Theorem primefldgen1 33263

Description: The prime field of a division ring is the subfield generated by the multiplicative identity element. In general, we should write "prime division ring", but since most later usages are in the case where the ambient ring is commutative, we keep the term "prime field". (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primefldgen1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
primefldgen1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
primefldgen1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
primefldgen1	⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

Proof of Theorem primefldgen1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑎) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		primefldgen1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	3	subrg1cl 20548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝑎)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝑎)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑎)
7	6	snssd 4789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → { 1 } ⊆ 𝑎)
8	7	ralrimiva 3133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
9		rabid2 3453	. . . 4 ⊢ ((SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎} ↔ ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
11	10	inteqd 4931	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
12		primefldgen1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		primefldgen1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
14	13	drngringd 20705	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	12, 3	ringidcl 20230	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
17	16	snssd 4789	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 1 } ⊆ 𝐵)
18	12, 13, 17	fldgenval 33254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 fldGen { 1 }) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
19	11, 18	eqtr4d 2772	1 ⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  {crab 3419   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ∩ cint 4926  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229   ↾_s cress 17252  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  SubRingcsubrg 20537  DivRingcdr 20697  SubDRingcsdrg 20755   fldGen cfldgen 33252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-subrg 20538  df-drng 20699  df-sdrg 20756  df-fldgen 33253

This theorem is referenced by: (None)