Theorem ply1assa 22142

Description: The ring of univariate polynomials is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1assa	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem ply1assa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20182	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	2, 3, 4	ply1subrg 22140	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	2, 3, 4	ply1lss 22139	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
8	1, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
9	3	psr1assa 22130	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (PwSer1‘𝑅) ∈ AssAlg)
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1r‘(PwSer1‘𝑅)) = (1r‘(PwSer1‘𝑅))
11	10	subrg1cl 20515	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
14	13	subrgss 20507	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
15	6, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
16	2, 3	ply1val 22136	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
17	2, 4	ply1bas 22137	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
18	17	oveq2i 7369	. . . . 5 ⊢ ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
19	16, 18	eqtr4i 2761	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
20		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))
21	19, 20, 13, 10	issubassa 21824	. . 3 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ AssAlg ∧ (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))) → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))))
22	9, 12, 15, 21	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))))
23	6, 8, 22	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  1_oc1o 8390  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  1_rcur 20118  Ringcrg 20170  CRingccrg 20171  SubRingcsubrg 20504  LSubSpclss 20884  AssAlgcasa 21807   mPoly cmpl 21864  PwSer₁cps1 22117  Poly₁cpl1 22119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-assa 21810  df-psr 21867  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22122  df-ply1 22124

This theorem is referenced by:  ply1chr  22252  lply1binomsc  22257  ply1fermltlchr  22258  evl1vsd  22290  pf1subrg  22294  evl1scvarpw  22309  evls1fpws  22315  mat2pmatmul  22677  mat2pmatlin  22681  monmatcollpw  22725  pmatcollpwlem  22726  chpscmatgsumbin  22790  fta1blem  26134  ply1asclunit  33634  vietadeg1  33713  vietalem  33714  irngnzply1lem  33826  cos9thpiminply  33924  aks5lem2  42476  ply1asclzrhval  42477