Theorem primefldgen1 33387

Description: The prime field of a division ring is the subfield generated by the multiplicative identity element. In general, we should write "prime division ring", but since most later usages are in the case where the ambient ring is commutative, we keep the term "prime field". (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primefldgen1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
primefldgen1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
primefldgen1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
primefldgen1	⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

Proof of Theorem primefldgen1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝑎) ∈ DivRing))
2	1	simp2bi 1147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		primefldgen1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	3	subrg1cl 20515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝑎)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 1 ∈ 𝑎)
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → 1 ∈ 𝑎)
7	6	snssd 4753	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → { 1 } ⊆ 𝑎)
8	7	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
9		rabid2 3423	. . . 4 ⊢ ((SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎} ↔ ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
11	10	inteqd 4895	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
12		primefldgen1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		primefldgen1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
14	13	drngringd 20672	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	12, 3	ringidcl 20204	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
17	16	snssd 4753	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 1 } ⊆ 𝐵)
18	12, 13, 17	fldgenval 33378	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 fldGen { 1 }) = ∩ {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
19	11, 18	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ∩ (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ∩ cint 4890  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137   ↾_s cress 17158  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  SubRingcsubrg 20504  DivRingcdr 20664  SubDRingcsdrg 20721   fldGen cfldgen 33376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrg 20505  df-drng 20666  df-sdrg 20722  df-fldgen 33377

This theorem is referenced by: (None)