Theorem ipodrsima 18507

Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipodrsima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
ipodrsima.m	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣))
ipodrsima.d	⊢ (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
ipodrsima.s	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
ipodrsima.a	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ipodrsima	⊢ (𝜑 → (toInc‘(𝐹 “ 𝐵)) ∈ Dirset)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝐹,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem ipodrsima

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipodrsima.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3474	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ∈ V)
3		ipodrsima.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
4		isipodrs 18503	. . . . 5 ⊢ ((toInc‘𝐵) ∈ Dirset ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐))
5	3, 4	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐))
6	5	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
7		ipodrsima.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
8		ipodrsima.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
9		fnimaeq0 6654	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 “ 𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ 𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
11	10	necon3bid 2970	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
12	6, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ≠ ∅)
13	5	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐)
14		simplll 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → 𝜑)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐)
16	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
17		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
18	16, 17	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
19	18	elpwid 4575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
21		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑎 ∈ V
22		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ V
23		sseq12 3977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑢 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
24		sseq1 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑐 ⊆ 𝐴))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑐 ⊆ 𝐴))
26	23, 25	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)))
27	26	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴))))
28		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑎))
29		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑐))
30		sseq12 3977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑐)) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
31	28, 29, 30	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
32	27, 31	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐))))
33		ipodrsima.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣))
34	21, 22, 32, 33	vtocl2 3535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐))
35	14, 15, 20, 34	syl12anc 836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐))
36	35	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ⊆ 𝑐 → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
37		simplll 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝜑)
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑏 ⊆ 𝑐)
39	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
40		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑏 ∈ V
41		sseq12 3977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑢 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
42	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑐 ⊆ 𝐴))
43	41, 42	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)))
44	43	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴))))
45		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑏))
46		sseq12 3977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑐)) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
47	45, 29, 46	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
48	44, 47	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))))
49	40, 22, 48, 33	vtocl2 3535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))
50	37, 38, 39, 49	syl12anc 836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))
51	50	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ⊆ 𝑐 → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
52	36, 51	anim12d 609	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → ((𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))))
53		unss 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) ↔ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐)
54		unss 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
55	52, 53, 54	3imtr3g 295	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
56	55	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
57	56	reximdva 3147	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
58	57	ralimdva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
59	58	ralimdva 3146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
60	13, 59	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
61		uneq1 4127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 ∪ 𝑦) = ((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦))
62	61	sseq1d 3981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
63	62	rexbidv 3158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
64	63	ralbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
65	64	ralima 7214	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
66	7, 8, 65	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
67		uneq2 4128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → ((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) = ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)))
68	67	sseq1d 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → (((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
69	68	rexbidv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
70	69	ralima 7214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
71	7, 8, 70	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
72		sseq2 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → (((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
73	72	rexima 7215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
74	7, 8, 73	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
75	74	ralbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
76	71, 75	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
77	76	ralbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
78	66, 77	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
79	60, 78	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
80		isipodrs 18503	. 2 ⊢ ((toInc‘(𝐹 “ 𝐵)) ∈ Dirset ↔ ((𝐹 “ 𝐵) ∈ V ∧ (𝐹 “ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
81	2, 12, 79, 80	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → (toInc‘(𝐹 “ 𝐵)) ∈ Dirset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∪ cun 3915   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  Dirsetcdrs 18261  toInccipo 18493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ocomp 17248  df-proset 18262  df-drs 18263  df-poset 18281  df-ipo 18494

This theorem is referenced by:  isacs4lem  18510  isnacs3  42705