Theorem tc00 9506

Description: The transitive closure is empty iff its argument is. Proof suggested by Gérard Lang. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tc00	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem tc00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcid 9497	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (TC‘𝐴))
2		sseq0 4333	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (TC‘𝐴) ∧ (TC‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
3	2	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (TC‘𝐴) → ((TC‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
5		fveq2 6774	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (TC‘𝐴) = (TC‘∅))
6		tc0 9505	. . 3 ⊢ (TC‘∅) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (TC‘𝐴) = ∅)
8	4, 7	impbid1 224	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  TCctc 9494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-tc 9495

This theorem is referenced by: (None)