HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem spanun 31368
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanun ((𝐴 βŠ† β„‹ ∧ 𝐡 βŠ† β„‹) β†’ (spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)))
Proof of Theorem spanun
StepHypRef Expression
1 uneq1 4155 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = (if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡))
21fveq2d 6901 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)))
3 fveq2 6897 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (spanβ€˜π΄) = (spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)))
43oveq1d 7435 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅)))
52, 4eqeq12d 2744 . 2 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ ((spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) ↔ (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅))))
6 uneq2 4156 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡) = (if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))
76fveq2d 6901 . . 3 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)) = (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))))
8 fveq2 6897 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (spanβ€˜π΅) = (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))
98oveq2d 7436 . . 3 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))))
107, 9eqeq12d 2744 . 2 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ ((spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) ↔ (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))))
11 sseq1 4005 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (𝐴 βŠ† β„‹ ↔ if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βŠ† β„‹))
12 sseq1 4005 . . . 4 ( β„‹ = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ ( β„‹ βŠ† β„‹ ↔ if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βŠ† β„‹))
13 ssid 4002 . . . 4 β„‹ βŠ† β„‹
1411, 12, 13elimhyp 4594 . . 3 if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βŠ† β„‹
15 sseq1 4005 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (𝐡 βŠ† β„‹ ↔ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) βŠ† β„‹))
16 sseq1 4005 . . . 4 ( β„‹ = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ ( β„‹ βŠ† β„‹ ↔ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) βŠ† β„‹))
1715, 16, 13elimhyp 4594 . . 3 if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) βŠ† β„‹
1814, 17spanuni 31367 . 2 (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))
195, 10, 18dedth2h 4588 1 ((𝐴 βŠ† β„‹ ∧ 𝐡 βŠ† β„‹) β†’ (spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  ifcif 4529  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   β„‹chba 30742   +β„‹ cph 30754  spancspn 30755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hvcom 30824  ax-hvass 30825  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829  ax-hvmulass 30830  ax-hvdistr1 30831  ax-hvdistr2 30832  ax-hvmul0 30833  ax-hfi 30902  ax-his1 30905  ax-his2 30906  ax-his3 30907  ax-his4 30908
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13364  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-lm 23146  df-haus 23232  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ginv 30318  df-gdiv 30319  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-vs 30422  df-nmcv 30423  df-ims 30424  df-hnorm 30791  df-hvsub 30794  df-hlim 30795  df-sh 31030  df-ch 31044  df-ch0 31076  df-shs 31131  df-span 31132
This theorem is referenced by:  spanpr  31403  superpos  32177
  Copyright terms: Public domain W3C validator