Theorem lshpset2N 40316

Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpset2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpset2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpset2N	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔, 𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔, 𝑠)

Proof of Theorem lshpset2N

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpset2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
2		lshpset2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lshpset2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4	1, 2, 3	lshpkrex 40315	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑠)
5		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ 𝑠 ∈ 𝐻))
6	5	biimparc 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐻 ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
7	6	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
8	7	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
9		lshpset2.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		lshpset2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lshpset2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		simplll 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑊 ∈ LVec)
13		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ∈ 𝐹)
14	9, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13	lkrshp3 40303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
15	8, 14	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }))
16	15	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
17		eqimss2 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 ⊆ (𝐾‘𝑔))
18		eqimss 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → (𝐾‘𝑔) ⊆ 𝑠)
19	17, 18	eqssd 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 = (𝐾‘𝑔))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 = (𝐾‘𝑔)))
21	16, 20	jcad 522	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
22	21	reximdva 3178	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑠 → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
23	4, 22	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)))
24	23	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
25	9, 10, 11, 1, 2, 3	lkrshp 40302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
26	25	3adant3r 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
27		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
29	9, 27, 28, 1	islshp 40176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
30	29	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
31	26, 30	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
32		eleq1 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊)))
33		neeq1 3020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ≠ 𝑉 ↔ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉))
34		uneq1 4162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ∪ {𝑣}) = ((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣}))
35	34	fveqeq2d 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
36	35	rexbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
37	32, 33, 36	3anbi123d 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
38	37	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
39	38	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
40	31, 39	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
41	40	rexlimdv3a 3170	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
42	9, 27, 28, 1	islshp 40176	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43	41, 42	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑠 ∈ 𝐻))
44	24, 43	impbid 215	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
45	44	eqabdv 2896	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∪ cun 4151  {csn 4587   × cxp 5652  ‘cfv 6546  Basecbs 17399  Scalarcsca 17443  0_gc0g 17622  LSubSpclss 21218  LSpanclspn 21258  LVecclvec 21389  LSHypclsh 40172  LFnlclfn 40254  LKerclk 40282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-subg 19345  df-cntz 19543  df-lsm 19862  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-drng 20994  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-lvec 21390  df-lshyp 40174  df-lfl 40255  df-lkr 40283

This theorem is used by:  islshpkrN  40317