MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply2 25743
Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. This version of taylply 25744 shows that the coefficients of 𝑇 are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylpfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylpfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylpfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
taylpfval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
taylply2.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
taylply2.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
taylply2.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
taylply2 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (Polyβ€˜π·) ∧ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   𝐷,π‘˜   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑇(π‘˜)

Proof of Theorem taylply2
Dummy variables 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 taylpfval.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 taylpfval.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 taylpfval.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 taylpfval.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
6 taylpfval.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylpfval 25740 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
8 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9 cnex 11139 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
11 elpm2r 8790 . . . . . . . . . . . 12 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
1210, 1, 2, 3, 11syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
13 dvnbss 25308 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)
141, 12, 4, 13syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)
152, 14fssdmd 6692 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† 𝐴)
16 recnprss 25284 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
183, 17sstrd 3959 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1915, 18sstrd 3959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† β„‚)
2019, 5sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2120adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
228, 21subcld 11519 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
23 df-idp 25566 . . . . . . . 8 Xp = ( I β†Ύ β„‚)
24 mptresid 6009 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ β„‚) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)
2523, 24eqtri 2765 . . . . . . 7 Xp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)
2625a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Xp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯))
27 fconstmpt 5699 . . . . . . 7 (β„‚ Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡)
2827a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡))
2910, 8, 21, 26, 28offval2 7642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ βˆ’ 𝐡)))
30 eqidd 2738 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))
31 oveq1 7369 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝐡) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))
3231oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝐡) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
3332sumeq2sdv 15596 . . . . 5 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝐡) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
3422, 29, 30, 33fmptco 7080 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
357, 34eqtr4d 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))))
36 taylply2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
37 cnfldbas 20816 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
3837subrgss 20239 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
3936, 38syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
40 taylply2.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ 𝐷)
4139, 4, 40elplyd 25579 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π·))
42 cnfld1 20838 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
4342subrg1cl 20246 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 1 ∈ 𝐷)
4436, 43syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
45 plyid 25586 . . . . . 6 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ 𝐷) β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜π·))
4639, 44, 45syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜π·))
47 taylply2.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
48 plyconst 25583 . . . . . 6 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) ∈ (Polyβ€˜π·))
4939, 47, 48syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) ∈ (Polyβ€˜π·))
50 subrgsubg 20244 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
5136, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
52 cnfldadd 20817 . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜β„‚fld)
5352subgcl 18945 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝐷)
54533expb 1121 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ (𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝐷)
5551, 54sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝐷)
56 cnfldmul 20818 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
5756subrgmcl 20250 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) ∈ 𝐷)
58573expb 1121 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) ∈ 𝐷)
5936, 58sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) ∈ 𝐷)
60 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
61 cnfldneg 20839 . . . . . . 7 (1 ∈ β„‚ β†’ ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜1) = -1)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜1) = -1
63 eqid 2737 . . . . . . . 8 (invgβ€˜β„‚fld) = (invgβ€˜β„‚fld)
6463subginvcl 18944 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 1 ∈ 𝐷) β†’ ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜1) ∈ 𝐷)
6551, 44, 64syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜1) ∈ 𝐷)
6662, 65eqeltrrid 2843 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝐷)
6746, 49, 55, 59, 66plysub 25596 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) ∈ (Polyβ€˜π·))
6841, 67, 55, 59plyco 25618 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) ∈ (Polyβ€˜π·))
6935, 68eqeltrd 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Polyβ€˜π·))
7035fveq2d 6851 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) = (degβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))))
71 eqid 2737 . . . . 5 (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) = (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))
72 eqid 2737 . . . . 5 (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) = (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))
7371, 72, 41, 67dgrco 25652 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))) = ((degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) Β· (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))))
74 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))
7574plyremlem 25680 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) β€œ {0}) = {𝐡}))
7620, 75syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) β€œ {0}) = {𝐡}))
7776simp2d 1144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) = 1)
7877oveq2d 7378 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) Β· (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))) = ((degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) Β· 1))
79 dgrcl 25610 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π·) β†’ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ∈ β„•0)
8041, 79syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ∈ β„•0)
8180nn0cnd 12482 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ∈ β„‚)
8281mulid1d 11179 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) Β· 1) = (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))))
8378, 82eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) Β· (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))) = (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))))
8470, 73, 833eqtrd 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) = (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))))
851adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
8612adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
87 elfznn0 13541 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8887adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
89 dvnf 25307 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
9085, 86, 88, 89syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
91 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
92 dvn2bss 25310 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
9385, 86, 91, 92syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
945adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
9593, 94sseldd 3950 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
9690, 95ffvelcdmd 7041 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) ∈ β„‚)
9788faccld 14191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
9897nncnd 12176 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9997nnne0d 12210 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) β‰  0)
10096, 98, 99divcld 11938 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
10141, 4, 100, 30dgrle 25620 . . 3 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ≀ 𝑁)
10284, 101eqbrtrd 5132 . 2 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁)
10369, 102jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (Polyβ€˜π·) ∧ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620   ↑pm cpm 8773  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  !cfa 14180  Ξ£csu 15577  invgcminusg 18756  SubGrpcsubg 18929  SubRingcsubrg 20234  β„‚fldccnfld 20812   D𝑛 cdvn 25244  Polycply 25561  Xpcidp 25562  degcdgr 25564   Tayl ctayl 25728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tsms 23494  df-xms 23689  df-ms 23690  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-dvn 25248  df-ply 25565  df-idp 25566  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-tayl 25730
This theorem is referenced by:  taylply  25744  taylthlem2  25749
  Copyright terms: Public domain W3C validator