Theorem subrg1cl 20679

Description: A subring contains the multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrg1cl.a	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrg1cl	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrg1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		subrg1cl.a	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20670	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 1 ∈ 𝐴))
5	4	simprd 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  SubRingcsubrg 20668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-subrg 20669

This theorem is referenced by:  subrg1  20681  subrgsubm  20684  issubrg2  20691  subrgint  20694  subsubrg  20697  primefld1cl  20910  zsssubrg  21575  issubassa2  22042  subrgpsr  22127  mplassa  22171  mplbas2  22193  evlsmaprhm  22282  ply1assa  22359  asclply1subcl  22534  evls1maprhm  22536  isclmp  25256  taylply2  26531  subrgchr  33556  0ringsubrg  33571  fldgensdrg  33635  primefldgen1  33642  ressply1evls1  33855  mplmonprod  33944  drgextlsp  33984  fldgenfldext  34058  evls1fldgencl  34060  fldextrspundgdvdslem  34070  fldextrspundgdvds  34071  ply1annnr  34093  algextdeglem4  34110  rtelextdg2lem  34116  cnsrexpcl  43912  rngunsnply  43916