Theorem 0ringsubrg 33312

Description: A subring of a zero ring is a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringsubrg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringsubrg.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringsubrg.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
0ringsubrg.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
0ringsubrg	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 1)

Proof of Theorem 0ringsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringsubrg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		0ringsubrg.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20549	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		0ringsubrg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		0ringsubrg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
7		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	2, 7	0ring 20503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
9	5, 6, 8	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
10	4, 9	sseqtrd 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ {(0g‘𝑅)})
11		sssn 4770	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝑆 = ∅ ∨ 𝑆 = {(0g‘𝑅)}))
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ∅ ∨ 𝑆 = {(0g‘𝑅)}))
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	13	subrg1cl 20557	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
16		n0i 4281	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 → ¬ 𝑆 = ∅)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = ∅)
18	12, 17	orcnd 879	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {(0g‘𝑅)})
19	18	fveq2d 6845	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘{(0g‘𝑅)}))
20		fvex 6854	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
21		hashsng 14331	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
23	19, 22	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ‘cfv 6499  1c1 11039  ♯chash 14292  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  SubRingcsubrg 20546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-ring 20216  df-subrg 20547

This theorem is referenced by:  0ringirng  33833