Theorem ipodrsima 18622

Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipodrsima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
ipodrsima.m	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣))
ipodrsima.d	⊢ (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
ipodrsima.s	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
ipodrsima.a	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ipodrsima	⊢ (𝜑 → (toInc‘(𝐹 “ 𝐵)) ∈ Dirset)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝐹,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣, 𝑢)   𝑉(𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem ipodrsima

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipodrsima.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3481	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ∈ V)
3		ipodrsima.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
4		isipodrs 18618	. . . . 5 ⊢ ((toInc‘𝐵) ∈ Dirset ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐))
5	3, 4	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐))
6	5	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
7		ipodrsima.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
8		ipodrsima.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
9		fnimaeq0 6675	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 “ 𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ 𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
11	10	necon3bid 3005	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
12	6, 11	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ≠ ∅)
13	5	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐)
14		simplll 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → 𝜑)
15		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐)
16	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
17		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
18	16, 17	sseldd 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
19	18	elpwid 4576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
21		vex 3462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑎 ∈ V
22		vex 3462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ V
23		sseq12 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑢 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
24		sseq1 3965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑐 ⊆ 𝐴))
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑐 ⊆ 𝐴))
26	23, 25	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)))
27	26	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴))))
28		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑎))
29		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑐))
30		sseq12 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑐)) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
31	28, 29, 30	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
32	27, 31	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐))))
33		ipodrsima.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣))
34	21, 22, 32, 33	vtocl2 3534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐))
35	14, 15, 20, 34	syl12anc 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐))
36	35	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ⊆ 𝑐 → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
37		simplll 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝜑)
38		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑏 ⊆ 𝑐)
39	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
40		vex 3462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑏 ∈ V
41		sseq12 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑢 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
42	24	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑐 ⊆ 𝐴))
43	41, 42	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)))
44	43	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴))))
45		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑏))
46		sseq12 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑐)) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
47	45, 29, 46	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
48	44, 47	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))))
49	40, 22, 48, 33	vtocl2 3534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))
50	37, 38, 39, 49	syl12anc 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))
51	50	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ⊆ 𝑐 → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
52	36, 51	anim12d 621	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → ((𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))))
53		unss 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) ↔ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐)
54		unss 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
55	52, 53, 54	3imtr3g 298	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
56	55	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
57	56	reximdva 3181	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
58	57	ralimdva 3180	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
59	58	ralimdva 3180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
60	13, 59	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
61		uneq1 4118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 ∪ 𝑦) = ((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦))
62	61	sseq1d 3971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
63	62	rexbidv 3192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
64	63	ralbidv 3191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
65	64	ralima 7242	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
66	7, 8, 65	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
67		uneq2 4119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → ((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) = ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)))
68	67	sseq1d 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → (((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
69	68	rexbidv 3192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
70	69	ralima 7242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
71	7, 8, 70	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
72		sseq2 3966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → (((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
73	72	rexima 7243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
74	7, 8, 73	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
75	74	ralbidv 3191	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
76	71, 75	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
77	76	ralbidv 3191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
78	66, 77	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
79	60, 78	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
80		isipodrs 18618	. 2 ⊢ ((toInc‘(𝐹 “ 𝐵)) ∈ Dirset ↔ ((𝐹 “ 𝐵) ∈ V ∧ (𝐹 “ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
81	2, 12, 79, 80	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝜑 → (toInc‘(𝐹 “ 𝐵)) ∈ Dirset)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567   “ cima 5669   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  Dirsetcdrs 18374  toInccipo 18608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ocomp 17356  df-proset 18375  df-drs 18376  df-poset 18394  df-ipo 18609

This theorem is used by:  isacs4lem  18625  isnacs3  43482