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Theorem isclmp 24366

Description: The predicate "is a subcomplex module". (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isclmp.t	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
isclmp.a	⊢ + = (+_g‘𝑊)
isclmp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
isclmp.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
isclmp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

**Assertion**
Ref	Expression
isclmp	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐾,𝑦,𝑧 𝑥,𝑆,𝑦,𝑧 𝑥,𝑉,𝑦,𝑧 𝑥,𝑊,𝑦,𝑧 𝑥, + ,𝑦,𝑧 𝑥, · ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isclmp Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclmp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
2		isclmp.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	isclm 24333	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
4		isclmp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		isclmp.a	. . . . 5 ⊢ + = (+_g‘𝑊)
6		isclmp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+_g‘𝑆) = (+_g‘𝑆)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (._r‘𝑆) = (._r‘𝑆)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1_r‘𝑆) = (1_r‘𝑆)
10	4, 5, 6, 1, 2, 7, 8, 9	islmod 20233	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
11	10	3anbi1i 1156	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
12		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
13		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
14	13	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
15	12, 14	bitri 274	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
16		an32 643	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
17	11, 15, 16	3bitri 296	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
18		an32 643	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
19		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
20	19	bicomi 223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
21	20	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
22	18, 21	bitri 274	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
23	22	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
24		anass 469	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))))
25		df-3an 1088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
26		ancom 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
27	25, 26	anbi12i 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
28		an4 653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
29		an32 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
30		ancom 461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉))
31	30	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
32	29, 31	bitri 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
33	32	anbi1i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
34	27, 28, 33	3bitri 296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
35		fveq2 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (1_r‘𝑆) = (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
36		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) = (ℂ_fld ↾_s 𝐾)
37		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1_r‘ℂ_fld) = (1_r‘ℂ_fld)
38	36, 37	subrg1 20139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘ℂ_fld) = (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
39	38	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)) = (1_r‘ℂ_fld))
40	35, 39	sylan9eq 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (1_r‘𝑆) = (1_r‘ℂ_fld))
41		cnfld1 20729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (1_r‘ℂ_fld)
42	40, 41	eqtr4di 2794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (1_r‘𝑆) = 1)
43	42	oveq1d 7352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
44	43	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
45	44	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
46	45	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
47	46	anbi1d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)))
48	47	anbi1d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
49		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘ℂ_fld)
50	36, 49	ressplusg 17097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
52		cnfldadd 20708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ + = (+_g‘ℂ_fld)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → + = (+_g‘ℂ_fld))
54		fveq2 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (+_g‘𝑆) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
56	51, 53, 55	3eqtr4rd 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = + )
57	56	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = + )
58	57	oveqd 7354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
59	58	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
60	59	oveq1d 7352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥))
61	60	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
62		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (._r‘ℂ_fld) = (._r‘ℂ_fld)
63	36, 62	ressmulr 17114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (._r‘ℂ_fld) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
64	63	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘ℂ_fld) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
65		cnfldmul 20709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = (._r‘ℂ_fld)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → · = (._r‘ℂ_fld))
67		fveq2 6825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (._r‘𝑆) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
68	67	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘𝑆) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
69	64, 66, 68	3eqtr4rd 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘𝑆) = · )
70	69	oveqd 7354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑟(._r‘𝑆)𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
71	70	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (𝑟(._r‘𝑆)𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
72	71	oveq1d 7352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥))
73	72	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
74	61, 73	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
75	48, 74	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
76	34, 75	bitrid 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
77	76	2ralbidva 3206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
78	77	2ralbidva 3206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
79		ralrot3 3272	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
80	79	ralbii 3092	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
81		ralcom 3268	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
82	80, 81	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
83		ralcom 3268	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
84	83	ralbii 3092	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
85		ralcom 3268	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
86	85	2ralbii 3123	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
87	82, 84, 86	3bitri 296	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
88	78, 87	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
89	36	subrgring 20132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring)
90	89	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring)
91		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (𝑆 ∈ Ring ↔ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring))
92	91	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑆 ∈ Ring ↔ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring))
93	90, 92	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝑆 ∈ Ring)
94	93	biantrurd 533	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))))
95	4	grpbn0 18704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
96	95	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝑉 ≠ ∅)
97	37	subrg1cl 20137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘ℂ_fld) ∈ 𝐾)
98	97	ne0d 4282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → 𝐾 ≠ ∅)
99	98	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝐾 ≠ ∅)
100		ancom 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)))
101	100	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
103	102	ralbidv 3170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
104		r19.28zv 4445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
106	103, 105	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
107		anass 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
108		anass 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
109	108	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))))
110		ancom 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
111	107, 109, 110	3bitri 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
112	106, 111	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
113	112	ralbidv 3170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
114		r19.28zv 4445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
116	113, 115	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
117		anass 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
118		oveq1 7344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 + 𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
119	118	oveq1d 7352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥))
120		oveq1 7344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑥))
121	120	oveq1d 7352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)))
122	119, 121	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
123		oveq1 7344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · 𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
124	123	oveq1d 7352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥))
125		oveq1 7344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))
126	124, 125	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
127	122, 126	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
128	127	cbvralvw 3221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
129	128	3anbi3i 1158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
130		3anan32 1096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
131	129, 130	bitri 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
132	131	bicomi 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))
133	132	anbi2i 623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))
134	117, 133	bitri 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))
135	116, 134	bitrdi 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
136	135	ralbidv 3170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
137		r19.28zv 4445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
138	137	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
139	136, 138	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
140	96, 99, 139	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
141	140	ralbidv 3170	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
142	88, 94, 141	3bitr3d 308	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → ((𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
143	142	pm5.32i 575	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
144	23, 24, 143	3bitri 296	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
145	3, 17, 144	3bitri 296	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ∅c0 4269 ‘cfv 6479 (class class class)co 7337 1c1 10973 + caddc 10975 · cmul 10977 Basecbs 17009 ↾_s cress 17038 +_gcplusg 17059 ._rcmulr 17060 Scalarcsca 17062 ·_𝑠 cvsca 17063 Grpcgrp 18673 1_rcur 19832 Ringcrg 19878 SubRingcsubrg 20125 LModclmod 20229 ℂ_fldccnfld 20703 ℂModcclm 24331

