Theorem zsssubrg 21204

Description: The integers are a subset of any subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zsssubrg	⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ⊆ 𝑅)

Proof of Theorem zsssubrg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
2		ax-1cn 11172	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		cnfldmulg 21178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
4	1, 2, 3	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
5		zcn 12568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	6	mulridd 11236	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
8	4, 7	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = 𝑥)
9		subrgsubg 20468	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
11		cnfld1 21171	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
12	11	subrg1cl 20471	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝑅)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ 𝑅)
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
15	14	subgmulgcl 19056	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ 𝑅) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) ∈ 𝑅)
16	10, 1, 13, 15	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) ∈ 𝑅)
17	8, 16	eqeltrrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ 𝑅)
18	17	ex 412	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ 𝑅))
19	18	ssrdv 3988	1 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ⊆ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  1c1 11115   · cmul 11119  ℤcz 12563  ._gcmg 18987  SubGrpcsubg 19037  SubRingcsubrg 20458  ℂ_fldccnfld 21145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrg 20460  df-cnfld 21146

This theorem is referenced by:  qsssubdrg  21205  clmzss  24826  dvply2g  26035