Theorem primefldgen1 33379

Description: The prime field of a division ring is the subfield generated by the multiplicative identity element. In general, we should write "prime division ring", but since most later usages are in the case where the ambient ring is commutative, we keep the term "prime field". (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primefldgen1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
primefldgen1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
primefldgen1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
primefldgen1	⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

Proof of Theorem primefldgen1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑎) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		primefldgen1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	3	subrg1cl 20554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝑎)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝑎)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑎)
7	6	snssd 4731	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → { 1 } ⊆ 𝑎)
8	7	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
9		rabid2 3423	. . . 4 ⊢ ((SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎} ↔ ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
11	10	inteqd 4895	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
12		primefldgen1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		primefldgen1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
14	13	drngringd 20711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	12, 3	ringidcl 20243	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
17	16	snssd 4731	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 1 } ⊆ 𝐵)
18	12, 13, 17	fldgenval 33370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 fldGen { 1 }) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
19	11, 18	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ∩ cint 4890  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  Basecbs 17176   ↾_s cress 17197  1_rcur 20159  Ringcrg 20211  SubRingcsubrg 20543  DivRingcdr 20703  SubDRingcsdrg 20760   fldGen cfldgen 33368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-0g 17401  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mgp 20119  df-ur 20160  df-ring 20213  df-subrg 20544  df-drng 20705  df-sdrg 20761  df-fldgen 33369

This theorem is referenced by: (None)