Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subrgchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgchr 33242
Description: If 𝐴 is a subring of 𝑅, then they have the same characteristic. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
subrgchr (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (chr‘(𝑅s 𝐴)) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem subrgchr
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 20578 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2 eqid 2736 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
32subrg1cl 20581 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝐴)
4 eqid 2736 . . . . 5 (𝑅s 𝐴) = (𝑅s 𝐴)
5 eqid 2736 . . . . 5 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
6 eqid 2736 . . . . 5 (od‘(𝑅s 𝐴)) = (od‘(𝑅s 𝐴))
74, 5, 6subgod 19589 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴) → ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = ((od‘(𝑅s 𝐴))‘(1r𝑅)))
81, 3, 7syl2anc 584 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = ((od‘(𝑅s 𝐴))‘(1r𝑅)))
94, 2subrg1 20583 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) = (1r‘(𝑅s 𝐴)))
109fveq2d 6909 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((od‘(𝑅s 𝐴))‘(1r𝑅)) = ((od‘(𝑅s 𝐴))‘(1r‘(𝑅s 𝐴))))
118, 10eqtr2d 2777 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((od‘(𝑅s 𝐴))‘(1r‘(𝑅s 𝐴))) = ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)))
12 eqid 2736 . . 3 (1r‘(𝑅s 𝐴)) = (1r‘(𝑅s 𝐴))
13 eqid 2736 . . 3 (chr‘(𝑅s 𝐴)) = (chr‘(𝑅s 𝐴))
146, 12, 13chrval 21539 . 2 ((od‘(𝑅s 𝐴))‘(1r‘(𝑅s 𝐴))) = (chr‘(𝑅s 𝐴))
15 eqid 2736 . . 3 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
165, 2, 15chrval 21539 . 2 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = (chr‘𝑅)
1711, 14, 163eqtr3g 2799 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (chr‘(𝑅s 𝐴)) = (chr‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  s cress 17275  SubGrpcsubg 19139  odcod 19543  1rcur 20179  SubRingcsubrg 20570  chrcchr 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-od 19547  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrg 20571  df-chr 21517
This theorem is referenced by:  primefldchr  33304  fldextchr  33720  cnrrext  34012
  Copyright terms: Public domain W3C validator