Theorem taylply2 26433

Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. This version of taylply 26434 shows that the coefficients of 𝑇 are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.) Avoid ax-mulf 11155. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylpfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylpfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylply2.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
taylply2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
taylply2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
taylply2	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐷,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylply2

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylpfval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		taylpfval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		taylpfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		taylpfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		taylpfval.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6		taylpfval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	taylpfval 26430	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
8		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		cnex 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
11		elpm2r 8828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
12	10, 1, 2, 3, 11	syl22anc 849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13		dvnbss 25992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
14	1, 12, 4, 13	syl3anc 1392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
15	2, 14	fssdmd 6712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
16		recnprss 25968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18	3, 17	sstrd 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
19	15, 18	sstrd 3948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
20	19, 5	sseldd 3939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	8, 21	subcld 11544	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
23		df-idp 26251	. . . . . . . 8 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
24		mptresid 6042	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
25	23, 24	eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
27		fconstmpt 5711	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
29	10, 8, 21, 26, 28	offval2 7682	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝐵)))
30		eqidd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))
31		oveq1 7405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑦↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
32	31	oveq2d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
33	32	sumeq2sdv 15732	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
34	22, 29, 30, 33	fmptco 7113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
35	7, 34	eqtr4d 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))))
36		taylply2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
37		cnfldbas 21430	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
38	37	subrgss 20624	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ⊆ ℂ)
39	36, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
40		taylply2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
41	39, 4, 40	elplyd 26264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷))
42		cnfld1 21451	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
43	42	subrg1cl 20632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝐷)
44	36, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
45		plyid 26271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐷) → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
46	39, 44, 45	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
47		taylply2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
48		plyconst 26268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
49	39, 47, 48	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
50		subrgsubg 20629	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
51	36, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
52		cnfldadd 21432	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
53	52	subgcl 19180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
54	53	3expb 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
55	51, 54	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
56	38	sseld 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → 𝑢 ∈ ℂ))
57	56	a1dd 50	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑢 ∈ ℂ)))
58	57	3imp 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑢 ∈ ℂ)
59	38	sseld 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ))
60	59	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ)))
61	60	3imp 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑣 ∈ ℂ)
62		ovmpot 7559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
63	58, 61, 62	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
64		mpocnfldmul 21433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
65	64	subrgmcl 20636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ 𝐷)
66	63, 65	eqeltrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
67	66	3expb 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
68	36, 67	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
69		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		cnfldneg 21452	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘1) = -1)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘ℂfld)‘1) = -1
72		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
73	72	subginvcl 19179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐷) → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
74	51, 44, 73	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
75	71, 74	eqeltrrid 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝐷)
76	46, 49, 55, 68, 75	plysub 26281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘𝐷))
77	41, 76, 55, 68	plyco 26303	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) ∈ (Poly‘𝐷))
78	35, 77	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Poly‘𝐷))
79	35	fveq2d 6873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))))
80		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))
81		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))
82	80, 81, 41, 76	dgrco 26337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))))
83		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))
84	83	plyremlem 26370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
85	20, 84	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
86	85	simp2d 1157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1)
87	86	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · 1))
88		dgrcl 26295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℕ0)
89	41, 88	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℕ0)
90	89	nn0cnd 12546	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℂ)
91	90	mulridd 11201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · 1) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
92	87, 91	eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
93	79, 82, 92	3eqtrd 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
94		elfznn0 13627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
95		dvnf 25991	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
96	1, 12, 94, 95	syl2an3an 1443	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
97		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
98		dvn2bss 25994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
99	1, 12, 97, 98	syl2an3an 1443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
100	5	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
101	99, 100	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
102	96, 101	ffvelcdmd 7068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
103	94	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
104	103	faccld 14299	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
105	104	nncnd 12228	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
106	104	nnne0d 12265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
107	102, 105, 106	divcld 11969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
108	41, 4, 107, 30	dgrle 26305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ≤ 𝑁)
109	93, 108	eqbrtrd 5124	. 2 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ 𝑁)
110	78, 109	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   I cid 5543   × cxp 5647  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649   ↾ cres 5651   “ cima 5652   ∘ ccom 5653  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400   ∘_f cof 7660   ↑_pm cpm 8811  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   ≤ cle 11219   − cmin 11416  -cneg 11417   / cdiv 11846  ℕ₀cn0 12483  ...cfz 13514  ↑cexp 14076  !cfa 14288  Σcsu 15715  inv_gcminusg 18978  SubGrpcsubg 19164  SubRingcsubrg 20621  ℂ_fldccnfld 21426   D^𝑛 cdvn 25928  Polycply 26246  X_pcidp 26247  degcdgr 26249   Tayl ctayl 26418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14289  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-fbas 21423  df-fg 21424  df-cnfld 21427  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-cld 23081  df-ntr 23082  df-cls 23083  df-nei 23160  df-lp 23198  df-perf 23199  df-cnp 23290  df-haus 23377  df-fil 23908  df-fm 24000  df-flim 24001  df-flf 24002  df-tsms 24189  df-xms 24382  df-ms 24383  df-0p 25734  df-limc 25930  df-dv 25931  df-dvn 25932  df-ply 26250  df-idp 26251  df-coe 26252  df-dgr 26253  df-tayl 26420

This theorem is referenced by:  taylply  26434  taylthlem2  26439