Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpset2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpset2N 38502
Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpset2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpset2.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpset2.z 0 = (0gβ€˜π·)
lshpset2.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpset2.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lshpset2.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lshpset2N (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐻 = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))})
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,π‘Š,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔,𝑠)
Proof of Theorem lshpset2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpset2.h . . . . . 6 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
2 lshpset2.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
3 lshpset2.k . . . . . 6 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
41, 2, 3lshpkrex 38501 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠)
5 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . 12 ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻 ↔ 𝑠 ∈ 𝐻))
65biimparc 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ 𝐻 ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ (πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻)
76adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ (πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻)
87adantlr 712 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ (πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻)
9 lshpset2.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
10 lshpset2.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
11 lshpset2.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π·)
12 simplll 772 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ π‘Š ∈ LVec)
13 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
149, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13lkrshp3 38489 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻 ↔ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })))
158, 14mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }))
1615ex 412 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })))
17 eqimss2 4036 . . . . . . . . 9 ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ 𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘”))
18 eqimss 4035 . . . . . . . . 9 ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ (πΎβ€˜π‘”) βŠ† 𝑠)
1917, 18eqssd 3994 . . . . . . . 8 ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)))
2116, 20jcad 512 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))))
2221reximdva 3162 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))))
234, 22mpd 15 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)))
2423ex 412 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑠 ∈ 𝐻 β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))))
259, 10, 11, 1, 2, 3lkrshp 38488 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻)
26253adant3r 1178 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ (πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻)
27 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
28 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
299, 27, 28, 1islshp 38362 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻 ↔ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
30293ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻 ↔ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
3126, 30mpbid 231 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
32 eleq1 2815 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)))
33 neeq1 2997 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (𝑠 β‰  𝑉 ↔ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉))
34 uneq1 4151 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑣}) = ((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣}))
3534fveqeq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
3635rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
3732, 33, 363anbi123d 1432 . . . . . . . 8 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ ((𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
3837adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)) β†’ ((𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
39383ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ ((𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
4031, 39mpbird 257 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
4140rexlimdv3a 3153 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)) β†’ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
429, 27, 28, 1islshp 38362 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
4341, 42sylibrd 259 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐻))
4424, 43impbid 211 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))))
4544eqabdv 2861 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐻 = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆͺ cun 3941  {csn 4623   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  0gc0g 17394  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LVecclvec 20950  LSHypclsh 38358  LFnlclfn 38440  LKerclk 38468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lshyp 38360  df-lfl 38441  df-lkr 38469
This theorem is referenced by:  islshpkrN  38503
  Copyright terms: Public domain W3C validator