Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subrgchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgchr 32644
Description: If 𝐴 is a subring of 𝑅, then they have the same characteristic. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
subrgchr (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (chrβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (chrβ€˜π‘…))

Proof of Theorem subrgchr
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 20467 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
2 eqid 2732 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
32subrg1cl 20470 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
4 eqid 2732 . . . . 5 (𝑅 β†Ύs 𝐴) = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
5 eqid 2732 . . . . 5 (odβ€˜π‘…) = (odβ€˜π‘…)
6 eqid 2732 . . . . 5 (odβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (odβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
74, 5, 6subgod 19479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐴) β†’ ((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((odβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))β€˜(1rβ€˜π‘…)))
81, 3, 7syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((odβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))β€˜(1rβ€˜π‘…)))
94, 2subrg1 20472 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)))
109fveq2d 6895 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((odβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))β€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((odβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))β€˜(1rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))))
118, 10eqtr2d 2773 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((odβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))β€˜(1rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))) = ((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
12 eqid 2732 . . 3 (1rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (1rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
13 eqid 2732 . . 3 (chrβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (chrβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
146, 12, 13chrval 21296 . 2 ((odβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))β€˜(1rβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))) = (chrβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴))
15 eqid 2732 . . 3 (chrβ€˜π‘…) = (chrβ€˜π‘…)
165, 2, 15chrval 21296 . 2 ((odβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (chrβ€˜π‘…)
1711, 14, 163eqtr3g 2795 1 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (chrβ€˜(𝑅 β†Ύs 𝐴)) = (chrβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β†Ύs cress 17177  SubGrpcsubg 19036  odcod 19433  1rcur 20075  SubRingcsubrg 20457  chrcchr 21270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-od 19437  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-subrg 20459  df-chr 21274
This theorem is referenced by:  primefldchr  32657  fldextchr  33020  cnrrext  33276
  Copyright terms: Public domain W3C validator