Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldioph4i 42064
Description: Forward-only version of eldioph4b 42063. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a 𝑊 ∈ V
eldioph4b.b ¬ 𝑊 ∈ Fin
eldioph4b.c (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
Assertion
Ref Expression
eldioph4i ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑤   𝑡,𝑁,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤

Proof of Theorem eldioph4i
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq1 4149 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑎 → (𝑡𝑤) = (𝑎𝑤))
21fveqeq2d 6890 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑎 → ((𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0))
32rexbidv 3170 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0))
4 uneq2 4150 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑏 → (𝑎𝑤) = (𝑎𝑏))
54fveqeq2d 6890 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
65cbvrexvw 3227 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0)
73, 6bitrdi 287 . . . . 5 (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
87cbvrabv 3434 . . . 4 {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0}
9 fveq1 6881 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑎𝑏)) = (𝑃‘(𝑎𝑏)))
109eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
1110rexbidv 3170 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
1211rabbidv 3432 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0})
1312rspceeqv 3626 . . . 4 ((𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0}) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0})
148, 13mpan2 688 . . 3 (𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0})
1514anim2i 616 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0}))
16 eldioph4b.a . . 3 𝑊 ∈ V
17 eldioph4b.b . . 3 ¬ 𝑊 ∈ Fin
18 eldioph4b.c . . 3 (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
1916, 17, 18eldioph4b 42063 . 2 ({𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0}))
2015, 19sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0m 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466  cun 3939  cin 3940  c0 4315  cfv 6534  (class class class)co 7402  m cmap 8817  Fincfn 8936  0cc0 11107  1c1 11108  cn 12210  0cn0 12470  ...cfz 13482  mzPolycmzp 41974  Diophcdioph 42007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-hash 14289  df-mzpcl 41975  df-mzp 41976  df-dioph 42008
This theorem is referenced by:  diophren  42065
  Copyright terms: Public domain W3C validator