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Theorem isclmp 25004

Description: The predicate "is a subcomplex module". (Contributed by NM, 31-May-2008.) (Revised by AV, 4-Oct-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isclmp.t	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
isclmp.a	⊢ + = (+_g‘𝑊)
isclmp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
isclmp.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
isclmp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

**Assertion**
Ref	Expression
isclmp	⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐾,𝑦,𝑧 𝑥,𝑆,𝑦,𝑧 𝑥,𝑉,𝑦,𝑧 𝑥,𝑊,𝑦,𝑧 𝑥, + ,𝑦,𝑧 𝑥, · ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isclmp Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclmp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
2		isclmp.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	isclm 24971	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
4		isclmp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		isclmp.a	. . . . 5 ⊢ + = (+_g‘𝑊)
6		isclmp.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑊)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+_g‘𝑆) = (+_g‘𝑆)
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (._r‘𝑆) = (._r‘𝑆)
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (1_r‘𝑆) = (1_r‘𝑆)
10	4, 5, 6, 1, 2, 7, 8, 9	islmod 20777	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
11	10	3anbi1i 1157	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
12		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
13		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
14	13	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
15	12, 14	bitri 275	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
16		an32 646	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
17	11, 15, 16	3bitri 297	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
18		an32 646	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
19		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))))
20	19	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)))
21	20	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
22	18, 21	bitri 275	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring))
23	22	anbi1i 624	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))))
24		anass 468	. . 3 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))))
25		df-3an 1088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
26		ancom 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
27	25, 26	anbi12i 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
28		an4 656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
29		an32 646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
30		ancom 460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉))
31	30	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
32	29, 31	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ↔ ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
33	32	anbi1i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
34	27, 28, 33	3bitri 297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
35		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (1_r‘𝑆) = (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
36		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) = (ℂ_fld ↾_s 𝐾)
37		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1_r‘ℂ_fld) = (1_r‘ℂ_fld)
38	36, 37	subrg1 20498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘ℂ_fld) = (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
39	38	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)) = (1_r‘ℂ_fld))
40	35, 39	sylan9eq 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (1_r‘𝑆) = (1_r‘ℂ_fld))
41		cnfld1 21312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 = (1_r‘ℂ_fld)
42	40, 41	eqtr4di 2783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (1_r‘𝑆) = 1)
43	42	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
44	43	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
45	44	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1 · 𝑥) = 𝑥))
47	46	anbi1d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)))
48	47	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
49		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘ℂ_fld)
50	36, 49	ressplusg 17261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘ℂ_fld) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
52		cnfldadd 21277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ + = (+_g‘ℂ_fld)
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → + = (+_g‘ℂ_fld))
54		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (+_g‘𝑆) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = (+_g‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
56	51, 53, 55	3eqtr4rd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = + )
57	56	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (+_g‘𝑆) = + )
58	57	oveqd 7407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
59	58	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
60	59	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥))
61	60	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
62		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (._r‘ℂ_fld) = (._r‘ℂ_fld)
63	36, 62	ressmulr 17277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (._r‘ℂ_fld) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
64	63	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘ℂ_fld) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
65		cnfldmul 21279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ · = (._r‘ℂ_fld)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → · = (._r‘ℂ_fld))
67		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (._r‘𝑆) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
68	67	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘𝑆) = (._r‘(ℂ_fld ↾_s 𝐾)))
69	64, 66, 68	3eqtr4rd 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (._r‘𝑆) = · )
70	69	oveqd 7407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑟(._r‘𝑆)𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
71	70	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (𝑟(._r‘𝑆)𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
72	71	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥))
73	72	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
74	61, 73	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
75	48, 74	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
76	34, 75	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)) → ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
77	76	2ralbidva 3200	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑟 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
78	77	2ralbidva 3200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
79		ralrot3 3270	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
80	79	ralbii 3076	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
