HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanun 31303
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanun ((𝐴 βŠ† β„‹ ∧ 𝐡 βŠ† β„‹) β†’ (spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)))

Proof of Theorem spanun
StepHypRef Expression
1 uneq1 4151 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = (if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡))
21fveq2d 6888 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)))
3 fveq2 6884 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (spanβ€˜π΄) = (spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)))
43oveq1d 7419 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅)))
52, 4eqeq12d 2742 . 2 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ ((spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) ↔ (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅))))
6 uneq2 4152 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡) = (if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))
76fveq2d 6888 . . 3 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)) = (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))))
8 fveq2 6884 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (spanβ€˜π΅) = (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))
98oveq2d 7420 . . 3 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))))
107, 9eqeq12d 2742 . 2 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ ((spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) ↔ (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))))
11 sseq1 4002 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (𝐴 βŠ† β„‹ ↔ if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βŠ† β„‹))
12 sseq1 4002 . . . 4 ( β„‹ = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ ( β„‹ βŠ† β„‹ ↔ if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βŠ† β„‹))
13 ssid 3999 . . . 4 β„‹ βŠ† β„‹
1411, 12, 13elimhyp 4588 . . 3 if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βŠ† β„‹
15 sseq1 4002 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (𝐡 βŠ† β„‹ ↔ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) βŠ† β„‹))
16 sseq1 4002 . . . 4 ( β„‹ = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ ( β„‹ βŠ† β„‹ ↔ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) βŠ† β„‹))
1715, 16, 13elimhyp 4588 . . 3 if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) βŠ† β„‹
1814, 17spanuni 31302 . 2 (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))
195, 10, 18dedth2h 4582 1 ((𝐴 βŠ† β„‹ ∧ 𝐡 βŠ† β„‹) β†’ (spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   β„‹chba 30677   +β„‹ cph 30689  spancspn 30690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30757  ax-hfvadd 30758  ax-hvcom 30759  ax-hvass 30760  ax-hv0cl 30761  ax-hvaddid 30762  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764  ax-hvmulass 30765  ax-hvdistr1 30766  ax-hvdistr2 30767  ax-hvmul0 30768  ax-hfi 30837  ax-his1 30840  ax-his2 30841  ax-his3 30842  ax-his4 30843
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-topgen 17396  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-lm 23084  df-haus 23170  df-grpo 30251  df-gid 30252  df-ginv 30253  df-gdiv 30254  df-ablo 30303  df-vc 30317  df-nv 30350  df-va 30353  df-ba 30354  df-sm 30355  df-0v 30356  df-vs 30357  df-nmcv 30358  df-ims 30359  df-hnorm 30726  df-hvsub 30729  df-hlim 30730  df-sh 30965  df-ch 30979  df-ch0 31011  df-shs 31066  df-span 31067
This theorem is referenced by:  spanpr  31338  superpos  32112
  Copyright terms: Public domain W3C validator