Theorem fzsuc 13520

Description: Join a successor to the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 12846	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzfz2 13481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
4		peano2fzr 13486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
5	3, 4	mpdan 694	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
6		fzsplit 13499	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1))))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1))))
8		eluzelz 12793	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9		fzsn 13515	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1)) = {(𝑁 + 1)})
10	1, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1)) = {(𝑁 + 1)})
11	10	uneq2d 4101	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 1))) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
12	7, 11	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∪ cun 3883  {csn 4558  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  1c1 11034   + caddc 11036  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  elfzp1  13523  fztp  13529  fzsuc2  13531  fzdifsuc  13533  bpoly3  16018  prmind2  16649  vdwlem6  16952  gsummptfzsplit  19902  telgsumfzslem  19958  imasdsf1olem  24360  voliunlem1  25539  chtub  27197  2sqlem10  27413  dchrisum0flb  27495  pntpbnd1  27571  wlkp1  29770  iuninc  32653  esumfzf  34265  cvmliftlem10  35537  poimirlem2  38004  iunp1  45529  sge0p1  46871