Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldioph4i 41164
Description: Forward-only version of eldioph4b 41163. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a π‘Š ∈ V
eldioph4b.b Β¬ π‘Š ∈ Fin
eldioph4b.c (π‘Š ∩ β„•) = βˆ…
Assertion
Ref Expression
eldioph4i ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPolyβ€˜(π‘Š βˆͺ (1...𝑁)))) β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Distinct variable groups:   𝑑,π‘Š,𝑀   𝑑,𝑁,𝑀   𝑑,𝑃,𝑀

Proof of Theorem eldioph4i
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq1 4121 . . . . . . . 8 (𝑑 = π‘Ž β†’ (𝑑 βˆͺ 𝑀) = (π‘Ž βˆͺ 𝑀))
21fveqeq2d 6855 . . . . . . 7 (𝑑 = π‘Ž β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0 ↔ (π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑀)) = 0))
32rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑑 = π‘Ž β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑀)) = 0))
4 uneq2 4122 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑏 β†’ (π‘Ž βˆͺ 𝑀) = (π‘Ž βˆͺ 𝑏))
54fveqeq2d 6855 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑏 β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑀)) = 0 ↔ (π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0))
65cbvrexvw 3229 . . . . . 6 (βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑀)) = 0 ↔ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0)
73, 6bitrdi 287 . . . . 5 (𝑑 = π‘Ž β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0 ↔ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0))
87cbvrabv 3420 . . . 4 {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0}
9 fveq1 6846 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 β†’ (π‘β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = (π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)))
109eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 β†’ ((π‘β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0 ↔ (π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0))
1110rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0 ↔ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0))
1211rabbidv 3418 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0})
1312rspceeqv 3600 . . . 4 ((𝑃 ∈ (mzPolyβ€˜(π‘Š βˆͺ (1...𝑁))) ∧ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜(π‘Š βˆͺ (1...𝑁))){𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0})
148, 13mpan2 690 . . 3 (𝑃 ∈ (mzPolyβ€˜(π‘Š βˆͺ (1...𝑁))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜(π‘Š βˆͺ (1...𝑁))){𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0})
1514anim2i 618 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPolyβ€˜(π‘Š βˆͺ (1...𝑁)))) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜(π‘Š βˆͺ (1...𝑁))){𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0}))
16 eldioph4b.a . . 3 π‘Š ∈ V
17 eldioph4b.b . . 3 Β¬ π‘Š ∈ Fin
18 eldioph4b.c . . 3 (π‘Š ∩ β„•) = βˆ…
1916, 17, 18eldioph4b 41163 . 2 ({𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0} ∈ (Diophβ€˜π‘) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ βˆƒπ‘ ∈ (mzPolyβ€˜(π‘Š βˆͺ (1...𝑁))){𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘β€˜(π‘Ž βˆͺ 𝑏)) = 0}))
2015, 19sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPolyβ€˜(π‘Š βˆͺ (1...𝑁)))) β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m (1...𝑁)) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ (β„•0 ↑m π‘Š)(π‘ƒβ€˜(𝑑 βˆͺ 𝑀)) = 0} ∈ (Diophβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  mzPolycmzp 41074  Diophcdioph 41107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-mzpcl 41075  df-mzp 41076  df-dioph 41108
This theorem is referenced by:  diophren  41165
  Copyright terms: Public domain W3C validator