Theorem subrgbas 19948

Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgbas.b	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgbas	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem subrgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 19945	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2		subrgbas.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
3	2	subgbas 18674	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  SubGrpcsubg 18664  SubRingcsubrg 19935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-subg 18667  df-ring 19700  df-subrg 19937

This theorem is referenced by:  subrg1  19949  subrgmcl  19951  subrgdvds  19953  subrguss  19954  subrginv  19955  subrgdv  19956  subrgunit  19957  issubdrg  19964  subsubrg  19965  abvres  20014  qsssubdrg  20569  gzrngunitlem  20575  gzrngunit  20576  issubassa3  20982  sraassa  20984  resspsrbas  21094  resspsradd  21095  resspsrmul  21096  resspsrvsca  21097  subrgpsr  21098  subrgascl  21184  subrgasclcl  21185  dmatcrng  21559  scmatcrng  21578  scmatstrbas  21583  sranlm  23754  isclmi  24146  plypf1  25278  idlinsubrg  31510  evlsscaval  40196  evlsbagval  40198  mhphf  40208