Theorem subrgbas 20328

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgbas.b	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem subrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 20325	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2		subrgbas.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
3	2	subgbas 19010	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173  SubGrpcsubg 19000  SubRingcsubrg 20315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-subg 19003  df-ring 20058  df-subrg 20317

This theorem is referenced by:  subrg1  20329  subrgmcl  20331  subrgdvds  20333  subrguss  20334  subrginv  20335  subrgdv  20336  subrgunit  20337  subsubrg  20345  issubdrg  20401  abvres  20447  qsssubdrg  21004  gzrngunitlem  21010  gzrngunit  21011  issubassa3  21420  sraassab  21422  sraassaOLD  21424  resspsrbas  21535  resspsradd  21536  resspsrmul  21537  resspsrvsca  21538  subrgpsr  21539  subrgascl  21627  subrgasclcl  21628  dmatcrng  22004  scmatcrng  22023  scmatstrbas  22028  sranlm  24201  isclmi  24593  plypf1  25726  sdrgdvcl  32397  sdrginvcl  32398  idlinsubrg  32549  evlsvvval  41135  evlsscaval  41136  evlsbagval  41138  evlsevl  41143  evlsmhpvvval  41167  mhphf  41169