Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  taylply2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem taylply2 24973
 Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. This version of taylply 24974 shows that the coefficients of 𝑇 are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
taylpfval.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a (𝜑𝐴𝑆)
taylpfval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylply2.1 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
taylply2.2 (𝜑𝐵𝐷)
taylply2.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
taylply2 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐷,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylply2
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylpfval.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 taylpfval.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 taylpfval.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
4 taylpfval.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 taylpfval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6 taylpfval.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6taylpfval 24970 . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
8 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 cnex 10610 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ V)
11 elpm2r 8410 . . . . . . . . . . . 12 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
1210, 1, 2, 3, 11syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13 dvnbss 24541 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
141, 12, 4, 13syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
152, 14fssdmd 6504 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
16 recnprss 24517 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
183, 17sstrd 3925 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1915, 18sstrd 3925 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
2019, 5sseldd 3916 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2120adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
228, 21subcld 10989 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
23 df-idp 24796 . . . . . . . 8 Xp = ( I ↾ ℂ)
24 mptresid 5886 . . . . . . . 8 ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
2523, 24eqtri 2821 . . . . . . 7 Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
27 fconstmpt 5579 . . . . . . 7 (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
2910, 8, 21, 26, 28offval2 7409 . . . . 5 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {𝐵})) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝐵)))
30 eqidd 2799 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))))
31 oveq1 7143 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (𝑦𝑘) = ((𝑥𝐵)↑𝑘))
3231oveq2d 7152 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑥𝐵) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3332sumeq2sdv 15056 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘)))
3422, 29, 30, 33fmptco 6869 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥𝐵)↑𝑘))))
357, 34eqtr4d 2836 . . 3 (𝜑𝑇 = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵}))))
36 taylply2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
37 cnfldbas 20099 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
3837subrgss 19533 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ⊆ ℂ)
3936, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
40 taylply2.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
4139, 4, 40elplyd 24809 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷))
42 cnfld1 20120 . . . . . . . 8 1 = (1r‘ℂfld)
4342subrg1cl 19540 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝐷)
4436, 43syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
45 plyid 24816 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐷) → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
4639, 44, 45syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑Xp ∈ (Poly‘𝐷))
47 taylply2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
48 plyconst 24813 . . . . . 6 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐷) → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
4939, 47, 48syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
50 subrgsubg 19538 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
5136, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
52 cnfldadd 20100 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
5352subgcl 18285 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
54533expb 1117 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
5551, 54sylan 583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
56 cnfldmul 20101 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
5756subrgmcl 19544 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢𝐷𝑣𝐷) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
58573expb 1117 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
5936, 58sylan 583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐷𝑣𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
60 ax-1cn 10587 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
61 cnfldneg 20121 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘1) = -1)
6260, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ((invg‘ℂfld)‘1) = -1
63 eqid 2798 . . . . . . . 8 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
6463subginvcl 18284 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐷) → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
6551, 44, 64syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
6662, 65eqeltrrid 2895 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ 𝐷)
6746, 49, 55, 59, 66plysub 24826 . . . 4 (𝜑 → (Xpf − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘𝐷))
6841, 67, 55, 59plyco 24848 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵}))) ∈ (Poly‘𝐷))
6935, 68eqeltrd 2890 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (Poly‘𝐷))
7035fveq2d 6650 . . . 4 (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵})))))
71 eqid 2798 . . . . 5 (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))))
72 eqid 2798 . . . . 5 (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))
7371, 72, 41, 67dgrco 24882 . . . 4 (𝜑 → (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∘ (Xpf − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))))
74 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (Xpf − (ℂ × {𝐵})) = (Xpf − (ℂ × {𝐵}))
7574plyremlem 24910 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
7620, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ ((Xpf − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
7776simp2d 1140 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵}))) = 1)
7877oveq2d 7152 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · 1))
79 dgrcl 24840 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℕ0)
8041, 79syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 11948 . . . . . 6 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ∈ ℂ)
8281mulid1d 10650 . . . . 5 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · 1) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
8378, 82eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) · (deg‘(Xpf − (ℂ × {𝐵})))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
8470, 73, 833eqtrd 2837 . . 3 (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))))
851adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8612adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
87 elfznn0 12998 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8887adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
89 dvnf 24540 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
9085, 86, 88, 89syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
91 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
92 dvn2bss 24543 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9385, 86, 91, 92syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
945adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
9593, 94sseldd 3916 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
9690, 95ffvelrnd 6830 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
9788faccld 13643 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
9897nncnd 11644 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
9997nnne0d 11678 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
10096, 98, 99divcld 11408 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10141, 4, 100, 30dgrle 24850 . . 3 (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ≤ 𝑁)
10284, 101eqbrtrd 5053 . 2 (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ 𝑁)
10369, 102jca 515 1 (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111   I cid 5425   × cxp 5518  ◡ccnv 5519  dom cdm 5520   ↾ cres 5522   “ cima 5523   ∘ ccom 5524  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∘f cof 7389   ↑pm cpm 8393  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   ≤ cle 10668   − cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  ℕ0cn0 11888  ...cfz 12888  ↑cexp 13428  !cfa 13632  Σcsu 15037  invgcminusg 18099  SubGrpcsubg 18269  SubRingcsubrg 19528  ℂfldccnfld 20095   D𝑛 cdvn 24477  Polycply 24791  Xpcidp 24792  degcdgr 24794   Tayl ctayl 24958 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13429  df-fac 13633  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-subg 18272  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-subrg 19530  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21509  df-topon 21526  df-topsp 21548  df-bases 21561  df-cld 21634  df-ntr 21635  df-cls 21636  df-nei 21713  df-lp 21751  df-perf 21752  df-cnp 21843  df-haus 21930  df-fil 22461  df-fm 22553  df-flim 22554  df-flf 22555  df-tsms 22742  df-xms 22937  df-ms 22938  df-0p 24284  df-limc 24479  df-dv 24480  df-dvn 24481  df-ply 24795  df-idp 24796  df-coe 24797  df-dgr 24798  df-tayl 24960 This theorem is referenced by:  taylply  24974  taylthlem2  24979
 Copyright terms: Public domain W3C validator