Theorem tc00 9788

Description: The transitive closure is empty iff its argument is. Proof suggested by Gérard Lang. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tc00	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem tc00

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcid 9779	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ⊆ (TC‘𝐴))
2		sseq0 4403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (TC‘𝐴) ∧ (TC‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
3	2	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (TC‘𝐴) → ((TC‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
5		fveq2 6906	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (TC‘𝐴) = (TC‘∅))
6		tc0 9787	. . 3 ⊢ (TC‘∅) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2793	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (TC‘𝐴) = ∅)
8	4, 7	impbid1 225	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((TC‘𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  TCctc 9776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-tc 9777

This theorem is referenced by: (None)