub  25780  2sqlem10  25996  dchrisum0flb  26078  pntpbnd1  26154  wlkp1  27455  iuninc  30304  esumfzf  31316  cvmliftlem10  32529  poimirlem2  34876  iunp1  41308  sge0p1  42676
  Copyright terms: Public domain W3C validator