Theorem unelldsys 34838

Description: Lambda-systems are closed under disjoint set unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isldsys.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
unelldsys.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
unelldsys.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
unelldsys.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
unelldsys.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
unelldsys	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑂,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑠)   𝐴(𝑥, 𝑠)   𝐵(𝑥, 𝑠)   𝑆(𝑦)   𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem unelldsys

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 4160	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
3		uncom 4157	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐵)
4		un0 4343	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ ∅) = 𝐵
5	3, 4	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
6	2, 5	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
7		unelldsys.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
9	6, 8	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
10		unelldsys.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11		uniprg 4882	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
12	10, 7, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
14		prct 33354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
15	10, 7, 14	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
17		unelldsys.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
19	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑆)
20	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
21		n0 4299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
22	21	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
23		disjel 4409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
24	17, 23	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
25		nelne1 3052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
26	25	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27	24, 26	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
28	27	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
29	22, 28	exlimddv 1967	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
31		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
32	30, 31	disjprg 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
33	19, 20, 29, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
34	18, 33	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)
35		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (𝑧 ≼ ω ↔ {𝐴, 𝐵} ≼ ω))
36		disjeq1 5076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦))
37	35, 36	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) ↔ ({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)))
38		unieq 4877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∪ 𝑧 = ∪ {𝐴, 𝐵})
39	38	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (∪ 𝑧 ∈ 𝑆 ↔ ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
40	37, 39	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆) ↔ (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)))
41		unelldsys.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
42		isldsys.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
43		biid 264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑠 ↔ ∅ ∈ 𝑠)
44		difeq2 4057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝑧))
45	44	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠))
46	45	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠)
47		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
48		disjeq1 5076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦))
49	47, 48	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)))
50		unieq 4877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)
51	50	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑠 ↔ ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))
52	49, 51	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠)))
53	52	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))
54	43, 46, 53	3anbi123i 1173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠)))
55	54	rabbii 3417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))}
56	42, 55	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))}
57	56	isldsys 34836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))))
58	41, 57	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))))
59	58	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)))
60	59	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))
61		prelpwi 5414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
62	10, 7, 61	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
63	40, 60, 62	rspcdva 3577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
64	63	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
65	16, 34, 64	mp2and 712	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
66	13, 65	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
67	9, 66	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {cpr 4586  ∪ cuni 4866  Disj wdisj 5069   class class class wbr 5102  ωcom 7878   ≼ cdom 8975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024

This theorem is used by:  ldgenpisyslem1  34843