Theorem suppssov1 7593

Description: Formula building theorem for support restrictions: operator with left annihilator. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssov1.s	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssov1.o	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
suppssov1.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
suppssov1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
suppssov1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
suppssov1	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑣   𝜑,𝑥   𝑣,𝐵   𝑥,𝐷   𝑣,𝑂   𝑣,𝑅   𝑣,𝑌   𝑥,𝑌   𝑣,𝑍   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑣)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑣)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑣)   𝑂(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑣)   𝑊(𝑥,𝑣)

Proof of Theorem suppssov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppssov1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elex 3430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
4	3	adantll 707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝐴 ∈ V)
6		eldifsni 4541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐴𝑂𝐵) ≠ 𝑍)
7		oveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → (𝑌𝑂𝑣) = (𝑌𝑂𝐵))
8	7	eqeq1d 2828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝐵 → ((𝑌𝑂𝑣) = 𝑍 ↔ (𝑌𝑂𝐵) = 𝑍))
9		suppssov1.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
10	9	ralrimiva 3176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝑅 (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
11	10	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ∀𝑣 ∈ 𝑅 (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
12	11	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ∀𝑣 ∈ 𝑅 (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
13		suppssov1.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
14	13	adantll 707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐵 ∈ 𝑅)
15	8, 12, 14	rspcdva 3533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑌𝑂𝐵) = 𝑍)
16		oveq1 6913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → (𝐴𝑂𝐵) = (𝑌𝑂𝐵))
17	16	eqeq1d 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐴𝑂𝐵) = 𝑍 ↔ (𝑌𝑂𝐵) = 𝑍))
18	15, 17	syl5ibrcom 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝑌 → (𝐴𝑂𝐵) = 𝑍))
19	18	necon3d 3021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐴𝑂𝐵) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
20	6, 19	syl5 34	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ≠ 𝑌))
21	20	imp 397	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝐴 ≠ 𝑌)
22		eldifsn 4537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
23	5, 21, 22	sylanbrc 580	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
24	23	ex 403	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
25	24	ss2rabdv 3909	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
26		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵))
27		simpll 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
28		simplr 787	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
29	26, 27, 28	mptsuppdifd 7582	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})})
30		eqid 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
31		suppssov1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑊)
32	31	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌 ∈ 𝑊)
33	30, 27, 32	mptsuppdifd 7582	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
34	25, 29, 33	3sstr4d 3874	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌))
35		suppssov1.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
36	35	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
37	34, 36	sstrd 3838	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
38	37	ex 403	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
39		mptexg 6741	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
40		ovex 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
41	40	rgenw 3134	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
42		dmmptg 5874	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (𝐴𝑂𝐵) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) = 𝐷)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) = 𝐷
44		dmexg 7359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
45	43, 44	syl5eqelr 2912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V → 𝐷 ∈ V)
46	39, 45	impbii 201	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
47	46	anbi1i 619	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
48		supp0prc 7563	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) = ∅)
49	47, 48	sylnbi 322	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) = ∅)
50		0ss 4198	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐿
51	49, 50	syl6eqss 3881	. . 3 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
52	51	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
53	38, 52	pm2.61i 177	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∀wral 3118  {crab 3122  Vcvv 3415   ∖ cdif 3796   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145  {csn 4398   ↦ cmpt 4953  dom cdm 5343  (class class class)co 6906   supp csupp 7560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-supp 7561

This theorem is referenced by:  suppssof1  7594  evlslem6  19874  plypf1  24368