Theorem 0ringsubrg 32847

Description: A subring of a zero ring is a zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ringsubrg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ringsubrg.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
0ringsubrg.3	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
0ringsubrg.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
0ringsubrg	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 1)

Proof of Theorem 0ringsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ringsubrg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		0ringsubrg.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		0ringsubrg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		0ringsubrg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
7		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	2, 7	0ring 20416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
9	5, 6, 8	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {(0g‘𝑅)})
10	4, 9	sseqtrd 4014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ {(0g‘𝑅)})
11		sssn 4821	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝑆 = ∅ ∨ 𝑆 = {(0g‘𝑅)}))
12	10, 11	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ∅ ∨ 𝑆 = {(0g‘𝑅)}))
13		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	13	subrg1cl 20472	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
15	1, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
16		n0i 4325	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 → ¬ 𝑆 = ∅)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = ∅)
18	12, 17	orcnd 875	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {(0g‘𝑅)})
19	18	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘{(0g‘𝑅)}))
20		fvex 6894	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
21		hashsng 14326	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ V → (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1)
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{(0g‘𝑅)}) = 1
23	19, 22	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  {csn 4620  ‘cfv 6533  1c1 11107  ♯chash 14287  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  SubRingcsubrg 20459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-ring 20130  df-subrg 20461

This theorem is referenced by:  0ringirng  33233