Theorem subrg1cl 20557

Description: A subring contains the multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrg1cl.a	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrg1cl	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrg1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		subrg1cl.a	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20548	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐴))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  SubRingcsubrg 20546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-subrg 20547

This theorem is referenced by:  subrg1  20559  subrgsubm  20562  issubrg2  20569  subrgint  20572  subsubrg  20575  primefld1cl  20784  zsssubrg  21405  issubassa2  21872  subrgpsr  21956  mplassa  22000  mplbas2  22020  ply1assa  22163  asclply1subcl  22339  evls1maprhm  22341  isclmp  25064  taylply2  26333  subrgchr  33298  0ringsubrg  33312  fldgensdrg  33375  primefldgen1  33382  ressply1evls1  33625  mplmonprod  33698  drgextlsp  33738  fldgenfldext  33812  evls1fldgencl  33814  fldextrspundgdvdslem  33824  fldextrspundgdvds  33825  ply1annnr  33847  algextdeglem4  33864  rtelextdg2lem  33870  evlsmaprhm  43006  cnsrexpcl  43593  rngunsnply  43597