MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isclmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isclmp 24975
Description: The predicate "is a subcomplex module". (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isclmp.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
isclmp.a + = (+gβ€˜π‘Š)
isclmp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
isclmp.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
isclmp.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
isclmp (π‘Š ∈ β„‚Mod ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑉,𝑦,𝑧   π‘₯,π‘Š,𝑦,𝑧   π‘₯, + ,𝑦,𝑧   π‘₯, Β· ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isclmp
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isclmp.s . . 3 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 isclmp.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
31, 2isclm 24942 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Mod ↔ (π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
4 isclmp.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 isclmp.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
6 isclmp.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
8 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
9 eqid 2726 . . . . 5 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
104, 5, 6, 1, 2, 7, 8, 9islmod 20708 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))))
11103anbi1i 1154 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
12 3anass 1092 . . . 4 (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))))
13 df-3an 1086 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))))
1413anbi1i 623 . . . 4 (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ↔ (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))))
1512, 14bitri 275 . . 3 (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ↔ (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))))
16 an32 643 . . 3 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ↔ (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))))
1711, 15, 163bitri 297 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ↔ (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))))
18 an32 643 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
19 3anass 1092 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))))
2019bicomi 223 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
2120anbi1i 623 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Grp ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
2218, 21bitri 275 . . . 4 (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
2322anbi1i 623 . . 3 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ↔ (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))))
24 anass 468 . . 3 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯)))))
25 df-3an 1086 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ↔ (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))))
26 ancom 460 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯) ↔ (((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
2725, 26anbi12i 626 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯)) ↔ ((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
28 an4 653 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ ((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯) ∧ (((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
29 an32 643 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯) ↔ (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))))
30 ancom 460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯) ↔ (((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉))
3130anbi1i 623 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ↔ ((((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))))
3229, 31bitri 275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯) ↔ ((((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))))
3332anbi1i 623 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯) ∧ (((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
3427, 28, 333bitri 297 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯)) ↔ (((((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
35 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) β†’ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
36 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
37 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1rβ€˜β„‚fld) = (1rβ€˜β„‚fld)
3836, 37subrg1 20482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (1rβ€˜β„‚fld) = (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
3938eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (1rβ€˜β„‚fld))
4035, 39sylan9eq 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜β„‚fld))
41 cnfld1 21278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
4240, 41eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (1rβ€˜π‘†) = 1)
4342oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = (1 Β· π‘₯))
4443eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ↔ (1 Β· π‘₯) = π‘₯))
45443adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ↔ (1 Β· π‘₯) = π‘₯))
4645ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ (((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ↔ (1 Β· π‘₯) = π‘₯))
4746anbi1d 629 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ ((((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ↔ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)))
4847anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ (((((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ↔ (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))))
49 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (+gβ€˜β„‚fld) = (+gβ€˜β„‚fld)
5036, 49ressplusg 17242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (+gβ€˜β„‚fld) = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (+gβ€˜β„‚fld) = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
52 cnfldadd 21242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 + = (+gβ€˜β„‚fld)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ + = (+gβ€˜β„‚fld))
54 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5651, 53, 553eqtr4rd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (+gβ€˜π‘†) = + )
57563adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (+gβ€˜π‘†) = + )
5857oveqd 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) = (π‘Ÿ + 𝑦))
5958ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) = (π‘Ÿ + 𝑦))
6059oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯))
6160eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ↔ ((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))))
62 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.rβ€˜β„‚fld) = (.rβ€˜β„‚fld)
6336, 62ressmulr 17259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (.rβ€˜β„‚fld) = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
64633ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (.rβ€˜β„‚fld) = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
65 cnfldmul 21244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ Β· = (.rβ€˜β„‚fld))
67 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
68673ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
6964, 66, 683eqtr4rd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (.rβ€˜π‘†) = Β· )
7069oveqd 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) = (π‘Ÿ Β· 𝑦))
7170ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) = (π‘Ÿ Β· 𝑦))
7271oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯))
7372eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ↔ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
7461, 73anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ ((((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))) ↔ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
7548, 74anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ ((((((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
7634, 75bitrid 283 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)) β†’ ((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯)) ↔ ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
