Theorem eldioph4i 43243

Description: Forward-only version of eldioph4b 43242. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldioph4b.a	⊢ 𝑊 ∈ V
eldioph4b.b	⊢ ¬ 𝑊 ∈ Fin
eldioph4b.c	⊢ (𝑊 ∩ ℕ) = ∅

Assertion

Ref	Expression
eldioph4i	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑤   𝑡,𝑁,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤

Proof of Theorem eldioph4i

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (𝑡 ∪ 𝑤) = (𝑎 ∪ 𝑤))
2	1	fveqeq2d 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → ((𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0))
3	2	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0))
4		uneq2 4103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑎 ∪ 𝑤) = (𝑎 ∪ 𝑏))
5	4	fveqeq2d 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
6	5	cbvrexvw 3217	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0)
7	3, 6	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
8	7	cbvrabv 3400	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}
9		fveq1 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)))
10	9	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
11	10	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0))
12	11	rabbidv 3397	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
13	12	rspceeqv 3588	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
14	8, 13	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0})
15	14	anim2i 618	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}))
16		eldioph4b.a	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ V
17		eldioph4b.b	. . 3 ⊢ ¬ 𝑊 ∈ Fin
18		eldioph4b.c	. . 3 ⊢ (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
19	16, 17, 18	eldioph4b 43242	. 2 ⊢ ({𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑝‘(𝑎 ∪ 𝑏)) = 0}))
20	15, 19	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑊)(𝑃‘(𝑡 ∪ 𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764  Fincfn 8884  0cc0 11027  1c1 11028  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ...cfz 13424  mzPolycmzp 43153  Diophcdioph 43186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-hash 14255  df-mzpcl 43154  df-mzp 43155  df-dioph 43187

This theorem is referenced by:  diophren  43244