MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nconnsubb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nconnsubb 21959
Description: Disconnectedness for a subspace. (Contributed by FL, 29-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nconnsubb.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
nconnsubb.3 (𝜑𝐴𝑋)
nconnsubb.4 (𝜑𝑈𝐽)
nconnsubb.5 (𝜑𝑉𝐽)
nconnsubb.6 (𝜑 → (𝑈𝐴) ≠ ∅)
nconnsubb.7 (𝜑 → (𝑉𝐴) ≠ ∅)
nconnsubb.8 (𝜑 → ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)
nconnsubb.9 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))
Assertion
Ref Expression
nconnsubb (𝜑 → ¬ (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)

Proof of Theorem nconnsubb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nconnsubb.9 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))
2 nconnsubb.2 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 nconnsubb.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
4 connsuba 21956 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐽t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐽t 𝐴) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
6 nconnsubb.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈𝐴) ≠ ∅)
7 nconnsubb.7 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉𝐴) ≠ ∅)
8 nconnsubb.8 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)
96, 7, 83jca 1120 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅))
10 nconnsubb.4 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐽)
11 nconnsubb.5 . . . . 5 (𝜑𝑉𝐽)
12 ineq1 4178 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥𝐴) = (𝑈𝐴))
1312neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑈𝐴) ≠ ∅))
14 ineq1 4178 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥𝑦) = (𝑈𝑦))
1514ineq1d 4185 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴))
1615eqeq1d 2820 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅))
1713, 163anbi13d 1429 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) ↔ ((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅)))
18 uneq1 4129 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥𝑦) = (𝑈𝑦))
1918ineq1d 4185 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴))
2019neeq1d 3072 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑈 → (((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴))
2117, 20imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑈 → ((((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) ↔ (((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)))
22 ineq1 4178 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 → (𝑦𝐴) = (𝑉𝐴))
2322neeq1d 3072 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 → ((𝑦𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑉𝐴) ≠ ∅))
24 ineq2 4180 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑉 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑉))
2524ineq1d 4185 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 → ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴))
2625eqeq1d 2820 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅))
2723, 263anbi23d 1430 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) ↔ ((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅)))
28 sseqin2 4189 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ (𝑈𝑦) ↔ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = 𝐴)
2928necon3bbii 3060 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (𝑈𝑦) ↔ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴)
30 uneq2 4130 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑉 → (𝑈𝑦) = (𝑈𝑉))
3130sseq2d 3996 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑉 → (𝐴 ⊆ (𝑈𝑦) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉)))
3231notbid 319 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑉 → (¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑦) ↔ ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉)))
3329, 32syl5bbr 286 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑉 → (((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉)))
3427, 33imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑉 → ((((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑈𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) ↔ (((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))))
3521, 34rspc2v 3630 . . . . 5 ((𝑈𝐽𝑉𝐽) → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → (((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))))
3610, 11, 35syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → (((𝑈𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑉𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑈𝑉) ∩ 𝐴) = ∅) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉))))
379, 36mpid 44 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝐴) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝐴) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝐴) ≠ 𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉)))
385, 37sylbid 241 . 2 (𝜑 → ((𝐽t 𝐴) ∈ Conn → ¬ 𝐴 ⊆ (𝑈𝑉)))
391, 38mt2d 138 1 (𝜑 → ¬ (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288  cfv 6348  (class class class)co 7145  t crest 16682  TopOnctopon 21446  Conncconn 21947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501  df-fi 8863  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cld 21555  df-conn 21948
This theorem is referenced by:  iunconnlem  21963  clsconn  21966  reconnlem1  23361  ordtconnlem1  31066
  Copyright terms: Public domain W3C validator