Theorem taylply2 26312

Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. This version of taylply 26314 shows that the coefficients of 𝑇 are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.) Avoid ax-mulf 11201. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylpfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylpfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylply2.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
taylply2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
taylply2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
taylply2	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐷,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylply2

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylpfval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		taylpfval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		taylpfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		taylpfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		taylpfval.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6		taylpfval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	taylpfval 26309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		cnex 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
11		elpm2r 8853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
12	10, 1, 2, 3, 11	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13		dvnbss 25867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
14	1, 12, 4, 13	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
15	2, 14	fssdmd 6720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
16		recnprss 25842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18	3, 17	sstrd 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
19	15, 18	sstrd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
20	19, 5	sseldd 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	8, 21	subcld 11586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
23		df-idp 26131	. . . . . . . 8 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
24		mptresid 6035	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
25	23, 24	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
27		fconstmpt 5713	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
29	10, 8, 21, 26, 28	offval2 7685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝐵)))
30		eqidd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))
31		oveq1 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑦↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
32	31	oveq2d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
33	32	sumeq2sdv 15706	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
34	22, 29, 30, 33	fmptco 7115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
35	7, 34	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))))
36		taylply2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
37		cnfldbas 21304	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
38	37	subrgss 20517	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ⊆ ℂ)
39	36, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
40		taylply2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
41	39, 4, 40	elplyd 26144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷))
42		cnfld1 21341	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
43	42	subrg1cl 20525	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝐷)
44	36, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
45		plyid 26151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐷) → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
46	39, 44, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
47		taylply2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
48		plyconst 26148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
49	39, 47, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
50		subrgsubg 20522	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
51	36, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
52		cnfldadd 21306	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
53	52	subgcl 19104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
54	53	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
55	51, 54	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
56	38	sseld 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → 𝑢 ∈ ℂ))
57	56	a1dd 50	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑢 ∈ ℂ)))
58	57	3imp 1110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑢 ∈ ℂ)
59	38	sseld 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ))
60	59	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ)))
61	60	3imp 1110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑣 ∈ ℂ)
62		ovmpot 7562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
63	58, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
64		mpocnfldmul 21307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
65	64	subrgmcl 20529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ 𝐷)
66	63, 65	eqeltrrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
67	66	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
68	36, 67	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
69		ax-1cn 11179	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		cnfldneg 21343	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘1) = -1)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘ℂfld)‘1) = -1
72		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
73	72	subginvcl 19103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐷) → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
74	51, 44, 73	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
75	71, 74	eqeltrrid 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝐷)
76	46, 49, 55, 68, 75	plysub 26161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘𝐷))
77	41, 76, 55, 68	plyco 26183	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) ∈ (Poly‘𝐷))
78	35, 77	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Poly‘𝐷))
79	35	fveq2d 6876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))))
80		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))
81		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))
82	80, 81, 41, 76	dgrco 26218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))))
83		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))
84	83	plyremlem 26249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
85	20, 84	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
86	85	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1)
87	86	oveq2d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · 1))
88		dgrcl 26175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℕ0)
89	41, 88	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℕ0)
90	89	nn0cnd 12556	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℂ)
91	90	mulridd 11244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · 1) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
92	87, 91	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
93	79, 82, 92	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
94		elfznn0 13626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
95		dvnf 25866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
96	1, 12, 94, 95	syl2an3an 1423	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
97		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
98		dvn2bss 25869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
99	1, 12, 97, 98	syl2an3an 1423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
100	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
101	99, 100	sseldd 3957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
102	96, 101	ffvelcdmd 7071	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
103	94	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
104	103	faccld 14290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
105	104	nncnd 12248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
106	104	nnne0d 12282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
107	102, 105, 106	divcld 12009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
108	41, 4, 107, 30	dgrle 26185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ≤ 𝑁)
109	93, 108	eqbrtrd 5138	. 2 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ 𝑁)
110	78, 109	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457   ⊆ wss 3924  {csn 4599  {cpr 4601   class class class wbr 5116   ↦ cmpt 5198   I cid 5544   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   ↾ cres 5653   “ cima 5654   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399   ∈ cmpo 7401   ∘_f cof 7663   ↑_pm cpm 8835  ℂcc 11119  ℝcr 11120  0cc0 11121  1c1 11122   + caddc 11124   · cmul 11126   ≤ cle 11262   − cmin 11458  -cneg 11459   / cdiv 11886  ℕ₀cn0 12493  ...cfz 13513  ↑cexp 14068  !cfa 14279  Σcsu 15689  inv_gcminusg 18902  SubGrpcsubg 19088  SubRingcsubrg 20514  ℂ_fldccnfld 21300   D^𝑛 cdvn 25802  Polycply 26126  X_pcidp 26127  degcdgr 26129   Tayl ctayl 26297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-inf2 9647  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199  ax-addf 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-fi 9417  df-sup 9448  df-inf 9449  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13120  df-xadd 13121  df-xmul 13122  df-icc 13360  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13798  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14280  df-hash 14337  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-starv 17271  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-unif 17279  df-rest 17421  df-topn 17422  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-topgen 17442  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-subg 19091  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22817  df-topon 22834  df-topsp 22856  df-bases 22869  df-cld 22942  df-ntr 22943  df-cls 22944  df-nei 23021  df-lp 23059  df-perf 23060  df-cnp 23151  df-haus 23238  df-fil 23769  df-fm 23861  df-flim 23862  df-flf 23863  df-tsms 24050  df-xms 24244  df-ms 24245  df-0p 25608  df-limc 25804  df-dv 25805  df-dvn 25806  df-ply 26130  df-idp 26131  df-coe 26132  df-dgr 26133  df-tayl 26299

This theorem is referenced by:  taylply  26314  taylthlem2  26319  taylthlem2OLD  26320