Theorem tc00 9777

Description: The transitive closure is empty iff its argument is. Proof suggested by Gérard Lang. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tc00	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem tc00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcid 9768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (TC‘𝐴))
2		sseq0 4357	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (TC‘𝐴) ∧ (TC‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
3	2	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (TC‘𝐴) → ((TC‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
5		fveq2 6911	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (TC‘𝐴) = (TC‘∅))
6		tc0 9776	. . 3 ⊢ (TC‘∅) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (TC‘𝐴) = ∅)
8	4, 7	impbid1 228	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ‘cfv 6561  TCctc 9765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-tc 9766

This theorem is used by: (None)