MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply2 26315
Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. This version of taylply 26317 shows that the coefficients of 𝑇 are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.) Avoid ax-mulf 11219. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylpfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylply2.1 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
taylply2.2 (𝜑𝐵𝐷)
taylply2.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
taylply2 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐷,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylply2
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 taylpfval.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 taylpfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 taylpfval.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 taylpfval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6 taylpfval.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylpfval 26312 . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 cnex 11220 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ V)
11 elpm2r 8864 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1210, 1, 2, 3, 11syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13 dvnbss 25871 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
141, 12, 4, 13syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
152, 14fssdmd 6741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
16 recnprss 25846 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
183, 17sstrd 3990 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1915, 18sstrd 3990 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
2019, 5sseldd 3981 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
228, 21subcld 11602 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
23 df-idp 26136 . . . . . . . 8 Xp = ( I ↾ ℂ)
24 mptresid 6054 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
2523, 24eqtri 2756 . . . . . . 7 Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
27 fconstmpt 5740 . . . . . . 7 (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
2910, 8, 21, 26, 28offval2 7705 . . . . 5 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {𝐵})) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵)))
30 eqidd 2729 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))))
31 oveq1 7427 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
3231oveq2d 7436 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3332sumeq2sdv 15683 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3422, 29, 30, 33fmptco 7138 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
357, 34eqtr4d 2771 . . 3 (𝜑𝑇 = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵}))))
36 taylply2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
37 cnfldbas 21283 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
3837subrgss 20511 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ⊆ ℂ)
3936, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
40 taylply2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
4139, 4, 40elplyd 26149 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷))
42 cnfld1 21321 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
4342subrg1cl 20519 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝐷)
4436, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
45 plyid 26156 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐷) → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
4639, 44, 45syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑Xp ∈ (Poly‘𝐷))
47 taylply2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
48 plyconst 26153 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐷) → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
4939, 47, 48syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
50 subrgsubg 20516 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
5136, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
52 cnfldadd 21285 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
5352subgcl 19091 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
54533expb 1118 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
5551, 54sylan 579 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
5638sseld 3979 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢𝐷𝑢 ∈ ℂ))
5756a1dd 50 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢𝐷 → (𝑣𝐷𝑢 ∈ ℂ)))
58573imp 1109 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → 𝑢 ∈ ℂ)
5938sseld 3979 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑣𝐷𝑣 ∈ ℂ))
6059a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢𝐷 → (𝑣𝐷𝑣 ∈ ℂ)))
61603imp 1109 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → 𝑣 ∈ ℂ)
62 ovmpot 7582 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
6358, 61, 62syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
64 mpocnfldmul 21286 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
6564subrgmcl 20523 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ 𝐷)
6663, 65eqeltrrd 2830 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
67663expb 1118 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
6836, 67sylan 579 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
69 ax-1cn 11197 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
70 cnfldneg 21323 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘1) = -1)
7169, 70ax-mp 5 . . . . . 6 ((invg‘ℂfld)‘1) = -1
72 eqid 2728 . . . . . . . 8 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
7372subginvcl 19090 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐷) → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
7451, 44, 73syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
7571, 74eqeltrrid 2834 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ 𝐷)
7646, 49, 55, 68, 75plysub 26166 . . . 4 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘𝐷))
7741, 76, 55, 68plyco 26188 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵}))) ∈ (Poly‘𝐷))
7835, 77eqeltrd 2829 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (Poly‘𝐷))
7935fveq2d 6901 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵})))))
80 eqid 2728 . . . . 5 (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))))
81 eqid 2728 . . . . 5 (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))
8280, 81, 41, 76dgrco 26223 . . . 4 (𝜑 → (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))))
83 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Xpf − (ℂ × {𝐵})) = (Xpf − (ℂ × {𝐵}))
8483plyremlem 26252 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
8520, 84syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
8685simp2d 1141 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = 1)
8786oveq2d 7436 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · 1))
88 dgrcl 26180 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℕ0)
8941, 88syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℕ0)
9089nn0cnd 12565 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℂ)
9190mulridd 11262 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · 1) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
9287, 91eqtrd 2768 . . . 4 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
9379, 82, 923eqtrd 2772 . . 3 (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
94 elfznn0 13627 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
95 dvnf 25870 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
961, 12, 94, 95syl2an3an 1420 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
97 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
98 dvn2bss 25873 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
991, 12, 97, 98syl2an3an 1420 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
1005adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
10199, 100sseldd 3981 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
10296, 101ffvelcdmd 7095 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
10394adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
104103faccld 14276 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
105104nncnd 12259 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
106104nnne0d 12293 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
107102, 105, 106divcld 12021 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10841, 4, 107, 30dgrle 26190 . . 3 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ≤ 𝑁)
10993, 108eqbrtrd 5170 . 2 (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ 𝑁)
11078, 109jca 511 1 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471  wss 3947  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5575   × cxp 5676  ccnv 5677  dom cdm 5678  cres 5680  cima 5681  ccom 5682  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  cmpo 7422  f cof 7683  pm cpm 8846  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144  cle 11280  cmin 11475  -cneg 11476   / cdiv 11902  0cn0 12503  ...cfz 13517  cexp 14059  !cfa 14265  Σcsu 15665  invgcminusg 18891  SubGrpcsubg 19075  SubRingcsubrg 20506  fldccnfld 21279   D𝑛 cdvn 25806  Polycply 26131  Xpcidp 26132  degcdgr 26134   Tayl ctayl 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-tsms 24044  df-xms 24239  df-ms 24240  df-0p 25612  df-limc 25808  df-dv 25809  df-dvn 25810  df-ply 26135  df-idp 26136  df-coe 26137  df-dgr 26138  df-tayl 26302
This theorem is referenced by:  taylply  26317  taylthlem2  26322  taylthlem2OLD  26323
  Copyright terms: Public domain W3C validator