MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipodrsima 18499
Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipodrsima.f (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
ipodrsima.m ((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£))
ipodrsima.d (πœ‘ β†’ (toIncβ€˜π΅) ∈ Dirset)
ipodrsima.s (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴)
ipodrsima.a (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ipodrsima (πœ‘ β†’ (toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝐡)) ∈ Dirset)
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑒,𝑣   𝑒,𝐴,𝑣   𝑒,𝐹,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑣,𝑒)   𝑉(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem ipodrsima
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipodrsima.a . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) ∈ 𝑉)
21elexd 3494 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) ∈ V)
3 ipodrsima.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ (toIncβ€˜π΅) ∈ Dirset)
4 isipodrs 18495 . . . . 5 ((toIncβ€˜π΅) ∈ Dirset ↔ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐))
53, 4sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐))
65simp2d 1142 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
7 ipodrsima.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
8 ipodrsima.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴)
9 fnimaeq0 6683 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ ((𝐹 β€œ 𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 = βˆ…))
107, 8, 9syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ 𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 = βˆ…))
1110necon3bid 2984 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ 𝐡) β‰  βˆ… ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
126, 11mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) β‰  βˆ…)
135simp3d 1143 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐)
14 simplll 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑐) β†’ πœ‘)
15 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑐) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑐)
168ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴)
17 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝐡)
1816, 17sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
1918elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑐) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
21 vex 3477 . . . . . . . . . . . . 13 π‘Ž ∈ V
22 vex 3477 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
23 sseq12 4009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (𝑒 βŠ† 𝑣 ↔ π‘Ž βŠ† 𝑐))
24 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑐 β†’ (𝑣 βŠ† 𝐴 ↔ 𝑐 βŠ† 𝐴))
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (𝑣 βŠ† 𝐴 ↔ 𝑐 βŠ† 𝐴))
2623, 25anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)))
2726anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴))))
28 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = π‘Ž β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘Ž))
29 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘))
30 sseq12 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
3128, 29, 30syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
3227, 31imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£)) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘))))
33 ipodrsima.m . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£))
3421, 22, 32, 33vtocl2 3554 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
3514, 15, 20, 34syl12anc 834 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑐) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
3635ex 412 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
37 simplll 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ πœ‘)
38 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ 𝑏 βŠ† 𝑐)
3919adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
40 vex 3477 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
41 sseq12 4009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (𝑒 βŠ† 𝑣 ↔ 𝑏 βŠ† 𝑐))
4224adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (𝑣 βŠ† 𝐴 ↔ 𝑐 βŠ† 𝐴))
4341, 42anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴) ↔ (𝑏 βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)))
4443anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴))))
45 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘))
46 sseq12 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
4745, 29, 46syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
4844, 47imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘))))
4940, 22, 48, 33vtocl2 3554 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
5037, 38, 39, 49syl12anc 834 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
5150ex 412 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 βŠ† 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
5236, 51anim12d 608 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘))))
53 unss 4184 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐)
54 unss 4184 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘)) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
5552, 53, 543imtr3g 295 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
5655anassrs 467 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
5756reximdva 3167 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
5857ralimdva 3166 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
5958ralimdva 3166 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
6013, 59mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
61 uneq1 4156 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦))
6261sseq1d 4013 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
6362rexbidv 3177 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
6463ralbidv 3176 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
6564ralima 7242 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
667, 8, 65syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
67 uneq2 4157 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) = ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)))
6867sseq1d 4013 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧))
6968rexbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧))
7069ralima 7242 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧))
717, 8, 70syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧))
72 sseq2 4008 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7372rexima 7241 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
747, 8, 73syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7574ralbidv 3176 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7671, 75bitrd 279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7776ralbidv 3176 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7866, 77bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7960, 78mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)
80 isipodrs 18495 . 2 ((toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝐡)) ∈ Dirset ↔ ((𝐹 β€œ 𝐡) ∈ V ∧ (𝐹 β€œ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
812, 12, 79, 80syl3anbrc 1342 1 (πœ‘ β†’ (toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝐡)) ∈ Dirset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  Dirsetcdrs 18252  toInccipo 18485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-proset 18253  df-drs 18254  df-poset 18271  df-ipo 18486
This theorem is referenced by:  isacs4lem  18502  isnacs3  41751
  Copyright terms: Public domain W3C validator