Theorem primefldgen1 33280

Description: The prime field of a division ring is the subfield generated by the multiplicative identity element. In general, we should write "prime division ring", but since most later usages are in the case where the ambient ring is commutative, we keep the term "prime field". (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primefldgen1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
primefldgen1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
primefldgen1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
primefldgen1	⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

Proof of Theorem primefldgen1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑎) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		primefldgen1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	3	subrg1cl 20603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝑎)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝑎)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑎)
7	6	snssd 4834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → { 1 } ⊆ 𝑎)
8	7	ralrimiva 3148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
9		rabid2 3472	. . . 4 ⊢ ((SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎} ↔ ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
11	10	inteqd 4977	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
12		primefldgen1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		primefldgen1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
14	13	drngringd 20754	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	12, 3	ringidcl 20284	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
17	16	snssd 4834	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 1 } ⊆ 𝐵)
18	12, 13, 17	fldgenval 33271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 fldGen { 1 }) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
19	11, 18	eqtr4d 2777	1 ⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  ∀wral 3063  {crab 3438   ⊆ wss 3970  {csn 4648  ∩ cint 4972  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253   ↾_s cress 17282  1_rcur 20203  Ringcrg 20255  SubRingcsubrg 20590  DivRingcdr 20746  SubDRingcsdrg 20804   fldGen cfldgen 33269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-mgp 20157  df-ur 20204  df-ring 20257  df-subrg 20592  df-drng 20748  df-sdrg 20805  df-fldgen 33270

This theorem is referenced by: (None)