Theorem primefldgen1 33749

Description: The prime field of a division ring is the subfield generated by the multiplicative identity element. In general, we should write "prime division ring", but since most later usages are in the case where the ambient ring is commutative, we keep the term "prime field". (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primefldgen1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
primefldgen1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
primefldgen1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
primefldgen1	⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

Proof of Theorem primefldgen1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑎) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		primefldgen1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	3	subrg1cl 20743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝑎)
5	2, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝑎)
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑎)
7	6	snssd 4750	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → { 1 } ⊆ 𝑎)
8	7	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
9		rabid2 3447	. . . 4 ⊢ ((SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎} ↔ ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
11	10	inteqd 4915	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
12		primefldgen1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		primefldgen1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
14	13	drngringd 20899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	12, 3	ringidcl 20407	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
17	16	snssd 4750	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 1 } ⊆ 𝐵)
18	12, 13, 17	fldgenval 33740	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 fldGen { 1 }) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
19	11, 18	eqtr4d 2800	1 ⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  {crab 3414   ⊆ wss 3902  {csn 4587  ∩ cint 4910  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  SubRingcsubrg 20732  DivRingcdr 20891  SubDRingcsdrg 20953   fldGen cfldgen 33738

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrg 20733  df-drng 20893  df-sdrg 20954  df-fldgen 33739

This theorem is used by: (None)