Theorem lshpset2N 39166

Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpset2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpset2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpset2N	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔,𝑠)

Proof of Theorem lshpset2N

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpset2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
2		lshpset2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lshpset2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4	1, 2, 3	lshpkrex 39165	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑠)
5		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ 𝑠 ∈ 𝐻))
6	5	biimparc 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐻 ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
7	6	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
8	7	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
9		lshpset2.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		lshpset2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lshpset2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑊 ∈ LVec)
13		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ∈ 𝐹)
14	9, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13	lkrshp3 39153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
15	8, 14	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }))
16	15	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
17		eqimss2 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 ⊆ (𝐾‘𝑔))
18		eqimss 3988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → (𝐾‘𝑔) ⊆ 𝑠)
19	17, 18	eqssd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 = (𝐾‘𝑔))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 = (𝐾‘𝑔)))
21	16, 20	jcad 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
22	21	reximdva 3145	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑠 → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
23	4, 22	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)))
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
25	9, 10, 11, 1, 2, 3	lkrshp 39152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
26	25	3adant3r 1182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
27		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
29	9, 27, 28, 1	islshp 39026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
31	26, 30	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
32		eleq1 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊)))
33		neeq1 2990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ≠ 𝑉 ↔ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉))
34		uneq1 4108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ∪ {𝑣}) = ((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣}))
35	34	fveqeq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
36	35	rexbidv 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
37	32, 33, 36	3anbi123d 1438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
39	38	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
40	31, 39	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
41	40	rexlimdv3a 3137	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
42	9, 27, 28, 1	islshp 39026	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43	41, 42	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑠 ∈ 𝐻))
44	24, 43	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
45	44	eqabdv 2864	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ∪ cun 3895  {csn 4573   × cxp 5612  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164  0_gc0g 17343  LSubSpclss 20864  LSpanclspn 20904  LVecclvec 21036  LSHypclsh 39022  LFnlclfn 39104  LKerclk 39132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lshyp 39024  df-lfl 39105  df-lkr 39133

This theorem is referenced by:  islshpkrN  39167