Theorem uneq1 4163

Description: Equality theorem for the union of two classes. (Contributed by NM, 15-Jul-1993.)

Assertion

Ref	Expression
uneq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))

Proof of Theorem uneq1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2853	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	orbi1d 930	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶)))
3		elun 4155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶))
4		elun 4155	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶))
5	2, 3, 4	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐶) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶)))
6	5	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐵 ∪ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-v 3456  df-un 4154

This theorem is used by:  uneq2  4164  uneq12  4165  uneq1i  4166  uneq1d  4169  unineq  4236  prprc1  4728  relresfldOLD  6303  oarec  8608  xpider  8847  ralxpmap  8962  undifixp  9000  findcard2  9218  unxpdom  9288  enp1ilem  9307  pwfilem  9347  domunfican  9351  rankung  9910  fin1a2lem10  10526  incexclem  16049  lcmfunsnlem  16860  ramub1lem1  17248  ramub1  17250  mreexexlem3d  17870  mreexexlem4d  17871  ipodrsima  18765  mplsubglem  22361  mretopd  23465  iscldtop  23468  nconnsubb  23796  plyval  26566  spanun  32204  difeq  33213  unelldsys  34902  isros  34912  unelros  34915  difelros  34916  rossros  34924  measun  34955  inelcarsg  35054  actfunsnf1o  35344  actfunsnrndisj  35345  maxssj0  36047  mrsubvrs  36495  altopthsn  36941  bj-adjg1  38171  poimirlem28  38834  islshp  40302  lshpset2N  40442  paddval  41121  nacsfix  43989  eldioph4b  44084  eldioph4i  44085  diophren  44086  clsk3nimkb  45301  isotone1  45309  fiiuncl  46356  founiiun0  46478  infxrpnf  46729  meadjun  47745  hoidmvle  47883