Theorem subrg1cl 20748

Description: A subring contains the multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrg1cl.a	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrg1cl	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrg1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		subrg1cl.a	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20739	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐴))
5	4	simprd 501	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  SubRingcsubrg 20737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-subrg 20738

This theorem is used by:  subrg1  20750  subrgsubm  20753  issubrg2  20760  subrgint  20763  subsubrg  20766  primefld1cl  20979  zsssubrg  21644  issubassa2  22113  subrgpsr  22198  mplassa  22242  mplbas2  22264  evlsmaprhm  22353  ply1assa  22430  asclply1subcl  22605  evls1maprhm  22607  isclmp  25331  taylply2  26611  subrgchr  33684  0ringsubrg  33699  fldgensdrg  33763  primefldgen1  33770  ressply1evls1  33983  mplmonprod  34072  drgextlsp  34112  fldgenfldext  34186  evls1fldgencl  34188  fldextrspundgdvdslem  34198  fldextrspundgdvds  34199  ply1annnr  34221  algextdeglem4  34238  rtelextdg2lem  34244  cnsrexpcl  44014  rngunsnply  44018