81		ralcom 3266	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
82	80, 81	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
83		ralcom 3266	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
84	83	ralbii 3076	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
85		ralcom 3266	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
86	85	2ralbii 3109	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
87	82, 84, 86	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
88	78, 87	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
89	36	subrgring 20490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring)
90	89	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring)
91		eleq1 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) → (𝑆 ∈ Ring ↔ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring))
92	91	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (𝑆 ∈ Ring ↔ (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∈ Ring))
93	90, 92	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝑆 ∈ Ring)
94	93	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)) ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))))
95	4	grpbn0 18905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
96	95	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝑉 ≠ ∅)
97	37	subrg1cl 20496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → (1_r‘ℂ_fld) ∈ 𝐾)
98	97	ne0d 4308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld) → 𝐾 ≠ ∅)
99	98	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → 𝐾 ≠ ∅)
100		ancom 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)))
101	100	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
103	102	ralbidv 3157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
104		r19.28zv 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
105	104	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
106	103, 105	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
107		anass 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
108		anass 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))))
109	108	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))))
110		ancom 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
111	107, 109, 110	3bitri 297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
112	106, 111	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
113	112	ralbidv 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
114		r19.28zv 4467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
116	113, 115	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
117		anass 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))))
118		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 + 𝑦) = (𝑟 + 𝑦))
119	118	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥))
120		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · 𝑥) = (𝑟 · 𝑥))
121	120	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)))
122	119, 121	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))))
123		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · 𝑦) = (𝑟 · 𝑦))
124	123	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥))
125		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))
126	124, 125	eqeq12d 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
127	122, 126	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
128	127	cbvralvw 3216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))) ↔ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))
129	128	3anbi3i 1159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))))
130		3anan32 1096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
131	129, 130	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))))
132	131	bicomi 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))
133	132	anbi2i 623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))
134	117, 133	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥))))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))))
135	116, 134	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
136	135	ralbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
137		r19.28zv 4467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
138	137	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥))))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
139	136, 138	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
140	96, 99, 139	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
141	140	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ((((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧))) ∧ (((𝑟 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑟 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
142	88, 94, 141	3bitr3d 309	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) → ((𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
143	142	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ (𝑆 ∈ Ring ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥)))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
144	23, 24, 143	3bitri 297	. 2 ⊢ ((((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld))) ∧ ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝑉 ∀𝑥 ∈ 𝑉 (((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ((𝑟(+_g‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = ((𝑟 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥))) ∧ (((𝑟(._r‘𝑆)𝑦) · 𝑥) = (𝑟 · (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((1_r‘𝑆) · 𝑥) = 𝑥))) ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))
145	3, 17, 144	3bitri 297	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod ↔ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑆 = (ℂ_fld ↾_s 𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂ_fld)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝑦 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐾 (((𝑧 + 𝑦) · 𝑥) = ((𝑧 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑥)) ∧ ((𝑧 · 𝑦) · 𝑥) = (𝑧 · (𝑦 · 𝑥)))))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 ∀wral 3045 ∅c0 4299 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 Basecbs 17186 ↾_s cress 17207 +_gcplusg 17227 ._rcmulr 17228 Scalarcsca 17230 ·_𝑠 cvsca 17231 Grpcgrp 18872 1_rcur 20097 Ringcrg 20149 SubRingcsubrg 20485 LModclmod 20773 ℂ_fldccnfld 21271 ℂModcclm 24969

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-addf 11154 ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-er 8674 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-fz 13476 df-struct 17124 df-sets 17141 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-ress 17208 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-0g 17411 df-mgm 18574 df-sgrp 18653 df-mnd 18669 df-grp 18875 df-subg 19062 df-cmn 19719 df-mgp 20057 df-ur 20098 df-ring 20151 df-cring 20152 df-subrg 20486 df-lmod 20775 df-cnfld 21272 df-clm 24970

This theorem is referenced by: isclmi0 25005 iscvsp 25035

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