MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgbas 19107
Description: Base set of a subring structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgbas.b 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subrgbas (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem subrgbas
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 19104 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2 subrgbas.b . . 3 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
32subgbas 17911 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
41, 3syl 17 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  s cress 16185  SubGrpcsubg 17901  SubRingcsubrg 19094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-1cn 10282  ax-addcl 10284
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-nn 11313  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-subg 17904  df-ring 18865  df-subrg 19096
This theorem is referenced by:  subrg1  19108  subrgmcl  19110  subrgdvds  19112  subrguss  19113  subrginv  19114  subrgdv  19115  subrgunit  19116  issubdrg  19123  subsubrg  19124  abvres  19157  sraassa  19648  resspsrbas  19738  resspsradd  19739  resspsrmul  19740  resspsrvsca  19741  subrgpsr  19742  subrgascl  19820  subrgasclcl  19821  qsssubdrg  20127  gzrngunitlem  20133  gzrngunit  20134  dmatcrng  20634  scmatcrng  20653  scmatstrbas  20658  sranlm  22816  isclmi  23204  plypf1  24309
  Copyright terms: Public domain W3C validator