Theorem lshpset2N 39085

Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpset2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpset2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpset2N	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔,𝑠)

Proof of Theorem lshpset2N

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpset2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
2		lshpset2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lshpset2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4	1, 2, 3	lshpkrex 39084	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑠)
5		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ 𝑠 ∈ 𝐻))
6	5	biimparc 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐻 ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
7	6	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
8	7	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
9		lshpset2.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		lshpset2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lshpset2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑊 ∈ LVec)
13		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ∈ 𝐹)
14	9, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13	lkrshp3 39072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
15	8, 14	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }))
16	15	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
17		eqimss2 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 ⊆ (𝐾‘𝑔))
18		eqimss 4002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → (𝐾‘𝑔) ⊆ 𝑠)
19	17, 18	eqssd 3961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 = (𝐾‘𝑔))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 = (𝐾‘𝑔)))
21	16, 20	jcad 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
22	21	reximdva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑠 → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
23	4, 22	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)))
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
25	9, 10, 11, 1, 2, 3	lkrshp 39071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
26	25	3adant3r 1182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
27		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
29	9, 27, 28, 1	islshp 38945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
31	26, 30	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
32		eleq1 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊)))
33		neeq1 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ≠ 𝑉 ↔ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉))
34		uneq1 4120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ∪ {𝑣}) = ((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣}))
35	34	fveqeq2d 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
36	35	rexbidv 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
37	32, 33, 36	3anbi123d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
39	38	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
40	31, 39	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
41	40	rexlimdv3a 3138	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
42	9, 27, 28, 1	islshp 38945	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43	41, 42	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑠 ∈ 𝐻))
44	24, 43	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
45	44	eqabdv 2861	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∪ cun 3909  {csn 4585   × cxp 5629  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199  0_gc0g 17378  LSubSpclss 20813  LSpanclspn 20853  LVecclvec 20985  LSHypclsh 38941  LFnlclfn 39023  LKerclk 39051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-lsm 19542  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-drng 20616  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-lvec 20986  df-lshyp 38943  df-lfl 39024  df-lkr 39052

This theorem is referenced by:  islshpkrN  39086