Theorem tc0 9341

Description: The transitive closure of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tc0	⊢ (TC‘∅) = ∅

Proof of Theorem tc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3909	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∅
2		tr0 5157	. . 3 ⊢ Tr ∅
3		0ex 5185	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4		tcmin 9335	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → ((∅ ⊆ ∅ ∧ Tr ∅) → (TC‘∅) ⊆ ∅))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ ∅ ∧ Tr ∅) → (TC‘∅) ⊆ ∅)
6	1, 2, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ (TC‘∅) ⊆ ∅
7		0ss 4297	. 2 ⊢ ∅ ⊆ (TC‘∅)
8	6, 7	eqssi 3903	1 ⊢ (TC‘∅) = ∅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223  Tr wtr 5146  ‘cfv 6358  TCctc 9330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-tc 9331

This theorem is referenced by:  tc00  9342