Theorem taylply2 26427

Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. This version of taylply 26429 shows that the coefficients of 𝑇 are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.) Avoid ax-mulf 11264. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylpfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylpfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylply2.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
taylply2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
taylply2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
taylply2	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐷,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylply2

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylpfval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		taylpfval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		taylpfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		taylpfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		taylpfval.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6		taylpfval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	taylpfval 26424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		cnex 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
11		elpm2r 8903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
12	10, 1, 2, 3, 11	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13		dvnbss 25984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
14	1, 12, 4, 13	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
15	2, 14	fssdmd 6765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
16		recnprss 25959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18	3, 17	sstrd 4019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
19	15, 18	sstrd 4019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
20	19, 5	sseldd 4009	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	8, 21	subcld 11647	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
23		df-idp 26248	. . . . . . . 8 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
24		mptresid 6080	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
25	23, 24	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
27		fconstmpt 5762	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
29	10, 8, 21, 26, 28	offval2 7734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝐵)))
30		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))
31		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑦↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
32	31	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
33	32	sumeq2sdv 15751	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
34	22, 29, 30, 33	fmptco 7163	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
35	7, 34	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))))
36		taylply2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
37		cnfldbas 21391	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
38	37	subrgss 20600	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ⊆ ℂ)
39	36, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
40		taylply2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
41	39, 4, 40	elplyd 26261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷))
42		cnfld1 21429	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
43	42	subrg1cl 20608	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝐷)
44	36, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
45		plyid 26268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐷) → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
46	39, 44, 45	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
47		taylply2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
48		plyconst 26265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
49	39, 47, 48	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
50		subrgsubg 20605	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
51	36, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
52		cnfldadd 21393	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
53	52	subgcl 19176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
54	53	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
55	51, 54	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
56	38	sseld 4007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → 𝑢 ∈ ℂ))
57	56	a1dd 50	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑢 ∈ ℂ)))
58	57	3imp 1111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑢 ∈ ℂ)
59	38	sseld 4007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ))
60	59	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ)))
61	60	3imp 1111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑣 ∈ ℂ)
62		ovmpot 7611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
63	58, 61, 62	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
64		mpocnfldmul 21394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
65	64	subrgmcl 20612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ 𝐷)
66	63, 65	eqeltrrd 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
67	66	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
68	36, 67	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
69		ax-1cn 11242	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		cnfldneg 21431	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘1) = -1)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘ℂfld)‘1) = -1
72		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
73	72	subginvcl 19175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐷) → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
74	51, 44, 73	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
75	71, 74	eqeltrrid 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝐷)
76	46, 49, 55, 68, 75	plysub 26278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘𝐷))
77	41, 76, 55, 68	plyco 26300	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) ∈ (Poly‘𝐷))
78	35, 77	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Poly‘𝐷))
79	35	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))))
80		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))
81		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))
82	80, 81, 41, 76	dgrco 26335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))))
83		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))
84	83	plyremlem 26364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
85	20, 84	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
86	85	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1)
87	86	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · 1))
88		dgrcl 26292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℕ0)
89	41, 88	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℕ0)
90	89	nn0cnd 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℂ)
91	90	mulridd 11307	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · 1) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
92	87, 91	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
93	79, 82, 92	3eqtrd 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
94		elfznn0 13677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
95		dvnf 25983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
96	1, 12, 94, 95	syl2an3an 1422	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
97		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
98		dvn2bss 25986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
99	1, 12, 97, 98	syl2an3an 1422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
100	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
101	99, 100	sseldd 4009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
102	96, 101	ffvelcdmd 7119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
103	94	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
104	103	faccld 14333	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
105	104	nncnd 12309	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
106	104	nnne0d 12343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
107	102, 105, 106	divcld 12070	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
108	41, 4, 107, 30	dgrle 26302	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ≤ 𝑁)
109	93, 108	eqbrtrd 5188	. 2 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ 𝑁)
110	78, 109	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648  {cpr 4650   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   I cid 5592   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700   ↾ cres 5702   “ cima 5703   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   ∘_f cof 7712   ↑_pm cpm 8885  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  !cfa 14322  Σcsu 15734  inv_gcminusg 18974  SubGrpcsubg 19160  SubRingcsubrg 20595  ℂ_fldccnfld 21387   D^𝑛 cdvn 25919  Polycply 26243  X_pcidp 26244  degcdgr 26246   Tayl ctayl 26412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tsms 24156  df-xms 24351  df-ms 24352  df-0p 25724  df-limc 25921  df-dv 25922  df-dvn 25923  df-ply 26247  df-idp 26248  df-coe 26249  df-dgr 26250  df-tayl 26414

This theorem is referenced by:  taylply  26429  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435