Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1assa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1assa 20826
 Description: The ring of univariate polynomials is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1assa (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem ply1assa
StepHypRef Expression
1 crngring 19300 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1val.1 . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2822 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
4 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
52, 3, 4ply1subrg 20824 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
61, 5syl 17 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)))
72, 3, 4ply1lss 20823 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
81, 7syl 17 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))
93psr1assa 20815 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (PwSer1𝑅) ∈ AssAlg)
10 eqid 2822 . . . . 5 (1r‘(PwSer1𝑅)) = (1r‘(PwSer1𝑅))
1110subrg1cl 19534 . . . 4 ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) → (1r‘(PwSer1𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
126, 11syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (1r‘(PwSer1𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
13 eqid 2822 . . . . 5 (Base‘(PwSer1𝑅)) = (Base‘(PwSer1𝑅))
1413subrgss 19527 . . . 4 ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1𝑅)))
156, 14syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1𝑅)))
162, 3ply1val 20821 . . . . 5 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
172, 3, 4ply1bas 20822 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
1817oveq2i 7151 . . . . 5 ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
1916, 18eqtr4i 2848 . . . 4 𝑃 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
20 eqid 2822 . . . 4 (LSubSp‘(PwSer1𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1𝑅))
2119, 20, 13, 10issubassa 20553 . . 3 (((PwSer1𝑅) ∈ AssAlg ∧ (1r‘(PwSer1𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1𝑅))) → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))))
229, 12, 15, 21syl3anc 1368 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1𝑅)))))
236, 8, 22mpbir2and 712 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  1oc1o 8082  Basecbs 16474   ↾s cress 16475  1rcur 19242  Ringcrg 19288  CRingccrg 19289  SubRingcsubrg 19522  LSubSpclss 19694  AssAlgcasa 20537   mPoly cmpl 20589  PwSer1cps1 20802  Poly1cpl1 20804 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-tset 16575  df-ple 16576  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-assa 20540  df-psr 20592  df-mpl 20594  df-opsr 20596  df-psr1 20807  df-ply1 20809 This theorem is referenced by:  lply1binomsc  20934  evl1vsd  20966  pf1subrg  20970  evl1scvarpw  20985  mat2pmatmul  21334  mat2pmatlin  21338  monmatcollpw  21382  pmatcollpwlem  21383  chpscmatgsumbin  21447  fta1blem  24767
 Copyright terms: Public domain W3C validator