MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tc0 8981
Description: The transitive closure of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
tc0 (TC‘∅) = ∅

Proof of Theorem tc0
StepHypRef Expression
1 ssid 3872 . . 3 ∅ ⊆ ∅
2 tr0 5037 . . 3 Tr ∅
3 0ex 5064 . . . 4 ∅ ∈ V
4 tcmin 8975 . . . 4 (∅ ∈ V → ((∅ ⊆ ∅ ∧ Tr ∅) → (TC‘∅) ⊆ ∅))
53, 4ax-mp 5 . . 3 ((∅ ⊆ ∅ ∧ Tr ∅) → (TC‘∅) ⊆ ∅)
61, 2, 5mp2an 680 . 2 (TC‘∅) ⊆ ∅
7 0ss 4230 . 2 ∅ ⊆ (TC‘∅)
86, 7eqssi 3867 1 (TC‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  Vcvv 3408  wss 3822  c0 4172  Tr wtr 5026  cfv 6185  TCctc 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-tc 8971
This theorem is referenced by:  tc00  8982
  Copyright terms: Public domain W3C validator