Theorem lshpset2N 39318

Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpset2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpset2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpset2N	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔,𝑠)

Proof of Theorem lshpset2N

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpset2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
2		lshpset2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lshpset2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4	1, 2, 3	lshpkrex 39317	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑠)
5		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ 𝑠 ∈ 𝐻))
6	5	biimparc 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐻 ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
7	6	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
8	7	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
9		lshpset2.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		lshpset2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lshpset2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑊 ∈ LVec)
13		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ∈ 𝐹)
14	9, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13	lkrshp3 39305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
15	8, 14	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }))
16	15	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
17		eqimss2 3991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 ⊆ (𝐾‘𝑔))
18		eqimss 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → (𝐾‘𝑔) ⊆ 𝑠)
19	17, 18	eqssd 3949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 = (𝐾‘𝑔))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 = (𝐾‘𝑔)))
21	16, 20	jcad 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
22	21	reximdva 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑠 → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
23	4, 22	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)))
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
25	9, 10, 11, 1, 2, 3	lkrshp 39304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
26	25	3adant3r 1182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
27		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
29	9, 27, 28, 1	islshp 39178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
31	26, 30	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
32		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊)))
33		neeq1 2992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ≠ 𝑉 ↔ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉))
34		uneq1 4111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ∪ {𝑣}) = ((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣}))
35	34	fveqeq2d 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
36	35	rexbidv 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
37	32, 33, 36	3anbi123d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
39	38	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
40	31, 39	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
41	40	rexlimdv3a 3139	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
42	9, 27, 28, 1	islshp 39178	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43	41, 42	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑠 ∈ 𝐻))
44	24, 43	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
45	44	eqabdv 2867	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2712   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058   ∪ cun 3897  {csn 4578   × cxp 5620  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  Scalarcsca 17178  0_gc0g 17357  LSubSpclss 20880  LSpanclspn 20920  LVecclvec 21052  LSHypclsh 39174  LFnlclfn 39256  LKerclk 39284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-lsm 19563  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-drng 20662  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lvec 21053  df-lshyp 39176  df-lfl 39257  df-lkr 39285

This theorem is referenced by:  islshpkrN  39319