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Theorem suppssov1 8133
Description: Formula building theorem for support restrictions: operator with left annihilator. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssov1.s (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
suppssov1.o ((𝜑𝑣𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
suppssov1.a ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
suppssov1.b ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐵𝑅)
suppssov1.y (𝜑𝑌𝑊)
Assertion
Ref Expression
suppssov1 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑣   𝜑,𝑥   𝑣,𝐵   𝑥,𝐷   𝑣,𝑂   𝑣,𝑅   𝑣,𝑌   𝑥,𝑌   𝑣,𝑍   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑣)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑣)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥,𝑣)   𝑂(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑣)   𝑊(𝑥,𝑣)

Proof of Theorem suppssov1
StepHypRef Expression
1 suppssov1.a . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
21elexd 3467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴 ∈ V)
32adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐴 ∈ V)
43adantr 482 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝐴 ∈ V)
5 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝐵 → (𝑌𝑂𝑣) = (𝑌𝑂𝐵))
65eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝐵 → ((𝑌𝑂𝑣) = 𝑍 ↔ (𝑌𝑂𝐵) = 𝑍))
7 suppssov1.o . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝑅) → (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
87ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑣𝑅 (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
98adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ∀𝑣𝑅 (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
109adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ∀𝑣𝑅 (𝑌𝑂𝑣) = 𝑍)
11 suppssov1.b . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐵𝑅)
1211adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → 𝐵𝑅)
136, 10, 12rspcdva 3584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → (𝑌𝑂𝐵) = 𝑍)
14 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝑌 → (𝐴𝑂𝐵) = (𝑌𝑂𝐵))
1514eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝑌 → ((𝐴𝑂𝐵) = 𝑍 ↔ (𝑌𝑂𝐵) = 𝑍))
1613, 15syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → (𝐴 = 𝑌 → (𝐴𝑂𝐵) = 𝑍))
1716necon3d 2961 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐴𝑂𝐵) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
18 eldifsni 4754 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐴𝑂𝐵) ≠ 𝑍)
1917, 18impel 507 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝐴𝑌)
20 eldifsn 4751 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝑌))
214, 19, 20sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
2221ex 414 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) ∧ 𝑥𝐷) → ((𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
2322ss2rabdv 4037 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
24 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵))
25 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝐷 ∈ V)
26 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
2724, 25, 26mptsuppdifd 8121 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐴𝑂𝐵) ∈ (V ∖ {𝑍})})
28 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝐴) = (𝑥𝐷𝐴)
29 suppssov1.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑊)
3029adantl 483 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → 𝑌𝑊)
3128, 25, 30mptsuppdifd 8121 . . . . 5 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) = {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
3223, 27, 313sstr4d 3995 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌))
33 suppssov1.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
3433adantl 483 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷𝐴) supp 𝑌) ⊆ 𝐿)
3532, 34sstrd 3958 . . 3 (((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
3635ex 414 . 2 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
37 mptexg 7175 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → (𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
38 ovex 7394 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
3938rgenw 3065 . . . . . . . . 9 𝑥𝐷 (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
40 dmmptg 6198 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐷 (𝐴𝑂𝐵) ∈ V → dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) = 𝐷)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) = 𝐷
42 dmexg 7844 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V → dom (𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
4341, 42eqeltrrid 2839 . . . . . . 7 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V → 𝐷 ∈ V)
4437, 43impbii 208 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V ↔ (𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V)
4544anbi1i 625 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
46 supp0prc 8099 . . . . 5 (¬ ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) = ∅)
4745, 46sylnbi 330 . . . 4 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) = ∅)
48 0ss 4360 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐿
4947, 48eqsstrdi 4002 . . 3 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
5049a1d 25 . 2 (¬ (𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿))
5136, 50pm2.61i 182 1 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐴𝑂𝐵)) supp 𝑍) ⊆ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447  cdif 3911  wss 3914  c0 4286  {csn 4590  cmpt 5192  dom cdm 5637  (class class class)co 7361   supp csupp 8096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-supp 8097
This theorem is referenced by:  suppssof1  8134  evlslem6  21514  plypf1  25596  mhphf  40818
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