Theorem lshpset2N 39843

Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpset2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpset2.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpset2N	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔,𝑠)

Proof of Theorem lshpset2N

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpset2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
2		lshpset2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lshpset2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4	1, 2, 3	lshpkrex 39842	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑠)
5		eleq1 2858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ 𝑠 ∈ 𝐻))
6	5	biimparc 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐻 ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
7	6	adantll 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
8	7	adantlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
9		lshpset2.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		lshpset2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lshpset2.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		simplll 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑊 ∈ LVec)
13		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ∈ 𝐹)
14	9, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13	lkrshp3 39830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
15	8, 14	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }))
16	15	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
17		eqimss2 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 ⊆ (𝐾‘𝑔))
18		eqimss 4003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → (𝐾‘𝑔) ⊆ 𝑠)
19	17, 18	eqssd 3962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 = (𝐾‘𝑔))
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → 𝑠 = (𝐾‘𝑔)))
21	16, 20	jcad 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝑔) = 𝑠 → (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
22	21	reximdva 3185	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝐾‘𝑔) = 𝑠 → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
23	4, 22	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝐻) → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)))
24	23	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 → ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
25	9, 10, 11, 1, 2, 3	lkrshp 39829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
26	25	3adant3r 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → (𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻)
27		eqid 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28		eqid 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
29	9, 27, 28, 1	islshp 39703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
30	29	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝐾‘𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
31	26, 30	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
32		eleq1 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊)))
33		neeq1 3027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ≠ 𝑉 ↔ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉))
34		uneq1 4123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (𝑠 ∪ {𝑣}) = ((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣}))
35	34	fveqeq2d 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
36	35	rexbidv 3196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
37	32, 33, 36	3anbi123d 1462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐾‘𝑔) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
38	37	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
39	38	3ad2ant3 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾‘𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
40	31, 39	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔 ∈ 𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
41	40	rexlimdv3a 3177	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
42	9, 27, 28, 1	islshp 39703	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠 ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43	41, 42	sylibrd 262	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔)) → 𝑠 ∈ 𝐻))
44	24, 43	impbid 215	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑠 ∈ 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))))
45	44	eqabdv 2903	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾‘𝑔))})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  {cab 2748   ≠ wne 2965  ∃wrex 3096   ∪ cun 3911  {csn 4594   × cxp 5663  ‘cfv 6540  Basecbs 17272  Scalarcsca 17316  0_gc0g 17495  LSubSpclss 21035  LSpanclspn 21075  LVecclvec 21206  LSHypclsh 39699  LFnlclfn 39781  LKerclk 39809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-0g 17497  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-subg 19192  df-cntz 19390  df-lsm 19709  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-oppr 20422  df-dvdsr 20442  df-unit 20443  df-invr 20473  df-drng 20818  df-lmod 20966  df-lss 21036  df-lsp 21076  df-lvec 21207  df-lshyp 39701  df-lfl 39782  df-lkr 39810

This theorem is referenced by:  islshpkrN  39844