Theorem 0ringsubrg 33225

Description: A subring of a zero ring is a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringsubrg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringsubrg.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringsubrg.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
0ringsubrg.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
0ringsubrg	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 1)

Proof of Theorem 0ringsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringsubrg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		0ringsubrg.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		0ringsubrg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		0ringsubrg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
7		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	2, 7	0ring 20447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
10	4, 9	sseqtrd 3966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ {(0g‘𝑅)})
11		sssn 4777	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝑆 = ∅ ∨ 𝑆 = {(0g‘𝑅)}))
12	10, 11	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ∅ ∨ 𝑆 = {(0g‘𝑅)}))
13		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	13	subrg1cl 20501	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
16		n0i 4289	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 → ¬ 𝑆 = ∅)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = ∅)
18	12, 17	orcnd 878	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {(0g‘𝑅)})
19	18	fveq2d 6832	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘{(0g‘𝑅)}))
20		fvex 6841	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
21		hashsng 14282	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
23	19, 22	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∅c0 4282  {csn 4575  ‘cfv 6487  1c1 11013  ♯chash 14243  Basecbs 17126  0_gc0g 17349  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  SubRingcsubrg 20490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-hash 14244  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-ring 20159  df-subrg 20491

This theorem is referenced by:  0ringirng  33709