Theorem ply1assa 22118

Description: The ring of univariate polynomials is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1assa	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem ply1assa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20166	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	2, 3, 4	ply1subrg 22116	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	2, 3, 4	ply1lss 22115	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
8	1, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
9	3	psr1assa 22106	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (PwSer1‘𝑅) ∈ AssAlg)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1r‘(PwSer1‘𝑅)) = (1r‘(PwSer1‘𝑅))
11	10	subrg1cl 20501	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
14	13	subrgss 20493	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
15	6, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
16	2, 3	ply1val 22112	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
17	2, 4	ply1bas 22113	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
18	17	oveq2i 7380	. . . . 5 ⊢ ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1o mPoly 𝑅)))
19	16, 18	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
20		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))
21	19, 20, 13, 10	issubassa 21810	. . 3 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ AssAlg ∧ (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))) → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))))
22	9, 12, 15, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))))
23	6, 8, 22	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1_oc1o 8404  Basecbs 17156   ↾_s cress 17177  1_rcur 20102  Ringcrg 20154  CRingccrg 20155  SubRingcsubrg 20490  LSubSpclss 20870  AssAlgcasa 21793   mPoly cmpl 21849  PwSer₁cps1 22093  Poly₁cpl1 22095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-seq 13945  df-hash 14274  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17381  df-gsum 17382  df-prds 17387  df-pws 17389  df-mre 17524  df-mrc 17525  df-acs 17527  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19128  df-cntz 19232  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-mgp 20062  df-rng 20074  df-ur 20103  df-ring 20156  df-cring 20157  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-assa 21796  df-psr 21852  df-mpl 21854  df-opsr 21856  df-psr1 22098  df-ply1 22100

This theorem is referenced by:  ply1chr  22227  lply1binomsc  22232  ply1fermltlchr  22233  evl1vsd  22265  pf1subrg  22269  evl1scvarpw  22284  evls1fpws  22290  mat2pmatmul  22652  mat2pmatlin  22656  monmatcollpw  22700  pmatcollpwlem  22701  chpscmatgsumbin  22765  fta1blem  26110  ply1asclunit  33537  irngnzply1lem  33679  cos9thpiminply  33772  aks5lem2  42169  ply1asclzrhval  42170