Theorem 0ringsubrg 33202

Description: A subring of a zero ring is a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringsubrg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringsubrg.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringsubrg.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
0ringsubrg.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
0ringsubrg	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 1)

Proof of Theorem 0ringsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringsubrg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		0ringsubrg.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		0ringsubrg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		0ringsubrg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
7		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	2, 7	0ring 20435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
10	4, 9	sseqtrd 3983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ {(0g‘𝑅)})
11		sssn 4790	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝑆 = ∅ ∨ 𝑆 = {(0g‘𝑅)}))
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ∅ ∨ 𝑆 = {(0g‘𝑅)}))
13		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	13	subrg1cl 20489	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
16		n0i 4303	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 → ¬ 𝑆 = ∅)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = ∅)
18	12, 17	orcnd 878	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {(0g‘𝑅)})
19	18	fveq2d 6862	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘{(0g‘𝑅)}))
20		fvex 6871	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
21		hashsng 14334	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
23	19, 22	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589  ‘cfv 6511  1c1 11069  ♯chash 14295  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  SubRingcsubrg 20478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-ring 20144  df-subrg 20479

This theorem is referenced by:  0ringirng  33684