MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nconnsubb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nconnsubb 22790
Description: Disconnectedness for a subspace. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nconnsubb.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
nconnsubb.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
nconnsubb.4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
nconnsubb.5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
nconnsubb.6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
nconnsubb.7 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
nconnsubb.8 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…)
nconnsubb.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
Assertion
Ref Expression
nconnsubb (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)

Proof of Theorem nconnsubb
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconnsubb.9 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
2 nconnsubb.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 nconnsubb.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
4 connsuba 22787 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴)))
6 nconnsubb.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
7 nconnsubb.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
8 nconnsubb.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…)
96, 7, 83jca 1129 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…))
10 nconnsubb.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
11 nconnsubb.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
12 ineq1 4170 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) = (π‘ˆ ∩ 𝐴))
1312neeq1d 3004 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…))
14 ineq1 4170 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = (π‘ˆ ∩ 𝑦))
1514ineq1d 4176 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴))
1615eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ… ↔ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…))
1713, 163anbi13d 1439 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) ↔ ((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…)))
18 uneq1 4121 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = (π‘ˆ βˆͺ 𝑦))
1918ineq1d 4176 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴))
2019neeq1d 3004 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴 ↔ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴))
2117, 20imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴) ↔ (((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴)))
22 ineq1 4170 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐴))
2322neeq1d 3004 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 β†’ ((𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…))
24 ineq2 4171 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑦) = (π‘ˆ ∩ 𝑉))
2524ineq1d 4176 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴))
2625eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ… ↔ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…))
2723, 263anbi23d 1440 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑉 β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) ↔ ((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…)))
28 sseqin2 4180 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ↔ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) = 𝐴)
2928necon3bbii 2992 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ↔ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴)
30 uneq2 4122 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑉 β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑦) = (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
3130sseq2d 3981 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 β†’ (𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ↔ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)))
3231notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 β†’ (Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ↔ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)))
3329, 32bitr3id 285 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑉 β†’ (((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)))
3427, 33imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑉 β†’ ((((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴) ↔ (((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))))
3521, 34rspc2v 3593 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴) β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))))
3610, 11, 35syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴) β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))))
379, 36mpid 44 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)))
385, 37sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)))
391, 38mt2d 136 1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   β†Ύt crest 17309  TopOnctopon 22275  Conncconn 22778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-en 8891  df-fin 8894  df-fi 9354  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-conn 22779
This theorem is referenced by:  iunconnlem  22794  clsconn  22797  reconnlem1  24205  ordtconnlem1  32545
  Copyright terms: Public domain W3C validator