Theorem spanun 31520

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanun	⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))

Proof of Theorem spanun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 4111	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∪ 𝐵) = (if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵))
2	1	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)))
3		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (span‘𝐴) = (span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)))
4	3	oveq1d 7361	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘𝐵)))
5	2, 4	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → ((span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘𝐵))))
6		uneq2 4112	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵) = (if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))
7	6	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)) = (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))))
8		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (span‘𝐵) = (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))
9	8	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))))
10	7, 9	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → ((span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))))
11		sseq1 3960	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (𝐴 ⊆ ℋ ↔ if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ⊆ ℋ))
12		sseq1 3960	. . . 4 ⊢ ( ℋ = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → ( ℋ ⊆ ℋ ↔ if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ⊆ ℋ))
13		ssid 3957	. . . 4 ⊢ ℋ ⊆ ℋ
14	11, 12, 13	elimhyp 4541	. . 3 ⊢ if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ⊆ ℋ
15		sseq1 3960	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (𝐵 ⊆ ℋ ↔ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) ⊆ ℋ))
16		sseq1 3960	. . . 4 ⊢ ( ℋ = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → ( ℋ ⊆ ℋ ↔ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) ⊆ ℋ))
17	15, 16, 13	elimhyp 4541	. . 3 ⊢ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) ⊆ ℋ
18	14, 17	spanuni 31519	. 2 ⊢ (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))
19	5, 10, 18	dedth2h 4535	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ifcif 4475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ℋchba 30894   +_ℋ cph 30906  spancspn 30907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083  ax-hilex 30974  ax-hfvadd 30975  ax-hvcom 30976  ax-hvass 30977  ax-hv0cl 30978  ax-hvaddid 30979  ax-hfvmul 30980  ax-hvmulid 30981  ax-hvmulass 30982  ax-hvdistr1 30983  ax-hvdistr2 30984  ax-hvmul0 30985  ax-hfi 31054  ax-his1 31057  ax-his2 31058  ax-his3 31059  ax-his4 31060

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-icc 13249  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-topgen 17344  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-top 22807  df-topon 22824  df-bases 22859  df-lm 23142  df-haus 23228  df-grpo 30468  df-gid 30469  df-ginv 30470  df-gdiv 30471  df-ablo 30520  df-vc 30534  df-nv 30567  df-va 30570  df-ba 30571  df-sm 30572  df-0v 30573  df-vs 30574  df-nmcv 30575  df-ims 30576  df-hnorm 30943  df-hvsub 30946  df-hlim 30947  df-sh 31182  df-ch 31196  df-ch0 31228  df-shs 31283  df-span 31284

This theorem is referenced by:  spanpr  31555  superpos  32329