Theorem unelldsys 34194

Description: Lambda-systems are closed under disjoint set unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isldsys.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
unelldsys.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
unelldsys.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
unelldsys.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
unelldsys.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
unelldsys	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑂,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐵(𝑥,𝑠)   𝑆(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem unelldsys

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 4110	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
3		uncom 4107	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐵)
4		un0 4343	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ ∅) = 𝐵
5	3, 4	eqtr3i 2758	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
6	2, 5	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
7		unelldsys.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
9	6, 8	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
10		unelldsys.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11		uniprg 4876	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
12	10, 7, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
14		prct 32702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
15	10, 7, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
17		unelldsys.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
19	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑆)
20	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
21		n0 4302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
22	21	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
24		disjel 4406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
25	17, 24	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
26		nelne1 3026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27	26	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
28	25, 27	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
29	28	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	23, 29	exlimddv 1936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ 𝐵)
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
32		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
33	31, 32	disjprg 5091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
34	19, 20, 30, 33	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
35	18, 34	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)
36		breq1 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (𝑧 ≼ ω ↔ {𝐴, 𝐵} ≼ ω))
37		disjeq1 5069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦))
38	36, 37	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) ↔ ({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)))
39		unieq 4871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∪ 𝑧 = ∪ {𝐴, 𝐵})
40	39	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (∪ 𝑧 ∈ 𝑆 ↔ ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
41	38, 40	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆) ↔ (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)))
42		unelldsys.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
43		isldsys.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
44		biid 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑠 ↔ ∅ ∈ 𝑠)
45		difeq2 4069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝑧))
46	45	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠))
47	46	cbvralvw 3211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠)
48		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
49		disjeq1 5069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦))
50	48, 49	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)))
51		unieq 4871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)
52	51	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑠 ↔ ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))
53	50, 52	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠)))
54	53	cbvralvw 3211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))
55	44, 47, 54	3anbi123i 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠)))
56	55	rabbii 3401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))}
57	43, 56	eqtri 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))}
58	57	isldsys 34192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))))
59	42, 58	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))))
60	59	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)))
61	60	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))
62		prelpwi 5392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
63	10, 7, 62	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
64	41, 61, 63	rspcdva 3574	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
65	64	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
66	16, 35, 65	mp2and 699	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
67	13, 66	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
68	9, 67	pm2.61dane 3016	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  {crab 3396   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4551  {cpr 4579  ∪ cuni 4860  Disj wdisj 5062   class class class wbr 5095  ωcom 7804   ≼ cdom 8875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-oi 9405  df-dju 9803  df-card 9841

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem1  34199