Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipodrsima 17753
 Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipodrsima.f (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
ipodrsima.m ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣))
ipodrsima.d (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
ipodrsima.s (𝜑𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
ipodrsima.a (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ipodrsima (𝜑 → (toInc‘(𝐹𝐵)) ∈ Dirset)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝐹,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem ipodrsima
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipodrsima.a . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ 𝑉)
21elexd 3491 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ V)
3 ipodrsima.d . . . . 5 (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
4 isipodrs 17749 . . . . 5 ((toInc‘𝐵) ∈ Dirset ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐))
53, 4sylib 221 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐))
65simp2d 1140 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
7 ipodrsima.f . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
8 ipodrsima.s . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
9 fnimaeq0 6454 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
107, 8, 9syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
1110necon3bid 3051 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
126, 11mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≠ ∅)
135simp3d 1141 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐)
14 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → 𝜑)
15 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → 𝑎𝑐)
168ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
17 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐵)
1816, 17sseldd 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
1918elpwid 4523 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → 𝑐𝐴)
2019adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → 𝑐𝐴)
21 vex 3474 . . . . . . . . . . . . 13 𝑎 ∈ V
22 vex 3474 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
23 sseq12 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (𝑢𝑣𝑎𝑐))
24 sseq1 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑐 → (𝑣𝐴𝑐𝐴))
2524adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (𝑣𝐴𝑐𝐴))
2623, 25anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → ((𝑢𝑣𝑣𝐴) ↔ (𝑎𝑐𝑐𝐴)))
2726anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎𝑐𝑐𝐴))))
28 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑎 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑎))
29 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑐 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑐))
30 sseq12 3970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑢) = (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑣) = (𝐹𝑐)) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐)))
3128, 29, 30syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐)))
3227, 31imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐))))
33 ipodrsima.m . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣))
3421, 22, 32, 33vtocl2 3538 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐))
3514, 15, 20, 34syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑎𝑐) → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐))
3635ex 416 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑎𝑐 → (𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐)))
37 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝜑)
38 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑏𝑐)
3919adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → 𝑐𝐴)
40 vex 3474 . . . . . . . . . . . . 13 𝑏 ∈ V
41 sseq12 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑢𝑣𝑏𝑐))
4224adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑣𝐴𝑐𝐴))
4341, 42anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → ((𝑢𝑣𝑣𝐴) ↔ (𝑏𝑐𝑐𝐴)))
4443anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏𝑐𝑐𝐴))))
45 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑏 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑏))
46 sseq12 3970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑢) = (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑣) = (𝐹𝑐)) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)))
4745, 29, 46syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → ((𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣) ↔ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)))
4844, 47imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢𝑣𝑣𝐴)) → (𝐹𝑢) ⊆ (𝐹𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑏𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))))
4940, 22, 48, 33vtocl2 3538 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑐𝑐𝐴)) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))
5037, 38, 39, 49syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) ∧ 𝑏𝑐) → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))
5150ex 416 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → (𝑏𝑐 → (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)))
5236, 51anim12d 611 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎𝑐𝑏𝑐) → ((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐))))
53 unss 4136 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐)
54 unss 4136 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑎) ⊆ (𝐹𝑐) ∧ (𝐹𝑏) ⊆ (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
5552, 53, 543imtr3g 298 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵)) → ((𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
5655anassrs 471 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
5756reximdva 3260 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (∃𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ∃𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
5857ralimdva 3165 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
5958ralimdva 3165 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 (𝑎𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
6013, 59mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐))
61 uneq1 4108 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥𝑦) = ((𝐹𝑎) ∪ 𝑦))
6261sseq1d 3974 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
6362rexbidv 3283 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
6463ralbidv 3185 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
6564ralima 6974 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
667, 8, 65syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
67 uneq2 4109 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) = ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)))
6867sseq1d 3974 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
6968rexbidv 3283 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
7069ralima 6974 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
717, 8, 70syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧))
72 sseq2 3969 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7372rexima 6973 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
747, 8, 73syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7574ralbidv 3185 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑏𝐵𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7671, 75bitrd 282 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7776ralbidv 3185 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝐵𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)((𝐹𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7866, 77bitrd 282 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵𝑐𝐵 ((𝐹𝑎) ∪ (𝐹𝑏)) ⊆ (𝐹𝑐)))
7960, 78mpbird 260 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧)
80 isipodrs 17749 . 2 ((toInc‘(𝐹𝐵)) ∈ Dirset ↔ ((𝐹𝐵) ∈ V ∧ (𝐹𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹𝐵)(𝑥𝑦) ⊆ 𝑧))
812, 12, 79, 80syl3anbrc 1340 1 (𝜑 → (toInc‘(𝐹𝐵)) ∈ Dirset)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∀wral 3126  ∃wrex 3127  Vcvv 3471   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  ∅c0 4266  𝒫 cpw 4512   “ cima 5531   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  Dirsetcdrs 17515  toInccipo 17739 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ocomp 16564  df-proset 17516  df-drs 17517  df-poset 17534  df-ipo 17740 This theorem is referenced by:  isacs4lem  17756  isnacs3  39448
 Copyright terms: Public domain W3C validator