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Theorem isclmp 23404

Description: The predicate "is a subcomplex module." (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isclmp.t	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
isclmp.a	⊢ + = (+_g‘𝑊)
isclmp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
isclmp.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
isclmp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

**Assertion**
Ref	Expression
isclmp	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐾,𝑦,𝑧 𝑥,𝑆,𝑦,𝑧 𝑥,𝑉,𝑦,𝑧 𝑥,𝑊,𝑦,𝑧 𝑥, + ,𝑦,𝑧 𝑥, · ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isclmp Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclmp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
2		isclmp.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	isclm 23371	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
4		isclmp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		isclmp.a	. . . . 5 ⊢ + = (+_g‘𝑊)
6		isclmp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (+_g‘𝑆) = (+_g‘𝑆)
8		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (._r‘𝑆) = (._r‘𝑆)
9		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (1_r‘𝑆) = (1_r‘𝑆)
10	4, 5, 6, 1, 2, 7, 8, 9	islmod 19360	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
11	10	3anbi1i 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
12		3anass 1076	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
13		df-3an 1070	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
14	13	anbi1i 614	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
15	12, 14	bitri 267	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
16		an32 633	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
17	11, 15, 16	3bitri 289	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
18		an32 633	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
19		3anass 1076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
20	19	bicomi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
21	20	anbi1i 614	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
22	18, 21	bitri 267	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
23	22	anbi1i 614	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
24		anass 461	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))))
25		df-3an 1070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
26		ancom 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
27	25, 26	anbi12i 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
28		an4 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
29		an32 633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
30		ancom 453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉))
31	30	anbi1i 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
32	29, 31	bitri 267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
33	32	anbi1i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
34	27, 28, 33	3bitri 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
35		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (1_r‘𝑆) = (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
36		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) = (ℂ_fld ↾_s 𝐾)
37		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1_r‘ℂ_fld) = (1_r‘ℂ_fld)
38	36, 37	subrg1 19268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘ℂ_fld) = (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
39	38	eqcomd 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)) = (1_r‘ℂ_fld))
40	35, 39	sylan9eq 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (1_r‘𝑆) = (1_r‘ℂ_fld))
41		cnfld1 20272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (1_r‘ℂ_fld)
42	40, 41	syl6eqr 2832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (1_r‘𝑆) = 1)
43	42	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
44	43	eqeq1d 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
45	44	3adant1 1110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
46	45	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
47	46	anbi1d 620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)))
48	47	anbi1d 620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
49		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘ℂ_fld)
50	36, 49	ressplusg 16468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
51	50	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
52		cnfldadd 20252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ + = (+_g‘ℂ_fld)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → + = (+_g‘ℂ_fld))
54		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (+_g‘𝑆) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
55	54	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
56	51, 53, 55	3eqtr4rd 2825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = + )
57	56	3adant1 1110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = + )
58	57	oveqd 6993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
59	58	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
60	59	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥))
61	60	eqeq1d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
62		eqid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (._r‘ℂ_fld) = (._r‘ℂ_fld)
63	36, 62	ressmulr 16481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (._r‘ℂ_fld) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
64	63	3ad2ant3 1115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘ℂ_fld) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
65		cnfldmul 20253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = (._r‘ℂ_fld)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → · = (._r‘ℂ_fld))
67		fveq2 6499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (._r‘𝑆) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
68	67	3ad2ant2 1114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘𝑆) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
69	64, 66, 68	3eqtr4rd 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘𝑆) = · )
70	69	oveqd 6993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑟(._r‘𝑆)𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
71	70	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (𝑟(._r‘𝑆)𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
72	71	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥))
73	72	eqeq1d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
74	61, 73	anbi12d 621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
75	48, 74	anbi12d 621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
76	34, 75	syl5bb 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
77	76	2ralbidva 3148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
78	77	2ralbidva 3148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
79		ralrot3 3302	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
80	79	ralbii 3115	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
81		ralcom 3295	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
82	80, 81	bitri 267	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
83		ralcom 3295	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
84	83	ralbii 3115	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
85		ralcom 3295	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
86	85	2ralbii 3116	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
87	82, 84, 86	3bitri 289	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
88	78, 87	syl6bb 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
89	36	subrgring 19261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring)
90	89	3ad2ant3 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring)
91		eleq1 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (𝑆 ∈ Ring ↔ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring))
92	91	3ad2ant2 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑆 ∈ Ring ↔ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring))
93	90, 92	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝑆 ∈ Ring)
94	93	biantrurd 525	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))))
95	4	grpbn0 17920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
96	95	3ad2ant1 1113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝑉 ≠ ∅)
97	37	subrg1cl 19266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘ℂ_fld) ∈ 𝐾)
98	97	ne0d 4187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → 𝐾 ≠ ∅)
99	98	3ad2ant3 1115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝐾 ≠ ∅)
100		ancom 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)))
101	100	anbi1i 614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
103	102	ralbidv 3147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
104		r19.28zv 4329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
105	104	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
106	103, 105	bitrd 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
107		anass 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
108		anass 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
109	108	anbi2i 613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))))
110		ancom 453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
111	107, 109, 110	3bitri 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
112	106, 111	syl6bb 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
113	112	ralbidv 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
114		r19.28zv 4329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
115	114	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
116	113, 115	bitrd 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
117		anass 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
118		oveq1 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 + 𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
119	118	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥))
120		oveq1 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑥))
121	120	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)))
122	119, 121	eqeq12d 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
123		oveq1 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · 𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
124	123	oveq1d 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥))
125		oveq1 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))
126	124, 125	eqeq12d 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
127	122, 126	anbi12d 621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
128	127	cbvralv 3383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
129	128	3anbi3i 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
130		3anan32 1078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
131	129, 130	bitri 267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
132	131	bicomi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))
133	132	anbi2i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))
134	117, 133	bitri 267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))
135	116, 134	syl6bb 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
136	135	ralbidv 3147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
137		r19.28zv 4329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
138	137	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
139	136, 138	bitrd 271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
140	96, 99, 139	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
141	140	ralbidv 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
142	88, 94, 141	3bitr3d 301	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → ((𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
143	142	pm5.32i 567	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
144	23, 24, 143	3bitri 289	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
145	3, 17, 144	3bitri 289	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 198 ∧ wa 387 ∧ w3a 1068 = wceq 1507 ∈ wcel 2050 ≠ wne 2967 ∀wral 3088 ∅c0 4178 ‘cfv 6188 (class class class)co 6976 1c1 10336 + caddc 10338 · cmul 10340 Basecbs 16339 ↾_s cress 16340 +_gcplusg 16421 ._rcmulr 16422 Scalarcsca 16424 ·_𝑠 cvsca 16425 Grpcgrp 17891 1_rcur 18974 Ringcrg 19020 SubRingcsubrg 19254 LModclmod 19356 ℂ_fldccnfld 20247 ℂModcclm 23369

