MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1assa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1assa 20082
Description: The ring of univariate polynomials is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1assa (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem ply1assa
StepHypRef Expression
1 crngring 19043 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1val.1 . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2772 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
4 eqid 2772 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52, 3, 4ply1subrg 20080 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
61, 5syl 17 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
72, 3, 4ply1lss 20079 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
81, 7syl 17 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
93psr1assa 20071 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (PwSer1𝑅) ∈ AssAlg)
10 eqid 2772 . . . . 5 (1r‘(PwSer1𝑅)) = (1r‘(PwSer1𝑅))
1110subrg1cl 19278 . . . 4 ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) → (1r‘(PwSer1𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
126, 11syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (1r‘(PwSer1𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
13 eqid 2772 . . . . 5 (Base‘(PwSer1𝑅)) = (Base‘(PwSer1𝑅))
1413subrgss 19271 . . . 4 ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1𝑅)))
156, 14syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1𝑅)))
162, 3ply1val 20077 . . . . 5 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
172, 3, 4ply1bas 20078 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
1817oveq2i 6985 . . . . 5 ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
1916, 18eqtr4i 2799 . . . 4 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
20 eqid 2772 . . . 4 (LSubSp‘(PwSer1𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1𝑅))
2119, 20, 13, 10issubassa 19830 . . 3 (((PwSer1𝑅) ∈ AssAlg ∧ (1r‘(PwSer1𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1𝑅))) → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))))
229, 12, 15, 21syl3anc 1351 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))))
236, 8, 22mpbir2and 700 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wss 3823  cfv 6185  (class class class)co 6974  1oc1o 7896  Basecbs 16337  s cress 16338  1rcur 18986  Ringcrg 19032  CRingccrg 19033  SubRingcsubrg 19266  LSubSpclss 19437  AssAlgcasa 19815   mPoly cmpl 19859  PwSer1cps1 20058  Poly1cpl1 20060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-ofr 7226  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-hash 13504  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-tset 16438  df-ple 16439  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-mulg 18024  df-subg 18072  df-ghm 18139  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-cring 19035  df-subrg 19268  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-assa 19818  df-psr 19862  df-mpl 19864  df-opsr 19866  df-psr1 20063  df-ply1 20065
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  20190  evl1vsd  20221  pf1subrg  20225  evl1scvarpw  20240  mat2pmatmul  21055  mat2pmatlin  21059  monmatcollpw  21103  pmatcollpwlem  21104  chpscmatgsumbin  21168  fta1blem  24477
  Copyright terms: Public domain W3C validator