Theorem tc00 9701

Description: The transitive closure is empty iff its argument is. Proof suggested by Gérard Lang. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tc00	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem tc00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcid 9692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (TC‘𝐴))
2		sseq0 4366	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (TC‘𝐴) ∧ (TC‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
3	2	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (TC‘𝐴) → ((TC‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
5		fveq2 6858	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (TC‘𝐴) = (TC‘∅))
6		tc0 9700	. . 3 ⊢ (TC‘∅) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (TC‘𝐴) = ∅)
8	4, 7	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  TCctc 9689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-tc 9690

This theorem is referenced by: (None)