MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipodrsima 18498
Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipodrsima.f (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
ipodrsima.m ((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£))
ipodrsima.d (πœ‘ β†’ (toIncβ€˜π΅) ∈ Dirset)
ipodrsima.s (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴)
ipodrsima.a (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ipodrsima (πœ‘ β†’ (toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝐡)) ∈ Dirset)
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑒,𝑣   𝑒,𝐴,𝑣   𝑒,𝐹,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑣,𝑒)   𝑉(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem ipodrsima
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipodrsima.a . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) ∈ 𝑉)
21elexd 3493 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) ∈ V)
3 ipodrsima.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ (toIncβ€˜π΅) ∈ Dirset)
4 isipodrs 18494 . . . . 5 ((toIncβ€˜π΅) ∈ Dirset ↔ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐))
53, 4sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐡 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐))
65simp2d 1141 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
7 ipodrsima.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
8 ipodrsima.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴)
9 fnimaeq0 6682 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ ((𝐹 β€œ 𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 = βˆ…))
107, 8, 9syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ 𝐡) = βˆ… ↔ 𝐡 = βˆ…))
1110necon3bid 2983 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ 𝐡) β‰  βˆ… ↔ 𝐡 β‰  βˆ…))
126, 11mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐡) β‰  βˆ…)
135simp3d 1142 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐)
14 simplll 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑐) β†’ πœ‘)
15 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑐) β†’ π‘Ž βŠ† 𝑐)
168ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴)
17 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝐡)
1816, 17sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
1918elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑐) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
21 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 π‘Ž ∈ V
22 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
23 sseq12 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (𝑒 βŠ† 𝑣 ↔ π‘Ž βŠ† 𝑐))
24 sseq1 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑐 β†’ (𝑣 βŠ† 𝐴 ↔ 𝑐 βŠ† 𝐴))
2524adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (𝑣 βŠ† 𝐴 ↔ 𝑐 βŠ† 𝐴))
2623, 25anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴) ↔ (π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)))
2726anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴))))
28 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = π‘Ž β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘Ž))
29 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘))
30 sseq12 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘Ž) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
3128, 29, 30syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
3227, 31imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 = π‘Ž ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£)) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘))))
33 ipodrsima.m . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£))
3421, 22, 32, 33vtocl2 3553 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
3514, 15, 20, 34syl12anc 833 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑐) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
3635ex 411 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
37 simplll 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ πœ‘)
38 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ 𝑏 βŠ† 𝑐)
3919adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ 𝑐 βŠ† 𝐴)
40 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
41 sseq12 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (𝑒 βŠ† 𝑣 ↔ 𝑏 βŠ† 𝑐))
4224adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (𝑣 βŠ† 𝐴 ↔ 𝑐 βŠ† 𝐴))
4341, 42anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴) ↔ (𝑏 βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)))
4443anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴))))
45 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑏 β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘))
46 sseq12 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘£) = (πΉβ€˜π‘)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
4745, 29, 46syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£) ↔ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
4844, 47imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘’) βŠ† (πΉβ€˜π‘£)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘))))
4940, 22, 48, 33vtocl2 3553 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑏 βŠ† 𝑐 ∧ 𝑐 βŠ† 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
5037, 38, 39, 49syl12anc 833 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
5150ex 411 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑏 βŠ† 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
5236, 51anim12d 607 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘))))
53 unss 4183 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž βŠ† 𝑐 ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐) ↔ (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐)
54 unss 4183 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘Ž) βŠ† (πΉβ€˜π‘) ∧ (πΉβ€˜π‘) βŠ† (πΉβ€˜π‘)) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
5552, 53, 543imtr3g 294 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ (𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
5655anassrs 466 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) ∧ 𝑐 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
5756reximdva 3166 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐 β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
5857ralimdva 3165 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐 β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
5958ralimdva 3165 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 (π‘Ž βˆͺ 𝑏) βŠ† 𝑐 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
6013, 59mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
61 uneq1 4155 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦))
6261sseq1d 4012 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
6362rexbidv 3176 . . . . . . 7 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
6463ralbidv 3175 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
6564ralima 7241 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
667, 8, 65syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
67 uneq2 4156 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) = ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)))
6867sseq1d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧))
6968rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧))
7069ralima 7241 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧))
717, 8, 70syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧))
72 sseq2 4007 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧 ↔ ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7372rexima 7240 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐡 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
747, 8, 73syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7574ralbidv 3175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7671, 75bitrd 278 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7776ralbidv 3175 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7866, 77bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐡 βˆ€π‘ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘ ∈ 𝐡 ((πΉβ€˜π‘Ž) βˆͺ (πΉβ€˜π‘)) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
7960, 78mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧)
80 isipodrs 18494 . 2 ((toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝐡)) ∈ Dirset ↔ ((𝐹 β€œ 𝐡) ∈ V ∧ (𝐹 β€œ 𝐡) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)βˆƒπ‘§ ∈ (𝐹 β€œ 𝐡)(π‘₯ βˆͺ 𝑦) βŠ† 𝑧))
812, 12, 79, 80syl3anbrc 1341 1 (πœ‘ β†’ (toIncβ€˜(𝐹 β€œ 𝐡)) ∈ Dirset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  Dirsetcdrs 18251  toInccipo 18484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ocomp 17222  df-proset 18252  df-drs 18253  df-poset 18270  df-ipo 18485
This theorem is referenced by:  isacs4lem  18501  isnacs3  41750
  Copyright terms: Public domain W3C validator