Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpset2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpset2N 38647
Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpset2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpset2.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpset2.z 0 = (0gβ€˜π·)
lshpset2.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpset2.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lshpset2.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lshpset2N (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐻 = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))})
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,π‘Š,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔,𝑠)
Proof of Theorem lshpset2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpset2.h . . . . . 6 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
2 lshpset2.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
3 lshpset2.k . . . . . 6 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
41, 2, 3lshpkrex 38646 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠)
5 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻 ↔ 𝑠 ∈ 𝐻))
65biimparc 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ 𝐻 ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ (πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻)
76adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ (πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻)
87adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ (πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻)
9 lshpset2.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
10 lshpset2.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
11 lshpset2.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π·)
12 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ π‘Š ∈ LVec)
13 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ 𝑔 ∈ 𝐹)
149, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13lkrshp3 38634 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻 ↔ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })))
158, 14mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠) β†’ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }))
1615ex 411 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })))
17 eqimss2 4032 . . . . . . . . 9 ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ 𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘”))
18 eqimss 4031 . . . . . . . . 9 ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ (πΎβ€˜π‘”) βŠ† 𝑠)
1917, 18eqssd 3990 . . . . . . . 8 ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)))
2116, 20jcad 511 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))))
2221reximdva 3158 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (πΎβ€˜π‘”) = 𝑠 β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))))
234, 22mpd 15 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)))
2423ex 411 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑠 ∈ 𝐻 β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))))
259, 10, 11, 1, 2, 3lkrshp 38633 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻)
26253adant3r 1178 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ (πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻)
27 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
28 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
299, 27, 28, 1islshp 38507 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻 ↔ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
30293ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ 𝐻 ↔ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
3126, 30mpbid 231 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
32 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ↔ (πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)))
33 neeq1 2993 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (𝑠 β‰  𝑉 ↔ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉))
34 uneq1 4149 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑣}) = ((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣}))
3534fveqeq2d 6900 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
3635rexbidv 3169 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
3732, 33, 363anbi123d 1432 . . . . . . . 8 (𝑠 = (πΎβ€˜π‘”) β†’ ((𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
3837adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)) β†’ ((𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
39383ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ ((𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((πΎβ€˜π‘”) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜π‘”) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜π‘”) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
4031, 39mpbird 256 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))) β†’ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
4140rexlimdv3a 3149 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)) β†’ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
429, 27, 28, 1islshp 38507 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑠 β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜(𝑠 βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
4341, 42sylibrd 258 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐻))
4424, 43impbid 211 . 2 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))))
4544eqabdv 2859 1 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐻 = {𝑠 ∣ βˆƒπ‘” ∈ 𝐹 (𝑔 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) ∧ 𝑠 = (πΎβ€˜π‘”))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   βˆͺ cun 3937  {csn 4624   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6543  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235  0gc0g 17420  LSubSpclss 20819  LSpanclspn 20859  LVecclvec 20991  LSHypclsh 38503  LFnlclfn 38585  LKerclk 38613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lshyp 38505  df-lfl 38586  df-lkr 38614
This theorem is referenced by:  islshpkrN  38648
  Copyright terms: Public domain W3C validator