Theorem nconnsubb 23147

Description: Disconnectedness for a subspace. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconnsubb.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
nconnsubb.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
nconnsubb.4	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
nconnsubb.5	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
nconnsubb.6	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
nconnsubb.7	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
nconnsubb.8	⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)
nconnsubb.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
nconnsubb	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)

Proof of Theorem nconnsubb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconnsubb.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
2		nconnsubb.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		nconnsubb.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
4		connsuba 23144	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
6		nconnsubb.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
7		nconnsubb.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
8		nconnsubb.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)
9	6, 7, 8	3jca 1126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅))
10		nconnsubb.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
11		nconnsubb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
12		ineq1 4204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑈 ∩ 𝐴))
13	12	neeq1d 2998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
14		ineq1 4204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∩ 𝑦) = (𝑈 ∩ 𝑦))
15	14	ineq1d 4210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴))
16	15	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅))
17	13, 16	3anbi13d 1436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) ↔ ((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅)))
18		uneq1 4155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∪ 𝑦) = (𝑈 ∪ 𝑦))
19	18	ineq1d 4210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴))
20	19	neeq1d 2998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴))
21	17, 20	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) ↔ (((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
22		ineq1 4204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (𝑦 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐴))
23	22	neeq1d 2998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
24		ineq2 4205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (𝑈 ∩ 𝑦) = (𝑈 ∩ 𝑉))
25	24	ineq1d 4210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴))
26	25	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅))
27	23, 26	3anbi23d 1437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) ↔ ((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)))
28		sseqin2 4214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) = 𝐴)
29	28	necon3bbii 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)
30		uneq2 4156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (𝑈 ∪ 𝑦) = (𝑈 ∪ 𝑉))
31	30	sseq2d 4013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑦) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)))
32	31	notbid 317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑦) ↔ ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)))
33	29, 32	bitr3id 284	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)))
34	27, 33	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → ((((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) ↔ (((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))))
35	21, 34	rspc2v 3621	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → (((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))))
36	10, 11, 35	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → (((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))))
37	9, 36	mpid 44	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)))
38	5, 37	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)))
39	1, 38	mt2d 136	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ↾_t crest 17370  TopOnctopon 22632  Conncconn 23135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-conn 23136

This theorem is referenced by:  iunconnlem  23151  clsconn  23154  reconnlem1  24562  ordtconnlem1  33202