Theorem taylply2 26424

Description: The Taylor polynomial is a polynomial of degree (at most) 𝑁. This version of taylply 26426 shows that the coefficients of 𝑇 are in a subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.) Avoid ax-mulf 11233. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
taylpfval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
taylpfval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
taylpfval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
taylpfval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
taylpfval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
taylpfval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
taylply2.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
taylply2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
taylply2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
taylply2	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝐷,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑇(𝑘)

Proof of Theorem taylply2

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		taylpfval.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2		taylpfval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3		taylpfval.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑆)
4		taylpfval.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		taylpfval.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
6		taylpfval.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	taylpfval 26421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		cnex 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
11		elpm2r 8884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
12	10, 1, 2, 3, 11	syl22anc 839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
13		dvnbss 25979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
14	1, 12, 4, 13	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom 𝐹)
15	2, 14	fssdmd 6755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ 𝐴)
16		recnprss 25954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
18	3, 17	sstrd 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
19	15, 18	sstrd 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ ℂ)
20	19, 5	sseldd 3996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	8, 21	subcld 11618	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
23		df-idp 26243	. . . . . . . 8 ⊢ Xp = ( I ↾ ℂ)
24		mptresid 6071	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ ℂ) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
25	23, 24	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Xp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
27		fconstmpt 5751	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵)
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐵))
29	10, 8, 21, 26, 28	offval2 7717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 − 𝐵)))
30		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))
31		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (𝑦↑𝑘) = ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))
32	31	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
33	32	sumeq2sdv 15736	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘)))
34	22, 29, 30, 33	fmptco 7149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · ((𝑥 − 𝐵)↑𝑘))))
35	7, 34	eqtr4d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))))
36		taylply2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld))
37		cnfldbas 21386	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
38	37	subrgss 20589	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ⊆ ℂ)
39	36, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
40		taylply2.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ 𝐷)
41	39, 4, 40	elplyd 26256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷))
42		cnfld1 21424	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
43	42	subrg1cl 20597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝐷)
44	36, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
45		plyid 26263	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐷) → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
46	39, 44, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Xp ∈ (Poly‘𝐷))
47		taylply2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
48		plyconst 26260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
49	39, 47, 48	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) ∈ (Poly‘𝐷))
50		subrgsubg 20594	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
51	36, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
52		cnfldadd 21388	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
53	52	subgcl 19167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
54	53	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
55	51, 54	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝐷)
56	38	sseld 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → 𝑢 ∈ ℂ))
57	56	a1dd 50	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑢 ∈ ℂ)))
58	57	3imp 1110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑢 ∈ ℂ)
59	38	sseld 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ))
60	59	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑢 ∈ 𝐷 → (𝑣 ∈ 𝐷 → 𝑣 ∈ ℂ)))
61	60	3imp 1110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → 𝑣 ∈ ℂ)
62		ovmpot 7594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
63	58, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) = (𝑢 · 𝑣))
64		mpocnfldmul 21389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (.r‘ℂfld)
65	64	subrgmcl 20601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢(𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))𝑣) ∈ 𝐷)
66	63, 65	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
67	66	3expb 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
68	36, 67	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐷 ∧ 𝑣 ∈ 𝐷)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ 𝐷)
69		ax-1cn 11211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		cnfldneg 21426	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘1) = -1)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘ℂfld)‘1) = -1
72		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
73	72	subginvcl 19166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐷) → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
74	51, 44, 73	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘ℂfld)‘1) ∈ 𝐷)
75	71, 74	eqeltrrid 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝐷)
76	46, 49, 55, 68, 75	plysub 26273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘𝐷))
77	41, 76, 55, 68	plyco 26295	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) ∈ (Poly‘𝐷))
78	35, 77	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Poly‘𝐷))
79	35	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))))
80		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))
81		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))
82	80, 81, 41, 76	dgrco 26330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∘ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))))
83		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))
84	83	plyremlem 26361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
85	20, 84	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1 ∧ (◡(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})) “ {0}) = {𝐵}))
86	85	simp2d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵}))) = 1)
87	86	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · 1))
88		dgrcl 26287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) ∈ (Poly‘𝐷) → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℕ0)
89	41, 88	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℕ0)
90	89	nn0cnd 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ ℂ)
91	90	mulridd 11276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · 1) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
92	87, 91	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) · (deg‘(Xp ∘f − (ℂ × {𝐵})))) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
93	79, 82, 92	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) = (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))))
94		elfznn0 13657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
95		dvnf 25978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
96	1, 12, 94, 95	syl2an3an 1421	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)⟶ℂ)
97		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
98		dvn2bss 25981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
99	1, 12, 97, 98	syl2an3an 1421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
100	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
101	99, 100	sseldd 3996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
102	96, 101	ffvelcdmd 7105	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) ∈ ℂ)
103	94	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
104	103	faccld 14320	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
105	104	nncnd 12280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
106	104	nnne0d 12314	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
107	102, 105, 106	divcld 12041	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
108	41, 4, 107, 30	dgrle 26297	. . 3 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑦 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)‘𝐵) / (!‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ≤ 𝑁)
109	93, 108	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ 𝑁)
110	78, 109	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (Poly‘𝐷) ∧ (deg‘𝑇) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689   ↾ cres 5691   “ cima 5692   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ∘_f cof 7695   ↑_pm cpm 8866  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544  ↑cexp 14099  !cfa 14309  Σcsu 15719  inv_gcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151  SubRingcsubrg 20586  ℂ_fldccnfld 21382   D^𝑛 cdvn 25914  Polycply 26238  X_pcidp 26239  degcdgr 26241   Tayl ctayl 26409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tsms 24151  df-xms 24346  df-ms 24347  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917  df-dvn 25918  df-ply 26242  df-idp 26243  df-coe 26244  df-dgr 26245  df-tayl 26411

This theorem is referenced by:  taylply  26426  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432