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1758 ax-4 1772 ax-5 1869 ax-6 1928 ax-7 1965 ax-8 2052 ax-9 2059 ax-10 2079 ax-11 2093 ax-12 2106 ax-13 2301 ax-ext 2750 ax-sep 5060 ax-nul 5067 ax-pow 5119 ax-pr 5186 ax-un 7279 ax-cnex 10391 ax-resscn 10392 ax-1cn 10393 ax-icn 10394 ax-addcl 10395 ax-addrcl 10396 ax-mulcl 10397 ax-mulrcl 10398 ax-mulcom 10399 ax-addass 10400 ax-mulass 10401 ax-distr 10402 ax-i2m1 10403 ax-1ne0 10404 ax-1rid 10405 ax-rnegex 10406 ax-rrecex 10407 ax-cnre 10408 ax-pre-lttri 10409 ax-pre-lttrn 10410 ax-pre-ltadd 10411 ax-pre-mulgt0 10412 ax-addf 10414 ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 834 df-3or 1069 df-3an 1070 df-tru 1510 df-ex 1743 df-nf 1747 df-sb 2016 df-mo 2547 df-eu 2584 df-clab 2759 df-cleq 2771 df-clel 2846 df-nfc 2918 df-ne 2968 df-nel 3074 df-ral 3093 df-rex 3094 df-reu 3095 df-rmo 3096 df-rab 3097 df-v 3417 df-sbc 3682 df-csb 3787 df-dif 3832 df-un 3834 df-in 3836 df-ss 3843 df-pss 3845 df-nul 4179 df-if 4351 df-pw 4424 df-sn 4442 df-pr 4444 df-tp 4446 df-op 4448 df-uni 4713 df-int 4750 df-iun 4794 df-br 4930 df-opab 4992 df-mpt 5009 df-tr 5031 df-id 5312 df-eprel 5317 df-po 5326 df-so 5327 df-fr 5366 df-we 5368 df-xp 5413 df-rel 5414 df-cnv 5415 df-co 5416 df-dm 5417 df-rn 5418 df-res 5419 df-ima 5420 df-pred 5986 df-ord 6032 df-on 6033 df-lim 6034 df-suc 6035 df-iota 6152 df-fun 6190 df-fn 6191 df-f 6192 df-f1 6193 df-fo 6194 df-f1o 6195 df-fv 6196 df-riota 6937 df-ov 6979 df-oprab 6980 df-mpo 6981 df-om 7397 df-1st 7501 df-2nd 7502 df-wrecs 7750 df-recs 7812 df-rdg 7850 df-1o 7905 df-oadd 7909 df-er 8089 df-en 8307 df-dom 8308 df-sdom 8309 df-fin 8310 df-pnf 10476 df-mnf 10477 df-xr 10478 df-ltxr 10479 df-le 10480 df-sub 10672 df-neg 10673 df-nn 11440 df-2 11503 df-3 11504 df-4 11505 df-5 11506 df-6 11507 df-7 11508 df-8 11509 df-9 11510 df-n0 11708 df-z 11794 df-dec 11912 df-uz 12059 df-fz 12709 df-struct 16341 df-ndx 16342 df-slot 16343 df-base 16345 df-sets 16346 df-ress 16347 df-plusg 16434 df-mulr 16435 df-starv 16436 df-tset 16440 df-ple 16441 df-ds 16443 df-unif 16444 df-0g 16571 df-mgm 17710 df-sgrp 17752 df-mnd 17763 df-grp 17894 df-subg 18060 df-cmn 18668 df-mgp 18963 df-ur 18975 df-ring 19022 df-cring 19023 df-subrg 19256 df-lmod 19358 df-cnfld 20248 df-clm 23370

This theorem is referenced by: isclmi0 23405 iscvsp 23435

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