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Theorem ssfzunsnext 12945
Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 13-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssfzunsnext ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Proof of Theorem ssfzunsnext
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
2 simp3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 simp1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
42, 3ifcld 4514 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ)
54adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ)
6 elfzelz 12901 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
76adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
84zred 12079 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℝ)
10 zre 11977 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11103ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
136zred 12079 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
15 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
1610, 15anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
1716ancomd 462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
18173adant2 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
1918adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
20 min2 12576 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑀)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑀)
22 elfzle1 12903 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑘)
2322adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑘)
249, 12, 14, 21, 23letrd 10789 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑘)
25 eluz2 12241 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)) ↔ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑘))
265, 7, 24, 25syl3anbrc 1337 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)))
27 simp2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2827, 2ifcld 4514 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
30 zre 11977 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
31303ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3328zred 12079 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℝ)
35 elfzle2 12904 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑁)
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘𝑁)
3730, 15anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
38373adant1 1124 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
3938ancomd 462 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
40 max2 12573 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
4241adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
4314, 32, 34, 36, 42letrd 10789 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
44 eluz2 12241 . . . . . . . 8 (if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ𝑘) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
457, 29, 43, 44syl3anbrc 1337 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ𝑘))
46 elfzuzb 12895 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ‘if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)) ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ𝑘)))
4726, 45, 46sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4847ex 413 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
4948ssrdv 3976 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
5049adantl 482 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑀...𝑁) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
511, 50sstrd 3980 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝑆 ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
524adantl 482 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ)
5328adantl 482 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
542adantl 482 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
5552, 53, 543jca 1122 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ))
56163adant2 1125 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
5756adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
5857ancomd 462 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
59 min1 12575 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼)
6058, 59syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼)
6138adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
6261ancomd 462 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
63 max1 12571 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
6560, 64jca 512 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
66 elfz2 12892 . . . 4 (𝐼 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ↔ ((if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
6755, 65, 66sylanbrc 583 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
6867snssd 4740 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → {𝐼} ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
6951, 68unssd 4165 1 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081  wcel 2107  cun 3937  wss 3939  ifcif 4469  {csn 4563   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  cle 10668  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-neg 10865  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  ssfzunsn  12946  setsstruct2  16513
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