HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem spanun 30785
Description: The span of a union is the subspace sum of spans. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanun ((𝐴 βŠ† β„‹ ∧ 𝐡 βŠ† β„‹) β†’ (spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)))
Proof of Theorem spanun
StepHypRef Expression
1 uneq1 4155 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) = (if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡))
21fveq2d 6892 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)))
3 fveq2 6888 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (spanβ€˜π΄) = (spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)))
43oveq1d 7420 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅)))
52, 4eqeq12d 2748 . 2 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ ((spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) ↔ (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅))))
6 uneq2 4156 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡) = (if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))
76fveq2d 6892 . . 3 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)) = (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))))
8 fveq2 6888 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (spanβ€˜π΅) = (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))
98oveq2d 7421 . . 3 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))))
107, 9eqeq12d 2748 . 2 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ ((spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜π΅)) ↔ (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))))
11 sseq1 4006 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ (𝐴 βŠ† β„‹ ↔ if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βŠ† β„‹))
12 sseq1 4006 . . . 4 ( β„‹ = if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) β†’ ( β„‹ βŠ† β„‹ ↔ if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βŠ† β„‹))
13 ssid 4003 . . . 4 β„‹ βŠ† β„‹
1411, 12, 13elimhyp 4592 . . 3 if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βŠ† β„‹
15 sseq1 4006 . . . 4 (𝐡 = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ (𝐡 βŠ† β„‹ ↔ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) βŠ† β„‹))
16 sseq1 4006 . . . 4 ( β„‹ = if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) β†’ ( β„‹ βŠ† β„‹ ↔ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) βŠ† β„‹))
1715, 16, 13elimhyp 4592 . . 3 if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹) βŠ† β„‹
1814, 17spanuni 30784 . 2 (spanβ€˜(if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹) βˆͺ if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹))) = ((spanβ€˜if(𝐴 βŠ† β„‹, 𝐴, β„‹)) +β„‹ (spanβ€˜if(𝐡 βŠ† β„‹, 𝐡, β„‹)))
195, 10, 18dedth2h 4586 1 ((𝐴 βŠ† β„‹ ∧ 𝐡 βŠ† β„‹) β†’ (spanβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) = ((spanβ€˜π΄) +β„‹ (spanβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   β„‹chba 30159   +β„‹ cph 30171  spancspn 30172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-lm 22724  df-haus 22810  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-hnorm 30208  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-sh 30447  df-ch 30461  df-ch0 30493  df-shs 30548  df-span 30549
This theorem is referenced by:  spanpr  30820  superpos  31594
  Copyright terms: Public domain W3C validator