Theorem eldioph4i 42297

Description: Forward-only version of eldioph4b 42296. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldioph4b.a	⊢ 𝑊 ∈ V
eldioph4b.b	⊢ ¬ 𝑊 ∈ Fin
eldioph4b.c	⊢ (𝑊 ∩ ℕ) = ∅

Assertion

Ref	Expression
eldioph4i	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑤   𝑡,𝑁,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤

Proof of Theorem eldioph4i

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (𝑡 ∪ 𝑤) = (𝑎 ∪ 𝑤))
2	1	fveqeq2d 6900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → ((𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0))
3	2	rexbidv 3169	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0))
4		uneq2 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑎 ∪ 𝑤) = (𝑎 ∪ 𝑏))
5	4	fveqeq2d 6900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
6	5	cbvrexvw 3226	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0)
7	3, 6	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
8	7	cbvrabv 3430	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}
9		fveq1 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
10	9	eqeq1d 2727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
11	10	rexbidv 3169	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
12	11	rabbidv 3427	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
13	12	rspceeqv 3623	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
14	8, 13	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
15	14	anim2i 615	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}))
16		eldioph4b.a	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ V
17		eldioph4b.b	. . 3 ⊢ ¬ 𝑊 ∈ Fin
18		eldioph4b.c	. . 3 ⊢ (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
19	16, 17, 18	eldioph4b 42296	. 2 ⊢ ({𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}))
20	15, 19	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   ∪ cun 3937   ∩ cin 3938  ∅c0 4318  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8843  Fincfn 8962  0cc0 11138  1c1 11139  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502  ...cfz 13516  mzPolycmzp 42207  Diophcdioph 42240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322  df-mzpcl 42208  df-mzp 42209  df-dioph 42241

This theorem is referenced by:  diophren  42298