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Theorem isclmp 25089

Description: The predicate "is a subcomplex module". (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isclmp.t	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
isclmp.a	⊢ + = (+_g‘𝑊)
isclmp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
isclmp.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
isclmp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

**Assertion**
Ref	Expression
isclmp	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐾,𝑦,𝑧 𝑥,𝑆,𝑦,𝑧 𝑥,𝑉,𝑦,𝑧 𝑥,𝑊,𝑦,𝑧 𝑥, + ,𝑦,𝑧 𝑥, · ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isclmp Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclmp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
2		isclmp.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	isclm 25056	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
4		isclmp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		isclmp.a	. . . . 5 ⊢ + = (+_g‘𝑊)
6		isclmp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+_g‘𝑆) = (+_g‘𝑆)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (._r‘𝑆) = (._r‘𝑆)
9		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1_r‘𝑆) = (1_r‘𝑆)
10	4, 5, 6, 1, 2, 7, 8, 9	islmod 20861	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
11	10	3anbi1i 1163	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
12		3anass 1100	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
13		df-3an 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
14	13	anbi1i 630	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
15	12, 14	bitri 276	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
16		an32 652	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
17	11, 15, 16	3bitri 298	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
18		an32 652	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
19		3anass 1100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
20	19	bicomi 225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
21	20	anbi1i 630	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
22	18, 21	bitri 276	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
23	22	anbi1i 630	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
24		anass 469	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))))
25		df-3an 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
26		ancom 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
27	25, 26	anbi12i 634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
28		an4 662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
29		an32 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
30		ancom 461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉))
31	30	anbi1i 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
32	29, 31	bitri 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
33	32	anbi1i 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
34	27, 28, 33	3bitri 298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
35		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (1_r‘𝑆) = (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
36		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) = (ℂ_fld ↾_s 𝐾)
37		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1_r‘ℂ_fld) = (1_r‘ℂ_fld)
38	36, 37	subrg1 20561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘ℂ_fld) = (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
39	38	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)) = (1_r‘ℂ_fld))
40	35, 39	sylan9eq 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (1_r‘𝑆) = (1_r‘ℂ_fld))
41		cnfld1 21379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (1_r‘ℂ_fld)
42	40, 41	eqtr4di 2793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (1_r‘𝑆) = 1)
43	42	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
44	43	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
45	44	3adant1 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
46	45	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
47	46	anbi1d 637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)))
48	47	anbi1d 637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
49		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘ℂ_fld)
50	36, 49	ressplusg 17252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
52		cnfldadd 21360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ + = (+_g‘ℂ_fld)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → + = (+_g‘ℂ_fld))
54		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (+_g‘𝑆) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
56	51, 53, 55	3eqtr4rd 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = + )
57	56	3adant1 1136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = + )
58	57	oveqd 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
59	58	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
60	59	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥))
61	60	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
62		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (._r‘ℂ_fld) = (._r‘ℂ_fld)
63	36, 62	ressmulr 17268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (._r‘ℂ_fld) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
64	63	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘ℂ_fld) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
65		cnfldmul 21362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = (._r‘ℂ_fld)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → · = (._r‘ℂ_fld))
67		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (._r‘𝑆) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
68	67	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘𝑆) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
69	64, 66, 68	3eqtr4rd 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘𝑆) = · )
70	69	oveqd 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑟(._r‘𝑆)𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
71	70	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (𝑟(._r‘𝑆)𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
72	71	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥))
73	72	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
74	61, 73	anbi12d 638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
75	48, 74	anbi12d 638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
76	34, 75	bitrid 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
77	76	2ralbidva 3202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
78	77	2ralbidva 3202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
79		ralrot3 3271	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
80	79	ralbii 3086	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
81		ralcom 3268	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
82	80, 81	bitri 276	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
83		ralcom 3268	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
84	83	ralbii 3086	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
85		ralcom 3268	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
86	85	2ralbii 3115	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
87	82, 84, 86	3bitri 298	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
88	78, 87	bitrdi 288	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
89	36	subrgring 20553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring)
90	89	3ad2ant3 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring)
91		eleq1 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (𝑆 ∈ Ring ↔ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring))
92	91	3ad2ant2 1140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑆 ∈ Ring ↔ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring))
93	90, 92	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝑆 ∈ Ring)
94	93	biantrurd 537	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))))
95	4	grpbn0 18940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
96	95	3ad2ant1 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝑉 ≠ ∅)
97	37	subrg1cl 20559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘ℂ_fld) ∈ 𝐾)
98	97	ne0d 4277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → 𝐾 ≠ ∅)
99	98	3ad2ant3 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝐾 ≠ ∅)
100		ancom 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)))
101	100	anbi1i 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
103	102	ralbidv 3163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
104		r19.28zv 4441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
106	103, 105	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
107		anass 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
108		anass 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
109	108	anbi2i 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))))
110		ancom 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
111	107, 109, 110	3bitri 298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
112	106, 111	bitrdi 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
113	112	ralbidv 3163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
114		r19.28zv 4441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
116	113, 115	bitrd 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
117		anass 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
118		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 + 𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
119	118	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥))
120		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑥))
121	120	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)))
122	119, 121	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
123		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · 𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
124	123	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥))
125		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))
126	124, 125	eqeq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
127	122, 126	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
128	127	cbvralvw 3218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
129	128	3anbi3i 1165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
130		3anan32 1102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
131	129, 130	bitri 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
132	131	bicomi 225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))
133	132	anbi2i 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))
134	117, 133	bitri 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))
135	116, 134	bitrdi 288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
136	135	ralbidv 3163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
137		r19.28zv 4441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
138	137	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
139	136, 138	bitrd 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
140	96, 99, 139	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
141	140	ralbidv 3163	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
142	88, 94, 141	3bitr3d 310	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → ((𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
143	142	pm5.32i 579	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
144	23, 24, 143	3bitri 298	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
145	3, 17, 144	3bitri 298	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2935 ∀wral 3054 ∅c0 4268 ‘cfv 6492 (class class class)co 7363 1c1 11037 + caddc 11039 · cmul 11041 Basecbs 17177 ↾_s cress 17198 +_gcplusg 17218 ._rcmulr 17219 Scalarcsca 17221 ·_𝑠 cvsca 17222 Grpcgrp 18907 1_rcur 20160 Ringcrg 20212 SubRingcsubrg 20548 LModclmod 20857 ℂ_fldccnfld 21354 ℂModcclm 25054

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113 ax-addf 11115 ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-tp 4567 df-op 4569 df-uni 4846 df-iun 4930 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-om 7814 df-1st 7938 df-2nd 7939 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-1o 8402 df-er 8640 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-nn 12173 df-2 12242 df-3 12243 df-4 12244 df-5 12245 df-6 12246 df-7 12247 df-8 12248 df-9 12249 df-n0 12436 df-z 12523 df-dec 12643 df-uz 12787 df-fz 13460 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17178 df-ress 17199 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-starv 17233 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-unif 17241 df-0g 17402 df-mgm 18606 df-sgrp 18685 df-mnd 18701 df-grp 18910 df-subg 19097 df-cmn 19755 df-mgp 20120 df-ur 20161 df-ring 20214 df-cring 20215 df-subrg 20549 df-lmod 20859 df-cnfld 21355 df-clm 25055

This theorem is referenced by: isclmi0 25090 iscvsp 25120

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