Theorem ipodrsima 17767

Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipodrsima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
ipodrsima.m	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣))
ipodrsima.d	⊢ (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
ipodrsima.s	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
ipodrsima.a	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ipodrsima	⊢ (𝜑 → (toInc‘(𝐹 “ 𝐵)) ∈ Dirset)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝐹,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem ipodrsima

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipodrsima.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3461	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ∈ V)
3		ipodrsima.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (toInc‘𝐵) ∈ Dirset)
4		isipodrs 17763	. . . . 5 ⊢ ((toInc‘𝐵) ∈ Dirset ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐))
5	3, 4	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐))
6	5	simp2d 1140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
7		ipodrsima.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
8		ipodrsima.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
9		fnimaeq0 6453	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → ((𝐹 “ 𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
10	7, 8, 9	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ 𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 = ∅))
11	10	necon3bid 3031	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ 𝐵) ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
12	6, 11	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐵) ≠ ∅)
13	5	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐)
14		simplll 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → 𝜑)
15		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → 𝑎 ⊆ 𝑐)
16	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴)
17		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
18	16, 17	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
19	18	elpwid 4508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
20	19	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
21		vex 3444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑎 ∈ V
22		vex 3444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ V
23		sseq12 3942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑢 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑎 ⊆ 𝑐))
24		sseq1 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑐 ⊆ 𝐴))
25	24	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑐 ⊆ 𝐴))
26	23, 25	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)))
27	26	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴))))
28		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑎))
29		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 = 𝑐 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑐))
30		sseq12 3942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑎) ∧ (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑐)) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
31	28, 29, 30	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
32	27, 31	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐))))
33		ipodrsima.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣))
34	21, 22, 32, 33	vtocl2 3509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐))
35	14, 15, 20, 34	syl12anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑎 ⊆ 𝑐) → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐))
36	35	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑎 ⊆ 𝑐 → (𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
37		simplll 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝜑)
38		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑏 ⊆ 𝑐)
39	19	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
40		vex 3444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑏 ∈ V
41		sseq12 3942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑢 ⊆ 𝑣 ↔ 𝑏 ⊆ 𝑐))
42	24	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑐 ⊆ 𝐴))
43	41, 42	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)))
44	43	anbi2d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴))))
45		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑏 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑏))
46		sseq12 3942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑏) ∧ (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑐)) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
47	45, 29, 46	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → ((𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣) ↔ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
48	44, 47	imbi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑢) ⊆ (𝐹‘𝑣)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))))
49	40, 22, 48, 33	vtocl2 3509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑐 ⊆ 𝐴)) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))
50	37, 38, 39, 49	syl12anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))
51	50	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝑏 ⊆ 𝑐 → (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
52	36, 51	anim12d 611	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) → ((𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐))))
53		unss 4111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ⊆ 𝑐 ∧ 𝑏 ⊆ 𝑐) ↔ (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐)
54		unss 4111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑎) ⊆ (𝐹‘𝑐) ∧ (𝐹‘𝑏) ⊆ (𝐹‘𝑐)) ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
55	52, 53, 54	3imtr3g 298	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
56	55	anassrs 471	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
57	56	reximdva 3233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
58	57	ralimdva 3144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
59	58	ralimdva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 (𝑎 ∪ 𝑏) ⊆ 𝑐 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
60	13, 59	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
61		uneq1 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (𝑥 ∪ 𝑦) = ((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦))
62	61	sseq1d 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ((𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
63	62	rexbidv 3256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
64	63	ralbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
65	64	ralima 6978	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
66	7, 8, 65	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
67		uneq2 4084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → ((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) = ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)))
68	67	sseq1d 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → (((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
69	68	rexbidv 3256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
70	69	ralima 6978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
71	7, 8, 70	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧))
72		sseq2 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → (((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
73	72	rexima 6977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
74	7, 8, 73	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
75	74	ralbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
76	71, 75	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
77	76	ralbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)((𝐹‘𝑎) ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
78	66, 77	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑐 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑎) ∪ (𝐹‘𝑏)) ⊆ (𝐹‘𝑐)))
79	60, 78	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧)
80		isipodrs 17763	. 2 ⊢ ((toInc‘(𝐹 “ 𝐵)) ∈ Dirset ↔ ((𝐹 “ 𝐵) ∈ V ∧ (𝐹 “ 𝐵) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐵)∃𝑧 ∈ (𝐹 “ 𝐵)(𝑥 ∪ 𝑦) ⊆ 𝑧))
81	2, 12, 79, 80	syl3anbrc 1340	1 ⊢ (𝜑 → (toInc‘(𝐹 “ 𝐵)) ∈ Dirset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  Dirsetcdrs 17529  toInccipo 17753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ocomp 16578  df-proset 17530  df-drs 17531  df-poset 17548  df-ipo 17754

This theorem is referenced by:  isacs4lem  17770  isnacs3  39651