Theorem subrgbas 20657

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgbas.b	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem subrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 20653	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2		subrgbas.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
3	2	subgbas 19187	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  SubGrpcsubg 19177  SubRingcsubrg 20645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-1cn 11146  ax-addcl 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-nn 12225  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-subg 19180  df-ring 20308  df-subrg 20646

This theorem is referenced by:  subrg1  20658  subrgdvds  20662  subrguss  20663  subrginv  20664  subrgdv  20665  subrgunit  20666  subsubrg  20674  issubdrg  20852  abvres  20903  qsssubdrg  21536  gzrngunitlem  21542  gzrngunit  21543  issubassa3  21976  sraassab  21978  resspsrbas  22083  resspsradd  22084  resspsrmul  22085  resspsrvsca  22086  subrgpsr  22087  subrgascl  22177  subrgasclcl  22178  evlsvvval  22204  evlsscaval  22237  evlsevl  22243  dmatcrng  22620  scmatcrng  22639  scmatstrbas  22644  sranlm  24802  isclmi  25197  plypf1  26330  sdrgdvcl  33535  sdrginvcl  33536  idlinsubrg  33655  evlsbagval  43180  evlsmhpvvval  43189  mhphf  43191