Theorem subrg0 20547

Description: A subring always has the same additive identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrg0.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrg0.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrg0	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))

Proof of Theorem subrg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 20545	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2		subrg0.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
3		subrg0.2	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	subg0 19099	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↾_s cress 17191  0_gc0g 17393  SubGrpcsubg 19087  SubRingcsubrg 20537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-subg 19090  df-ring 20207  df-subrg 20538

This theorem is referenced by:  subrgnzr  20562  issubdrg  20748  sdrgunit  20764  imadrhmcl  20765  subdrgint  20771  qsssubdrg  21416  ressmplbas2  22015  subrgmvr  22021  subrgascl  22054  evlsvvvallem2  22080  evlsvvval  22081  evls1fpws  22344  clm0  25049  cphreccllem  25155  sdrgdvcl  33375  sdrginvcl  33376  ressdeg1  33641  ressply10g  33642  fedgmullem1  33789  fedgmullem2  33790  evlsbagval  43016  evlsmhpvvval  43042