Theorem subrg1cl 20552

Description: A subring contains the multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrg1cl.a	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrg1cl	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrg1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		subrg1cl.a	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20543	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 498	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐴))
5	4	simprd 496	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  SubRingcsubrg 20541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-ov 7359  df-subrg 20542

This theorem is referenced by:  subrg1  20554  subrgsubm  20557  issubrg2  20564  subrgint  20567  subsubrg  20570  primefld1cl  20779  zsssubrg  21400  issubassa2  21867  subrgpsr  21952  mplassa  21996  mplbas2  22018  evlsmaprhm  22107  ply1assa  22184  asclply1subcl  22360  evls1maprhm  22362  isclmp  25082  taylply2  26351  subrgchr  33318  0ringsubrg  33332  fldgensdrg  33398  primefldgen1  33405  ressply1evls1  33648  mplmonprod  33738  drgextlsp  33778  fldgenfldext  33852  evls1fldgencl  33854  fldextrspundgdvdslem  33864  fldextrspundgdvds  33865  ply1annnr  33887  algextdeglem4  33904  rtelextdg2lem  33910  cnsrexpcl  43610  rngunsnply  43614