MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply2 26113
Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. This version of taylply 26114 shows that the coefficients of 𝑇 are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
taylpfval.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
taylpfval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
taylpfval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
taylpfval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
taylply2.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
taylply2.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
taylply2.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
taylply2 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (Polyβ€˜π·) ∧ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   𝐷,π‘˜   𝑆,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑇(π‘˜)

Proof of Theorem taylply2
Dummy variables 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 taylpfval.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3 taylpfval.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
4 taylpfval.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 taylpfval.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
6 taylpfval.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylpfval 26110 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9 cnex 11194 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
11 elpm2r 8842 . . . . . . . . . . . 12 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
1210, 1, 2, 3, 11syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
13 dvnbss 25678 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)
141, 12, 4, 13syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom 𝐹)
152, 14fssdmd 6737 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† 𝐴)
16 recnprss 25654 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
183, 17sstrd 3993 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
1915, 18sstrd 3993 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† β„‚)
2019, 5sseldd 3984 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
228, 21subcld 11576 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
23 df-idp 25936 . . . . . . . 8 Xp = ( I β†Ύ β„‚)
24 mptresid 6051 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ β„‚) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)
2523, 24eqtri 2759 . . . . . . 7 Xp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯)
2625a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Xp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯))
27 fconstmpt 5739 . . . . . . 7 (β„‚ Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡)
2827a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝐡))
2910, 8, 21, 26, 28offval2 7693 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ βˆ’ 𝐡)))
30 eqidd 2732 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))
31 oveq1 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝐡) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) = ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))
3231oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝐡) β†’ (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
3332sumeq2sdv 15655 . . . . 5 (𝑦 = (π‘₯ βˆ’ 𝐡) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜)))
3422, 29, 30, 33fmptco 7130 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· ((π‘₯ βˆ’ 𝐡)β†‘π‘˜))))
357, 34eqtr4d 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 = ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))))
36 taylply2.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
37 cnfldbas 21149 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
3837subrgss 20463 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
3936, 38syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
40 taylply2.3 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ 𝐷)
4139, 4, 40elplyd 25949 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π·))
42 cnfld1 21171 . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
4342subrg1cl 20471 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 1 ∈ 𝐷)
4436, 43syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐷)
45 plyid 25956 . . . . . 6 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ 𝐷) β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜π·))
4639, 44, 45syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Xp ∈ (Polyβ€˜π·))
47 taylply2.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
48 plyconst 25953 . . . . . 6 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝐷) β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) ∈ (Polyβ€˜π·))
4939, 47, 48syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐡}) ∈ (Polyβ€˜π·))
50 subrgsubg 20468 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
5136, 50syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
52 cnfldadd 21150 . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜β„‚fld)
5352subgcl 19053 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝐷)
54533expb 1119 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ (𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝐷)
5551, 54sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ 𝐷)
56 cnfldmul 21151 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
5756subrgmcl 20475 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) ∈ 𝐷)
58573expb 1119 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) ∈ 𝐷)
5936, 58sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) ∈ 𝐷)
60 ax-1cn 11171 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
61 cnfldneg 21172 . . . . . . 7 (1 ∈ β„‚ β†’ ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜1) = -1)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜1) = -1
63 eqid 2731 . . . . . . . 8 (invgβ€˜β„‚fld) = (invgβ€˜β„‚fld)
6463subginvcl 19052 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 1 ∈ 𝐷) β†’ ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜1) ∈ 𝐷)
6551, 44, 64syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜1) ∈ 𝐷)
6662, 65eqeltrrid 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝐷)
6746, 49, 55, 59, 66plysub 25966 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) ∈ (Polyβ€˜π·))
6841, 67, 55, 59plyco 25988 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) ∈ (Polyβ€˜π·))
6935, 68eqeltrd 2832 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Polyβ€˜π·))
7035fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) = (degβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))))
71 eqid 2731 . . . . 5 (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) = (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))
72 eqid 2731 . . . . 5 (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) = (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))
7371, 72, 41, 67dgrco 26022 . . . 4 (πœ‘ β†’ (degβ€˜((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∘ (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))) = ((degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) Β· (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))))
74 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))
7574plyremlem 26050 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„‚ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) β€œ {0}) = {𝐡}))
7620, 75syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) = 1 ∧ (β—‘(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})) β€œ {0}) = {𝐡}))
7776simp2d 1142 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡}))) = 1)
7877oveq2d 7428 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) Β· (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))) = ((degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) Β· 1))
79 dgrcl 25980 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) ∈ (Polyβ€˜π·) β†’ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ∈ β„•0)
8041, 79syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ∈ β„•0)
8180nn0cnd 12539 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ∈ β„‚)
8281mulridd 11236 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) Β· 1) = (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))))
8378, 82eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) Β· (degβ€˜(Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐡})))) = (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))))
8470, 73, 833eqtrd 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) = (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))))
851adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
8612adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
87 elfznn0 13599 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8887adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
89 dvnf 25677 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
9085, 86, 88, 89syl3anc 1370 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)βŸΆβ„‚)
91 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
92 dvn2bss 25680 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
9385, 86, 91, 92syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘) βŠ† dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
945adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘))
9593, 94sseldd 3984 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐡 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜))
9690, 95ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) ∈ β„‚)
9788faccld 14249 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„•)
9897nncnd 12233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9997nnne0d 12267 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘˜) β‰  0)
10096, 98, 99divcld 11995 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
10141, 4, 100, 30dgrle 25990 . . 3 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑦 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)β€˜π‘˜)β€˜π΅) / (!β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ≀ 𝑁)
10284, 101eqbrtrd 5171 . 2 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁)
10369, 102jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (Polyβ€˜π·) ∧ (degβ€˜π‘‡) ≀ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∘f cof 7671   ↑pm cpm 8824  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  β„•0cn0 12477  ...cfz 13489  β†‘cexp 14032  !cfa 14238  Ξ£csu 15637  invgcminusg 18857  SubGrpcsubg 19037  SubRingcsubrg 20458  β„‚fldccnfld 21145   D𝑛 cdvn 25614  Polycply 25931  Xpcidp 25932  degcdgr 25934   Tayl ctayl 26098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-tsms 23852  df-xms 24047  df-ms 24048  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617  df-dvn 25618  df-ply 25935  df-idp 25936  df-coe 25937  df-dgr 25938  df-tayl 26100
This theorem is referenced by:  taylply  26114  taylthlem2  26119
  Copyright terms: Public domain W3C validator