MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nconnsubb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nconnsubb 22927
Description: Disconnectedness for a subspace. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nconnsubb.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
nconnsubb.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
nconnsubb.4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
nconnsubb.5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
nconnsubb.6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
nconnsubb.7 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
nconnsubb.8 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…)
nconnsubb.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
Assertion
Ref Expression
nconnsubb (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)

Proof of Theorem nconnsubb
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconnsubb.9 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
2 nconnsubb.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 nconnsubb.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
4 connsuba 22924 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴)))
6 nconnsubb.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
7 nconnsubb.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
8 nconnsubb.8 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…)
96, 7, 83jca 1129 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…))
10 nconnsubb.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
11 nconnsubb.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
12 ineq1 4206 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (π‘₯ ∩ 𝐴) = (π‘ˆ ∩ 𝐴))
1312neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ…))
14 ineq1 4206 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = (π‘ˆ ∩ 𝑦))
1514ineq1d 4212 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴))
1615eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ… ↔ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…))
1713, 163anbi13d 1439 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) ↔ ((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…)))
18 uneq1 4157 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = (π‘ˆ βˆͺ 𝑦))
1918ineq1d 4212 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴))
2019neeq1d 3001 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ (((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴 ↔ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴))
2117, 20imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘ˆ β†’ ((((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴) ↔ (((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴)))
22 ineq1 4206 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 β†’ (𝑦 ∩ 𝐴) = (𝑉 ∩ 𝐴))
2322neeq1d 3001 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 β†’ ((𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ↔ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…))
24 ineq2 4207 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑦) = (π‘ˆ ∩ 𝑉))
2524ineq1d 4212 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴))
2625eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ… ↔ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…))
2723, 263anbi23d 1440 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑉 β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) ↔ ((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…)))
28 sseqin2 4216 . . . . . . . . 9 (𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ↔ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) = 𝐴)
2928necon3bbii 2989 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ↔ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴)
30 uneq2 4158 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑉 β†’ (π‘ˆ βˆͺ 𝑦) = (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
3130sseq2d 4015 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 β†’ (𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ↔ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)))
3231notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 β†’ (Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ↔ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)))
3329, 32bitr3id 285 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑉 β†’ (((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)))
3427, 33imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑉 β†’ ((((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘ˆ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴) ↔ (((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))))
3521, 34rspc2v 3623 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝐽 ∧ 𝑉 ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴) β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))))
3610, 11, 35syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴) β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑉 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))))
379, 36mpid 44 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (((π‘₯ ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ (𝑦 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) ∩ 𝐴) β‰  𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)))
385, 37sylbid 239 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn β†’ Β¬ 𝐴 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉)))
391, 38mt2d 136 1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύt crest 17366  TopOnctopon 22412  Conncconn 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-conn 22916
This theorem is referenced by:  iunconnlem  22931  clsconn  22934  reconnlem1  24342  ordtconnlem1  32904
  Copyright terms: Public domain W3C validator