MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrg1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrg1cl 19947
Description: A subring contains the multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrg1cl.a 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrg1cl (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1𝐴)

Proof of Theorem subrg1cl
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 subrg1cl.a . . . 4 1 = (1r𝑅)
31, 2issubrg 19939 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1𝐴)))
43simprbi 496 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1𝐴))
54simprd 495 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108  wss 3883  cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  s cress 16867  1rcur 19652  Ringcrg 19698  SubRingcsubrg 19935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-subrg 19937
This theorem is referenced by:  subrg1  19949  subrgsubm  19952  issubrg2  19959  subrgint  19961  subsubrg  19965  primefld1cl  19990  zsssubrg  20568  issubassa2  21006  subrgpsr  21098  mplassa  21137  mplbas2  21153  ply1assa  21280  isclmp  24166  taylply2  25432  subrgchr  31393  drgextlsp  31583  evlsbagval  40198  cnsrexpcl  40906  rngunsnply  40914
  Copyright terms: Public domain W3C validator