Theorem 0ringsubrg 33537

Description: A subring of a zero ring is a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringsubrg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringsubrg.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringsubrg.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
0ringsubrg.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
0ringsubrg	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 1)

Proof of Theorem 0ringsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringsubrg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		0ringsubrg.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		0ringsubrg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		0ringsubrg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
7		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	2, 7	0ring 20609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
9	5, 6, 8	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
10	4, 9	sseqtrd 3972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ {(0g‘𝑅)})
11		sssn 4791	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝑆 = ∅ ∨ 𝑆 = {(0g‘𝑅)}))
12	10, 11	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ∅ ∨ 𝑆 = {(0g‘𝑅)}))
13		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	13	subrg1cl 20664	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
15	1, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
16		n0i 4292	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 → ¬ 𝑆 = ∅)
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = ∅)
18	12, 17	orcnd 891	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {(0g‘𝑅)})
19	18	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘{(0g‘𝑅)}))
20		fvex 6894	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
21		hashsng 14404	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
23	19, 22	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588  ‘cfv 6536  1c1 11100  ♯chash 14365  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  SubRingcsubrg 20653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-ring 20316  df-subrg 20654

This theorem is referenced by:  0ringirng  34045