Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpset2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpset2N 35812
Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpset2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z 0 = (0g𝐷)
lshpset2.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpset2N (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))})
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔,𝑠)

Proof of Theorem lshpset2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpset2.h . . . . . 6 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
2 lshpset2.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lshpset2.k . . . . . 6 𝐾 = (LKer‘𝑊)
41, 2, 3lshpkrex 35811 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑠)
5 eleq1 2870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑔) = 𝑠 → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻𝑠𝐻))
65biimparc 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝐻 ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
76adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
87adantlr 711 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
9 lshpset2.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 lshpset2.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lshpset2.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐷)
12 simplll 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑊 ∈ LVec)
13 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑔𝐹)
149, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13lkrshp3 35799 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
158, 14mpbid 233 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }))
1615ex 413 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
17 eqimss2 3949 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 ⊆ (𝐾𝑔))
18 eqimss 3948 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑔) = 𝑠 → (𝐾𝑔) ⊆ 𝑠)
1917, 18eqssd 3910 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 = (𝐾𝑔))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 = (𝐾𝑔)))
2116, 20jcad 513 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠 → (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
2221reximdva 3237 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → (∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑠 → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
234, 22mpd 15 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)))
2423ex 413 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
259, 10, 11, 1, 2, 3lkrshp 35798 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
26253adant3r 1174 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
27 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
299, 27, 28, 1islshp 35672 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
30293ad2ant1 1126 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
3126, 30mpbid 233 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
32 eleq1 2870 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊)))
33 neeq1 3046 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠𝑉 ↔ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉))
34 uneq1 4057 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠 ∪ {𝑣}) = ((𝐾𝑔) ∪ {𝑣}))
3534fveqeq2d 6551 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3635rexbidv 3260 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3732, 33, 363anbi123d 1428 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐾𝑔) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
3837adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
39383ad2ant3 1128 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4031, 39mpbird 258 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
4140rexlimdv3a 3249 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
429, 27, 28, 1islshp 35672 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4341, 42sylibrd 260 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → 𝑠𝐻))
4424, 43impbid 213 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 ↔ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
4544abbi2dv 2919 1 (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  {cab 2775  wne 2984  wrex 3106  cun 3861  {csn 4476   × cxp 5446  cfv 6230  Basecbs 16317  Scalarcsca 16402  0gc0g 16547  LSubSpclss 19398  LSpanclspn 19438  LVecclvec 19569  LSHypclsh 35668  LFnlclfn 35750  LKerclk 35778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-tpos 7748  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-0g 16549  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-sbg 17871  df-subg 18035  df-cntz 18193  df-lsm 18496  df-cmn 18640  df-abl 18641  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-oppr 19068  df-dvdsr 19086  df-unit 19087  df-invr 19117  df-drng 19199  df-lmod 19331  df-lss 19399  df-lsp 19439  df-lvec 19570  df-lshyp 35670  df-lfl 35751  df-lkr 35779
This theorem is referenced by:  islshpkrN  35813
  Copyright terms: Public domain W3C validator