Theorem eldioph4i 42800

Description: Forward-only version of eldioph4b 42799. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldioph4b.a	⊢ 𝑊 ∈ V
eldioph4b.b	⊢ ¬ 𝑊 ∈ Fin
eldioph4b.c	⊢ (𝑊 ∩ ℕ) = ∅

Assertion

Ref	Expression
eldioph4i	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑤   𝑡,𝑁,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤

Proof of Theorem eldioph4i

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 4171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (𝑡 ∪ 𝑤) = (𝑎 ∪ 𝑤))
2	1	fveqeq2d 6915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → ((𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0))
3	2	rexbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0))
4		uneq2 4172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑎 ∪ 𝑤) = (𝑎 ∪ 𝑏))
5	4	fveqeq2d 6915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
6	5	cbvrexvw 3236	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0)
7	3, 6	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
8	7	cbvrabv 3444	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}
9		fveq1 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
10	9	eqeq1d 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
11	10	rexbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
12	11	rabbidv 3441	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
13	12	rspceeqv 3645	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
14	8, 13	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
15	14	anim2i 617	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}))
16		eldioph4b.a	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ V
17		eldioph4b.b	. . 3 ⊢ ¬ 𝑊 ∈ Fin
18		eldioph4b.c	. . 3 ⊢ (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
19	16, 17, 18	eldioph4b 42799	. 2 ⊢ ({𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}))
20	15, 19	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544  mzPolycmzp 42710  Diophcdioph 42743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-mzpcl 42711  df-mzp 42712  df-dioph 42744

This theorem is referenced by:  diophren  42801