Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldioph4i 40161
 Description: Forward-only version of eldioph4b 40160. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a 𝑊 ∈ V
eldioph4b.b ¬ 𝑊 ∈ Fin
eldioph4b.c (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
Assertion
Ref Expression
eldioph4i ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑤   𝑡,𝑁,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤

Proof of Theorem eldioph4i
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq1 4063 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑎 → (𝑡𝑤) = (𝑎𝑤))
21fveqeq2d 6671 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑎 → ((𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0))
32rexbidv 3221 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0))
4 uneq2 4064 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑏 → (𝑎𝑤) = (𝑎𝑏))
54fveqeq2d 6671 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
65cbvrexvw 3362 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0)
73, 6bitrdi 290 . . . . 5 (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
87cbvrabv 3404 . . . 4 {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0}
9 fveq1 6662 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑎𝑏)) = (𝑃‘(𝑎𝑏)))
109eqeq1d 2760 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
1110rexbidv 3221 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
1211rabbidv 3392 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0})
1312rspceeqv 3558 . . . 4 ((𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0}) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0})
148, 13mpan2 690 . . 3 (𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0})
1514anim2i 619 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0}))
16 eldioph4b.a . . 3 𝑊 ∈ V
17 eldioph4b.b . . 3 ¬ 𝑊 ∈ Fin
18 eldioph4b.c . . 3 (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
1916, 17, 18eldioph4b 40160 . 2 ({𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0}))
2015, 19sylibr 237 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  {crab 3074  Vcvv 3409   ∪ cun 3858   ∩ cin 3859  ∅c0 4227  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ↑m cmap 8422  Fincfn 8540  0cc0 10588  1c1 10589  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  ...cfz 12952  mzPolycmzp 40071  Diophcdioph 40104 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-oadd 8122  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-hash 13754  df-mzpcl 40072  df-mzp 40073  df-dioph 40105 This theorem is referenced by:  diophren  40162
 Copyright terms: Public domain W3C validator