Theorem nconnsubb 23741

Description: Disconnectedness for a subspace. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nconnsubb.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
nconnsubb.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
nconnsubb.4	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
nconnsubb.5	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
nconnsubb.6	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
nconnsubb.7	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
nconnsubb.8	⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)
nconnsubb.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))

Assertion

Ref	Expression
nconnsubb	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)

Proof of Theorem nconnsubb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nconnsubb.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
2		nconnsubb.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		nconnsubb.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
4		connsuba 23738	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
6		nconnsubb.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
7		nconnsubb.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
8		nconnsubb.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)
9	6, 7, 8	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅))
10		nconnsubb.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
11		nconnsubb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
12		ineq1 4159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑈 ∩ 𝐴))
13	12	neeq1d 3015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
14		ineq1 4159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∩ 𝑦) = (𝑈 ∩ 𝑦))
15	14	ineq1d 4165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴))
16	15	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅))
17	13, 16	3anbi13d 1466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) ↔ ((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅)))
18		uneq1 4108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∪ 𝑦) = (𝑈 ∪ 𝑦))
19	18	ineq1d 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴))
20	19	neeq1d 3015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴))
21	17, 20	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) ↔ (((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
22		ineq1 4159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (𝑦 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐴))
23	22	neeq1d 3015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → ((𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅))
24		ineq2 4160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (𝑈 ∩ 𝑦) = (𝑈 ∩ 𝑉))
25	24	ineq1d 4165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴))
26	25	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅))
27	23, 26	3anbi23d 1467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) ↔ ((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)))
28		sseqin2 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) = 𝐴)
29	28	necon3bbii 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑦) ↔ ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)
30		uneq2 4109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (𝑈 ∪ 𝑦) = (𝑈 ∪ 𝑉))
31	30	sseq2d 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑦) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)))
32	31	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑦) ↔ ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)))
33	29, 32	bitr3id 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)))
34	27, 33	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑉 → ((((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑈 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) ↔ (((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))))
35	21, 34	rspc2v 3587	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → (((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))))
36	10, 11, 35	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → (((𝑈 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))))
37	9, 36	mpid 45	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (((𝑥 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)))
38	5, 37	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)))
39	1, 38	mt2d 137	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17591  TopOnctopon 23228  Conncconn 23729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-en 8974  df-fin 8977  df-fi 9403  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cld 23337  df-conn 23730

This theorem is used by:  iunconnlem  23745  clsconn  23748  reconnlem1  25146  ordtconnlem1  34556