Theorem ply1assa 21280

Description: The ring of univariate polynomials is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1assa	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem ply1assa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19710	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	2, 3, 4	ply1subrg 21278	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	2, 3, 4	ply1lss 21277	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
8	1, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
9	3	psr1assa 21269	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (PwSer1‘𝑅) ∈ AssAlg)
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘(PwSer1‘𝑅)) = (1r‘(PwSer1‘𝑅))
11	10	subrg1cl 19947	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
14	13	subrgss 19940	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
15	6, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
16	2, 3	ply1val 21275	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
17	2, 3, 4	ply1bas 21276	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
18	17	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
19	16, 18	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))
21	19, 20, 13, 10	issubassa 20983	. . 3 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ AssAlg ∧ (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))) → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))))
22	9, 12, 15, 21	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))))
23	6, 8, 22	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  SubRingcsubrg 19935  LSubSpclss 20108  AssAlgcasa 20967   mPoly cmpl 21019  PwSer₁cps1 21256  Poly₁cpl1 21258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-assa 20970  df-psr 21022  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-ply1 21263

This theorem is referenced by:  lply1binomsc  21388  evl1vsd  21420  pf1subrg  21424  evl1scvarpw  21439  mat2pmatmul  21788  mat2pmatlin  21792  monmatcollpw  21836  pmatcollpwlem  21837  chpscmatgsumbin  21901  fta1blem  25238  ply1chr  31571  ply1fermltl  31572