MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgbas 19480
Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgbas.b 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subrgbas (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem subrgbas
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 19477 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2 subrgbas.b . . 3 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
32subgbas 18228 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
41, 3syl 17 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  s cress 16479  SubGrpcsubg 18218  SubRingcsubrg 19467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-1cn 10589  ax-addcl 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-nn 11633  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-subg 18221  df-ring 19235  df-subrg 19469
This theorem is referenced by:  subrg1  19481  subrgmcl  19483  subrgdvds  19485  subrguss  19486  subrginv  19487  subrgdv  19488  subrgunit  19489  issubdrg  19496  subsubrg  19497  abvres  19546  issubassa3  20032  sraassa  20034  resspsrbas  20130  resspsradd  20131  resspsrmul  20132  resspsrvsca  20133  subrgpsr  20134  subrgascl  20213  subrgasclcl  20214  qsssubdrg  20539  gzrngunitlem  20545  gzrngunit  20546  dmatcrng  21046  scmatcrng  21065  scmatstrbas  21070  sranlm  23227  isclmi  23615  plypf1  24736
  Copyright terms: Public domain W3C validator