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Theorem ssfzunsnext 13055
Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 13-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssfzunsnext ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Proof of Theorem ssfzunsnext
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
2 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
42, 3ifcld 4470 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ)
54adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ)
6 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
76, 2ifcld 4470 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
87adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
9 elfzelz 13010 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
109adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
114zred 12180 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℝ)
1211adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℝ)
13 zre 12078 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
14133ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1514adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
169zred 12180 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
1716adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
18 zre 12078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
1913, 18anim12i 616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
2019ancomd 465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
21203adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
2221adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
23 min2 12678 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑀)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑀)
25 elfzle1 13013 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑘)
2625adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑘)
2712, 15, 17, 24, 26letrd 10887 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝑘)
28 zre 12078 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29283ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
3029adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
317zred 12180 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℝ)
3231adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℝ)
33 elfzle2 13014 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑁)
3433adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘𝑁)
3528, 18anim12i 616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
36353adant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
3736ancomd 465 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
38 max2 12675 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
4039adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
4117, 30, 32, 34, 40letrd 10887 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
425, 8, 10, 27, 41elfzd 13001 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4342ex 416 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
4443ssrdv 3893 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4544adantl 485 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑀...𝑁) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
461, 45sstrd 3897 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝑆 ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
474adantl 485 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ∈ ℤ)
487adantl 485 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
492adantl 485 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
50193adant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
5150adantl 485 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
5251ancomd 465 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
53 min1 12677 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼)
5452, 53syl 17 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀) ≤ 𝐼)
5536adantl 485 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
5655ancomd 465 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
57 max1 12673 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
5856, 57syl 17 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
5947, 48, 49, 54, 58elfzd 13001 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
6059snssd 4707 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → {𝐼} ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
6146, 60unssd 4086 1 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (if(𝐼𝑀, 𝐼, 𝑀)...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088  wcel 2114  cun 3851  wss 3853  ifcif 4424  {csn 4526   class class class wbr 5040  (class class class)co 7182  cr 10626  cle 10766  cz 12074  ...cfz 12993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-neg 10963  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994
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