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pow 5308 ax-pr 5372 ax-un 7650 ax-cnex 11028 ax-resscn 11029 ax-1cn 11030 ax-icn 11031 ax-addcl 11032 ax-addrcl 11033 ax-mulcl 11034 ax-mulrcl 11035 ax-mulcom 11036 ax-addass 11037 ax-mulass 11038 ax-distr 11039 ax-i2m1 11040 ax-1ne0 11041 ax-1rid 11042 ax-rnegex 11043 ax-rrecex 11044 ax-cnre 11045 ax-pre-lttri 11046 ax-pre-lttrn 11047 ax-pre-ltadd 11048 ax-pre-mulgt0 11049 ax-addf 11051 ax-mulf 11052

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3349 df-reu 3350 df-rab 3404 df-v 3443 df-sbc 3728 df-csb 3844 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3917 df-nul 4270 df-if 4474 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-tp 4578 df-op 4580 df-uni 4853 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-tr 5210 df-id 5518 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5575 df-we 5577 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-pred 6238 df-ord 6305 df-on 6306 df-lim 6307 df-suc 6308 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fn 6482 df-f 6483 df-f1 6484 df-fo 6485 df-f1o 6486 df-fv 6487 df-riota 7293 df-ov 7340 df-oprab 7341 df-mpo 7342 df-om 7781 df-1st 7899 df-2nd 7900 df-frecs 8167 df-wrecs 8198 df-recs 8272 df-rdg 8311 df-1o 8367 df-er 8569 df-en 8805 df-dom 8806 df-sdom 8807 df-fin 8808 df-pnf 11112 df-mnf 11113 df-xr 11114 df-ltxr 11115 df-le 11116 df-sub 11308 df-neg 11309 df-nn 12075 df-2 12137 df-3 12138 df-4 12139 df-5 12140 df-6 12141 df-7 12142 df-8 12143 df-9 12144 df-n0 12335 df-z 12421 df-dec 12539 df-uz 12684 df-fz 13341 df-struct 16945 df-sets 16962 df-slot 16980 df-ndx 16992 df-base 17010 df-ress 17039 df-plusg 17072 df-mulr 17073 df-starv 17074 df-tset 17078 df-ple 17079 df-ds 17081 df-unif 17082 df-0g 17249 df-mgm 18423 df-sgrp 18472 df-mnd 18483 df-grp 18676 df-subg 18848 df-cmn 19483 df-mgp 19816 df-ur 19833 df-ring 19880 df-cring 19881 df-subrg 20127 df-lmod 20231 df-cnfld 20704 df-clm 24332

This theorem is referenced by: isclmi0 24367 iscvsp 24397

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