Theorem eldioph4i 42800

Description: Forward-only version of eldioph4b 42799. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldioph4b.a	⊢ 𝑊 ∈ V
eldioph4b.b	⊢ ¬ 𝑊 ∈ Fin
eldioph4b.c	⊢ (𝑊 ∩ ℕ) = ∅

Assertion

Ref	Expression
eldioph4i	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑤   𝑡,𝑁,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤

Proof of Theorem eldioph4i

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 4124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (𝑡 ∪ 𝑤) = (𝑎 ∪ 𝑤))
2	1	fveqeq2d 6866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → ((𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0))
3	2	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0))
4		uneq2 4125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑎 ∪ 𝑤) = (𝑎 ∪ 𝑏))
5	4	fveqeq2d 6866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
6	5	cbvrexvw 3216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0)
7	3, 6	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
8	7	cbvrabv 3416	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}
9		fveq1 6857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
10	9	eqeq1d 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
11	10	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
12	11	rabbidv 3413	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
13	12	rspceeqv 3611	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
14	8, 13	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
15	14	anim2i 617	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}))
16		eldioph4b.a	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ V
17		eldioph4b.b	. . 3 ⊢ ¬ 𝑊 ∈ Fin
18		eldioph4b.c	. . 3 ⊢ (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
19	16, 17, 18	eldioph4b 42799	. 2 ⊢ ({𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}))
20	15, 19	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  0cc0 11068  1c1 11069  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  mzPolycmzp 42710  Diophcdioph 42743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-mzpcl 42711  df-mzp 42712  df-dioph 42744

This theorem is referenced by:  diophren  42801