77762ralbidva 3210 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
78772ralbidva 3210 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
79 ralrot3 3284 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
8079ralbii 3087 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
81 ralcom 3280 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
8280, 81bitri 275 . . . . . . 7 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
83 ralcom 3280 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
8483ralbii 3087 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
85 ralcom 3280 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
86852ralbii 3122 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
8782, 84, 863bitri 297 . . . . . 6 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
8878, 87bitrdi 287 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
8936subrgring 20474 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring)
90893ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring)
91 eleq1 2815 . . . . . . . 8 (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) β†’ (𝑆 ∈ Ring ↔ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring))
92913ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (𝑆 ∈ Ring ↔ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring))
9390, 92mpbird 257 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
9493biantrurd 532 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯)) ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯)))))
954grpbn0 18894 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Grp β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
96953ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
9737subrg1cl 20480 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (1rβ€˜β„‚fld) ∈ 𝐾)
9897ne0d 4330 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 β‰  βˆ…)
99983ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ 𝐾 β‰  βˆ…)
100 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ↔ ((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)))
101100anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
103102ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
104 r19.28zv 4495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
106103, 105bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
107 anass 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ ((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
108 anass 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
109108anbi2i 622 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ↔ ((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
110 ancom 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))) ↔ (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))))
111107, 109, 1103bitri 297 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉)) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))))
112106, 111bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))))
113112ralbidv 3171 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))))
114 r19.28zv 4495 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ↔ (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))))
115114adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ↔ (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))))
116113, 115bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))))
117 anass 468 . . . . . . . . . . 11 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ↔ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))))
118 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = π‘Ÿ β†’ (𝑧 + 𝑦) = (π‘Ÿ + 𝑦))
119118oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = π‘Ÿ β†’ ((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯))
120 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = π‘Ÿ β†’ (𝑧 Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· π‘₯))
121120oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = π‘Ÿ β†’ ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)))
122119, 121eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = π‘Ÿ β†’ (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ↔ ((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))))
123 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = π‘Ÿ β†’ (𝑧 Β· 𝑦) = (π‘Ÿ Β· 𝑦))
124123oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = π‘Ÿ β†’ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯))
125 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = π‘Ÿ β†’ (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))
126124, 125eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = π‘Ÿ β†’ (((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ↔ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
127122, 126anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘Ÿ β†’ ((((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))) ↔ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
128127cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))
1291283anbi3i 1156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
130 3anan32 1094 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))))
131129, 130bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))))
132131bicomi 223 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ↔ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))
133132anbi2i 622 . . . . . . . . . . 11 (((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)))) ↔ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
134117, 133bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ↔ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))))
135116, 134bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
136135ralbidv 3171 . . . . . . . 8 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
137 r19.28zv 4495 . . . . . . . . 9 (𝐾 β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ↔ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
138137adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯))))) ↔ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
139136, 138bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝑉 β‰  βˆ… ∧ 𝐾 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
14096, 99, 139syl2anc 583 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
141140ralbidv 3171 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 ((((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧))) ∧ (((π‘Ÿ + 𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((π‘Ÿ Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
14288, 94, 1413bitr3d 309 . . . 4 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) β†’ ((𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
143142pm5.32i 574 . . 3 (((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ (𝑆 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯)))) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
14423, 24, 1433bitri 297 . 2 ((((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))) ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ ((π‘Ÿ(+gβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = ((π‘Ÿ Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯))) ∧ (((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘†)𝑦) Β· π‘₯) = (π‘Ÿ Β· (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((1rβ€˜π‘†) Β· π‘₯) = π‘₯))) ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
1453, 17, 1443bitri 297 1 (π‘Š ∈ β„‚Mod ↔ ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑆 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((1 Β· π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐾 ((𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (𝑦 Β· (π‘₯ + 𝑧)) = ((𝑦 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· 𝑧)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) Β· π‘₯) = ((𝑧 Β· π‘₯) + (𝑦 Β· π‘₯)) ∧ ((𝑧 Β· 𝑦) Β· π‘₯) = (𝑧 Β· (𝑦 Β· π‘₯)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  Grpcgrp 18861  1rcur 20084  Ringcrg 20136  SubRingcsubrg 20467  LModclmod 20704  β„‚fldccnfld 21236  β„‚Modcclm 24940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-cnfld 21237  df-clm 24941
This theorem is referenced by:  isclmi0  24976  iscvsp  25006
  Copyright terms: Public domain W3C validator