Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  primefldgen1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem primefldgen1 33290
Description: The prime field of a division ring is the subfield generated by the multiplicative identity element. In general, we should write "prime division ring", but since most later usages are in the case where the ambient ring is commutative, we keep the term "prime field". (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
primefldgen1.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
primefldgen1.1 1 = (1r𝑅)
primefldgen1.r (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
primefldgen1 (𝜑 (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))

Proof of Theorem primefldgen1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issdrg 20813 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝑎) ∈ DivRing))
21simp2bi 1146 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅))
3 primefldgen1.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
43subrg1cl 20610 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1𝑎)
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 1𝑎)
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → 1𝑎)
76snssd 4834 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅)) → { 1 } ⊆ 𝑎)
87ralrimiva 3152 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
9 rabid2 3478 . . . 4 ((SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎} ↔ ∀𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅){ 1 } ⊆ 𝑎)
108, 9sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
1110inteqd 4975 . 2 (𝜑 (SubDRing‘𝑅) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
12 primefldgen1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
13 primefldgen1.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
1413drngringd 20761 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1512, 3ringidcl 20291 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑1𝐵)
1716snssd 4834 . . 3 (𝜑 → { 1 } ⊆ 𝐵)
1812, 13, 17fldgenval 33281 . 2 (𝜑 → (𝑅 fldGen { 1 }) = {𝑎 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∣ { 1 } ⊆ 𝑎})
1911, 18eqtr4d 2783 1 (𝜑 (SubDRing‘𝑅) = (𝑅 fldGen { 1 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  {crab 3443  wss 3976  {csn 4648   cint 4970  cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  s cress 17289  1rcur 20210  Ringcrg 20262  SubRingcsubrg 20597  DivRingcdr 20753  SubDRingcsdrg 20811   fldGen cfldgen 33279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-mgp 20164  df-ur 20211  df-ring 20264  df-subrg 20599  df-drng 20755  df-sdrg 20812  df-fldgen 33280
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator