Theorem unelldsys 32026

Description: Lambda-systems are closed under disjoint set unions. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isldsys.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
unelldsys.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
unelldsys.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
unelldsys.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
unelldsys.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
unelldsys	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑂,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠,𝑥   𝑥,𝑦   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑠)   𝐵(𝑥,𝑠)   𝑆(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑠)   𝑂(𝑦)

Proof of Theorem unelldsys

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 4086	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) = (∅ ∪ 𝐵))
3		uncom 4083	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐵)
4		un0 4321	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ ∅) = 𝐵
5	3, 4	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ 𝐵) = 𝐵
6	2, 5	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐵)
7		unelldsys.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
9	6, 8	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
10		unelldsys.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11		uniprg 4853	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
12	10, 7, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
14		prct 30951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
15	10, 7, 14	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
17		unelldsys.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
19	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑆)
20	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑆)
21		n0 4277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
22	21	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐴)
24		disjel 4387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
25	17, 24	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
26		nelne1 3040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27	26	adantll 710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
28	25, 27	mpdan 683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
29	28	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	23, 29	exlimddv 1939	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ 𝐵)
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
32		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
33	31, 32	disjprgw 5065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
34	19, 20, 30, 33	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅))
35	18, 34	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)
36		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (𝑧 ≼ ω ↔ {𝐴, 𝐵} ≼ ω))
37		disjeq1 5042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦))
38	36, 37	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) ↔ ({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦)))
39		unieq 4847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → ∪ 𝑧 = ∪ {𝐴, 𝐵})
40	39	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (∪ 𝑧 ∈ 𝑆 ↔ ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
41	38, 40	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = {𝐴, 𝐵} → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆) ↔ (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)))
42		unelldsys.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐿)
43		isldsys.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
44		biid 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝑠 ↔ ∅ ∈ 𝑠)
45		difeq2 4047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝑧))
46	45	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠))
47	46	cbvralvw 3372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠)
48		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
49		disjeq1 5042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦))
50	48, 49	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)))
51		unieq 4847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)
52	51	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑠 ↔ ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))
53	50, 52	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠)))
54	53	cbvralvw 3372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))
55	44, 47, 54	3anbi123i 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠)) ↔ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠)))
56	55	rabbii 3397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))}
57	43, 56	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑠((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑠))}
58	57	isldsys 32024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐿 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))))
59	42, 58	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))))
60	59	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (𝑂 ∖ 𝑧) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆)))
61	60	simp3d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑆))
62		prelpwi 5357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
63	10, 7, 62	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
64	41, 61, 63	rspcdva 3554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
65	64	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (({𝐴, 𝐵} ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑦) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
66	16, 35, 65	mp2and 695	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∪ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
67	13, 66	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)
68	9, 67	pm2.61dane 3031	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  {crab 3067   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {cpr 4560  ∪ cuni 4836  Disj wdisj 5035   class class class wbr 5070  ωcom 7687   ≼ cdom 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem1  32031