Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsssubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsssubrg 20224
 Description: The integers are a subset of any subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
zsssubrg (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ⊆ 𝑅)

Proof of Theorem zsssubrg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
2 ax-1cn 10633 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 cnfldmulg 20198 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
41, 2, 3sylancl 589 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
5 zcn 12025 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
65adantl 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
76mulid1d 10696 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
84, 7eqtrd 2793 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = 𝑥)
9 subrgsubg 19609 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
109adantr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
11 cnfld1 20191 . . . . . . 7 1 = (1r‘ℂfld)
1211subrg1cl 19611 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝑅)
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ 𝑅)
14 eqid 2758 . . . . . 6 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
1514subgmulgcl 18359 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ 𝑅) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) ∈ 𝑅)
1610, 1, 13, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) ∈ 𝑅)
178, 16eqeltrrd 2853 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥𝑅)
1817ex 416 . 2 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑅))
1918ssrdv 3898 1 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ⊆ 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3858  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  1c1 10576   · cmul 10580  ℤcz 12020  .gcmg 18291  SubGrpcsubg 18340  SubRingcsubrg 19599  ℂfldccnfld 20166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-seq 13419  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-cmn 18975  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-subrg 19601  df-cnfld 20167 This theorem is referenced by:  qsssubdrg  20225  clmzss  23779  dvply2g  24980
 Copyright terms: Public domain W3C validator