Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpset2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpset2N 38721
Description: The set of all hyperplanes of a left module or left vector space equals the set of all kernels of nonzero functionals. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpset2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpset2.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpset2.z 0 = (0g𝐷)
lshpset2.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpset2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lshpset2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpset2N (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))})
Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,𝑠,𝐻   𝑔,𝐾   𝑔,𝑉   𝑔,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔,𝑠)   𝐹(𝑠)   𝐾(𝑠)   𝑉(𝑠)   0 (𝑔,𝑠)

Proof of Theorem lshpset2N
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpset2.h . . . . . 6 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
2 lshpset2.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lshpset2.k . . . . . 6 𝐾 = (LKer‘𝑊)
41, 2, 3lshpkrex 38720 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑠)
5 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝑔) = 𝑠 → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻𝑠𝐻))
65biimparc 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝐻 ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
76adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
87adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
9 lshpset2.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 lshpset2.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lshpset2.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐷)
12 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑊 ∈ LVec)
13 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑔𝐹)
149, 10, 11, 1, 2, 3, 12, 13lkrshp3 38708 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
158, 14mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) ∧ (𝐾𝑔) = 𝑠) → 𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }))
1615ex 411 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })))
17 eqimss2 4036 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 ⊆ (𝐾𝑔))
18 eqimss 4035 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑔) = 𝑠 → (𝐾𝑔) ⊆ 𝑠)
1917, 18eqssd 3994 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 = (𝐾𝑔))
2019a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠𝑠 = (𝐾𝑔)))
2116, 20jcad 511 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐾𝑔) = 𝑠 → (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
2221reximdva 3157 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → (∃𝑔𝐹 (𝐾𝑔) = 𝑠 → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
234, 22mpd 15 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑠𝐻) → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)))
2423ex 411 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 → ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
259, 10, 11, 1, 2, 3lkrshp 38707 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
26253adant3r 1178 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → (𝐾𝑔) ∈ 𝐻)
27 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
28 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
299, 27, 28, 1islshp 38581 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
30293ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝐾𝑔) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
3126, 30mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
32 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ (𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊)))
33 neeq1 2992 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠𝑉 ↔ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉))
34 uneq1 4153 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (𝑠 ∪ {𝑣}) = ((𝐾𝑔) ∪ {𝑣}))
3534fveqeq2d 6904 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3635rexbidv 3168 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐾𝑔) → (∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉 ↔ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3732, 33, 363anbi123d 1432 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐾𝑔) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
3837adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
39383ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → ((𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉) ↔ ((𝐾𝑔) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝑔) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝑔) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4031, 39mpbird 256 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹 ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉))
4140rexlimdv3a 3148 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
429, 27, 28, 1islshp 38581 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑠𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘(𝑠 ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
4341, 42sylibrd 258 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔)) → 𝑠𝐻))
4424, 43impbid 211 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐻 ↔ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))))
4544eqabdv 2859 1 (𝑊 ∈ LVec → 𝐻 = {𝑠 ∣ ∃𝑔𝐹 (𝑔 ≠ (𝑉 × { 0 }) ∧ 𝑠 = (𝐾𝑔))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wne 2929  wrex 3059  cun 3942  {csn 4630   × cxp 5676  cfv 6549  Basecbs 17183  Scalarcsca 17239  0gc0g 17424  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867  LVecclvec 20999  LSHypclsh 38577  LFnlclfn 38659  LKerclk 38687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-lshyp 38579  df-lfl 38660  df-lkr 38688
This theorem is referenced by:  islshpkrN  38722
  Copyright terms: Public domain W3C validator