Theorem mplassa 20983

Description: The polynomial ring is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mplgrp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mplassa	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem mplassa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplgrp.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		crngring 19574	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
7	1, 2, 3, 4, 6	mplsubrg 20967	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
8	1, 2, 3, 4, 6	mpllss 20965	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
10	1, 4, 9	psrassa 20939	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
12	11	subrg1cl 19808	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
15	14	subrgss 19801	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
16	7, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
17	2, 1, 3	mplval2 20958	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
18		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
19	17, 18, 14, 11	issubassa 20828	. . 3 ⊢ (((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ AssAlg ∧ (1r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))))
20	10, 13, 16, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))))
21	7, 8, 20	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  1_rcur 19516  Ringcrg 19562  CRingccrg 19563  SubRingcsubrg 19796  LSubSpclss 19968  AssAlgcasa 20812   mPwSer cmps 20863   mPoly cmpl 20865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-assa 20815  df-psr 20868  df-mpl 20870

This theorem is referenced by:  mplmon2mul  21027  mplind  21028  evlslem1  21042  mpfind  21067  pf1ind  21271  selvval2lem1  39937  selvval2lem2  39938  selvval2lem4  39941  mhphf  39995