Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unelldsys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unelldsys 33777
Description: Lambda-systems are closed under disjoint set unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isldsys.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
unelldsys.s (𝜑𝑆𝐿)
unelldsys.a (𝜑𝐴𝑆)
unelldsys.b (𝜑𝐵𝑆)
unelldsys.c (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
Assertion
Ref Expression
unelldsys (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑂,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐵(𝑥,𝑠)   𝑆(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem unelldsys
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq1 4155 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
21adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝐴𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
3 uncom 4152 . . . . 5 (𝐵 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐵)
4 un0 4391 . . . . 5 (𝐵 ∪ ∅) = 𝐵
53, 4eqtr3i 2758 . . . 4 (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
62, 5eqtrdi 2784 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
7 unelldsys.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑆)
87adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → 𝐵𝑆)
96, 8eqeltrd 2829 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
10 unelldsys.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
11 uniprg 4924 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
1210, 7, 11syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
14 prct 32509 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
1510, 7, 14syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
1615adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
17 unelldsys.c . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝐴𝐵) = ∅)
1910adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)
207adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐵𝑆)
21 n0 4347 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
2221biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧 𝑧𝐴)
2322adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
24 disjel 4457 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑧𝐴) → ¬ 𝑧𝐵)
2517, 24sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → ¬ 𝑧𝐵)
26 nelne1 3036 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝐵) → 𝐴𝐵)
2726adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ¬ 𝑧𝐵) → 𝐴𝐵)
2825, 27mpdan 686 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐴𝐵)
2928adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐴𝐵)
3023, 29exlimddv 1931 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝐵)
31 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
32 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
3331, 32disjprgw 5143 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
3419, 20, 30, 33syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴𝐵) = ∅))
3518, 34mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)
36 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (𝑧 ≼ ω ↔ {𝐴, 𝐵} ≼ ω))
37 disjeq1 5120 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (Disj 𝑦𝑧 𝑦Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦))
3836, 37anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) ↔ ({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)))
39 unieq 4919 . . . . . . . 8 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → 𝑧 = {𝐴, 𝐵})
4039eleq1d 2814 . . . . . . 7 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ( 𝑧𝑆 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
4138, 40imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑆) ↔ (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)))
42 unelldsys.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝐿)
43 isldsys.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
44 biid 261 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝑠 ↔ ∅ ∈ 𝑠)
45 difeq2 4114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑧))
4645eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑂𝑧) ∈ 𝑠))
4746cbvralvw 3231 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧𝑠 (𝑂𝑧) ∈ 𝑠)
48 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
49 disjeq1 5120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦𝑧 𝑦))
5048, 49anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)))
51 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 𝑥 = 𝑧)
5251eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥𝑠 𝑧𝑠))
5350, 52imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠)))
5453cbvralvw 3231 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠))
5544, 47, 543anbi123i 1153 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠)) ↔ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧𝑠 (𝑂𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠)))
5655rabbii 3435 . . . . . . . . . . 11 {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧𝑠 (𝑂𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠))}
5743, 56eqtri 2756 . . . . . . . . . 10 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧𝑠 (𝑂𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑠))}
5857isldsys 33775 . . . . . . . . 9 (𝑆𝐿 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 (𝑂𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑆))))
5942, 58sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 (𝑂𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑆))))
6059simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 (𝑂𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑆)))
6160simp3d 1142 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑆))
62 prelpwi 5449 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
6310, 7, 62syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
6441, 61, 63rspcdva 3610 . . . . 5 (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
6564adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
6616, 35, 65mp2and 698 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
6713, 66eqeltrrd 2830 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
689, 67pm2.61dane 3026 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  {crab 3429  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  c0 4323  𝒫 cpw 4603  {cpr 4631   cuni 4908  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  ωcom 7870  cdom 8962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963
This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem1  33782
  Copyright terms: Public domain W3C validator