Theorem spanun 32152

Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanun	⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))

Proof of Theorem spanun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 4160	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (𝐴 ∪ 𝐵) = (if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵))
2	1	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)))
3		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (span‘𝐴) = (span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)))
4	3	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘𝐵)))
5	2, 4	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → ((span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘𝐵))))
6		uneq2 4161	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵) = (if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))
7	6	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)) = (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))))
8		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (span‘𝐵) = (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))
9	8	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))))
10	7, 9	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → ((span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ 𝐵)) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘𝐵)) ↔ (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))))
11		sseq1 3933	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → (𝐴 ⊆ ℋ ↔ if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ⊆ ℋ))
12		sseq1 3933	. . . 4 ⊢ ( ℋ = if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) → ( ℋ ⊆ ℋ ↔ if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ⊆ ℋ))
13		ssid 3930	. . . 4 ⊢ ℋ ⊆ ℋ
14	11, 12, 13	elimhyp 4547	. . 3 ⊢ if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ⊆ ℋ
15		sseq1 3933	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → (𝐵 ⊆ ℋ ↔ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) ⊆ ℋ))
16		sseq1 3933	. . . 4 ⊢ ( ℋ = if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) → ( ℋ ⊆ ℋ ↔ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) ⊆ ℋ))
17	15, 16, 13	elimhyp 4547	. . 3 ⊢ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ) ⊆ ℋ
18	14, 17	spanuni 32151	. 2 ⊢ (span‘(if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ) ∪ if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ))) = ((span‘if(𝐴 ⊆ ℋ, 𝐴, ℋ)) +ℋ (span‘if(𝐵 ⊆ ℋ, 𝐵, ℋ)))
19	5, 10, 18	dedth2h 4541	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  ifcif 4481  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ℋchba 31526   +_ℋ cph 31538  spancspn 31539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283  ax-hilex 31606  ax-hfvadd 31607  ax-hvcom 31608  ax-hvass 31609  ax-hv0cl 31610  ax-hvaddid 31611  ax-hfvmul 31612  ax-hvmulid 31613  ax-hvmulass 31614  ax-hvdistr1 31615  ax-hvdistr2 31616  ax-hvmul0 31617  ax-hfi 31686  ax-his1 31689  ax-his2 31690  ax-his3 31691  ax-his4 31692

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-icc 13486  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-topgen 17619  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-lm 23552  df-haus 23638  df-grpo 31100  df-gid 31101  df-ginv 31102  df-gdiv 31103  df-ablo 31152  df-vc 31166  df-nv 31199  df-va 31202  df-ba 31203  df-sm 31204  df-0v 31205  df-vs 31206  df-nmcv 31207  df-ims 31208  df-hnorm 31575  df-hvsub 31578  df-hlim 31579  df-sh 31814  df-ch 31828  df-ch0 31860  df-shs 31915  df-span 31916

This theorem is used by:  spanpr  32187  superpos  32961