Theorem subrg1cl 20525

Description: A subring contains the multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrg1cl.a	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrg1cl	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrg1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		subrg1cl.a	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20516	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐴))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  SubRingcsubrg 20514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-subrg 20515

This theorem is referenced by:  subrg1  20527  subrgsubm  20530  issubrg2  20537  subrgint  20540  subsubrg  20543  primefld1cl  20752  zsssubrg  21392  issubassa2  21860  subrgpsr  21945  mplassa  21989  mplbas2  22009  ply1assa  22152  asclply1subcl  22330  evls1maprhm  22332  isclmp  25065  taylply2  26343  taylply2OLD  26344  subrgchr  33331  0ringsubrg  33345  fldgensdrg  33408  primefldgen1  33415  ressply1evls1  33658  mplmonprod  33731  drgextlsp  33771  fldgenfldext  33846  evls1fldgencl  33848  fldextrspundgdvdslem  33858  fldextrspundgdvds  33859  ply1annnr  33881  algextdeglem4  33898  rtelextdg2lem  33904  evlsmaprhm  42931  cnsrexpcl  43522  rngunsnply  43526