Theorem unelldsys 34155

Description: Lambda-systems are closed under disjoint set unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isldsys.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
unelldsys.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
unelldsys.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
unelldsys.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
unelldsys.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
unelldsys	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑂,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐵(𝑥,𝑠)   𝑆(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem unelldsys

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 4127	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
3		uncom 4124	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐵)
4		un0 4360	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ ∅) = 𝐵
5	3, 4	eqtr3i 2755	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
6	2, 5	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
7		unelldsys.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
9	6, 8	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
10		unelldsys.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11		uniprg 4890	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
12	10, 7, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
14		prct 32645	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
15	10, 7, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
17		unelldsys.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
19	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑆)
20	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
21		n0 4319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
22	21	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
24		disjel 4423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
25	17, 24	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
26		nelne1 3023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27	26	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
28	25, 27	mpdan 687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
29	28	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	23, 29	exlimddv 1935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ 𝐵)
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
32		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
33	31, 32	disjprg 5106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
34	19, 20, 30, 33	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
35	18, 34	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)
36		breq1 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (𝑧 ≼ ω ↔ {𝐴, 𝐵} ≼ ω))
37		disjeq1 5084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦))
38	36, 37	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) ↔ ({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)))
39		unieq 4885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∪ 𝑧 = ∪ {𝐴, 𝐵})
40	39	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (∪ 𝑧 ∈ 𝑆 ↔ ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
41	38, 40	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆) ↔ (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)))
42		unelldsys.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
43		isldsys.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
44		biid 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑠 ↔ ∅ ∈ 𝑠)
45		difeq2 4086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝑧))
46	45	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠))
47	46	cbvralvw 3216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠)
48		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
49		disjeq1 5084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦))
50	48, 49	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)))
51		unieq 4885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)
52	51	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑠 ↔ ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))
53	50, 52	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠)))
54	53	cbvralvw 3216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))
55	44, 47, 54	3anbi123i 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠)))
56	55	rabbii 3414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))}
57	43, 56	eqtri 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))}
58	57	isldsys 34153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))))
59	42, 58	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))))
60	59	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)))
61	60	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))
62		prelpwi 5410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
63	10, 7, 62	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
64	41, 61, 63	rspcdva 3592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
65	64	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
66	16, 35, 65	mp2and 699	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
67	13, 66	eqeltrrd 2830	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
68	9, 67	pm2.61dane 3013	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  {crab 3408   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {cpr 4594  ∪ cuni 4874  Disj wdisj 5077   class class class wbr 5110  ωcom 7845   ≼ cdom 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem1  34160